Калькулятор корней

Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.

Корень равен:

0

Чтобы правильно интерпретировать расчёт, читайте эту информацию.

Что такое корень числа?

Корень n-й степени из числа x — это такое число r, которое в степени n равняется x. Или другими словами: rn = x.

Запись корня n-й степени

Эта запись с математическим корнем из числа х в n-ой степени имеет собственное название в каждом символе:

Например:

Пример корня

Такое выражение читается, как корень третьей степени от числа 8. Это корень равняется двум. Число 3 здесь является степенью корня, а число 8 – подкоренным числом.

В математике нахождение корня называется «извлечение корня».

Причём важно разделять понятия арифметического и алгебраического корня.

Арифметический или алгебраический (общий)

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного вещественного числа a — это неотрицательное число b, для которого bn=a. Обозначается арифметический корень знаком радикала (про который мы уже сказали выше).

Арифметический корень второй степени из числа a (√a) — это неотрицательное число b (b ≥ 0), при котором выполняется равенство b2 = a. К примеру, корнями второй степени из числа 16 являются корни 4 и −4, но арифметическим из них является только корень 4.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от корня общего вида (или алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно.

Далее мы будем говорить именно про арифметические корни.

Наиболее часто используемые корни — это корни второй степени и корни третьей степени. Они даже имеют собственные названия:

Квадратный корень

Квадратный корень – это корень со степенью два. Чаще всего, в значении радикала степень «два» не прописывается, а просто используется символ √.

Арифметический квадратный корень всегда является положительным числом, и кроме того подкоренное значение также всегда положительно.

Почему все происходит именно так, нам расскажет простой пример с решением:

Ни одно число при возведении его в квадрат не дает отрицательного результата.

Вывод: все числа, которые стоят под знаком корня, всегда должны быть положительными.

Кубический корень

Кубический корень – это такое число, которое для получения подроренного числа нужно умножить само на себя три раза.

К примеру, кубический корень из 64 будет равен «4».

Решение будет выглядеть так: 4х4х4 = 64.

Как появились математические корни?

Впервые задачи, в которых извлекался квадратный корень, обнаружили у вавилонских математиков. Именно в них применялись теоремы Пифагора для того, чтобы определить треугольник с прямыми углами по двум другим известным сторонам.

Также в них находили стороны квадрата с заданной площадью и решали квадратные уравнения.

Для извлечения квадратного корня древние математики разработали специальный численный метод. Для квадратного корня из «a» они рассчитывали натуральные числа n в меньшую сторону из ближайшего к корню. Если выражение «a = n2 + r» представить в таком виде, то можно получить

Численный метод нахождения корня числа

И далее шел уточняющий процесс, который соответствовал методу Ньютона:

Методу Ньютона

Как произошла символика значений? У корня очень сложная и долгая история. Его извлекали еще древние греки и подходили к этому очень ответственно: они находили стороны квадрата по его площади. Математики средневековья сокращали корень от «radix» и обозначали его Rx.

В современном понятии черта над подкоренным выражением сначала отсутствовала, но в 1637 году ее ввел Декарт вместо скобок. Сейчас она так и осталась со знаком корня.

Рене Декарт придумал знак корняРене Декарт (1596–1650) — французский математик и философ. Декарт является одним из основателей философии Нового времени и аналитической геометрии, а ещё он – одна из ключевых фигур научной революции.

Главные свойства корней

Корень нечетной степени, состоящий из положительного числа — есть положительное число, определенное однозначно.

Корень нечетной степени, состоящий из отрицательного числа — есть отрицательное число, определенное однозначно.

Корень чётной степени, состоящий из положительного числа, имеет 2 значения со знаками противоположности, но равными по модулю.

Корень чётной степени, состоящий из отрицательного числа в области вещественных чисел, не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с четными показателями в результате получится неотрицательное число.

Ниже показано, как извлекать данные корни в множестве комплексных чисел, когда значениями корня будут n комплексных чисел.

Корень любой натуральной степени из нуля — ноль.

Алгоритм нахождения корня n-степени

Корень n-ой степени n√A действительного положительного числа А есть действительное положительное решение уравнений xn = A.

Как найти быстро сходящийся алгоритм корня в n-ой степени? Для этого нужно:

1. Вычислить начальное предположение x0

2. Определить

Алгоритм нахождения корня

3. Далее повторять пункт № 2 до момента, пока необходимая точность не будет достигнута.

Для нахождения квадратного корня итерационной формулы Герона служит частный случай, с подстановкой выглядит так:

n = 2 в шаг 2: xk+1 = (xk + A/xk) / 2

Имеется несколько вариантов данного алгоритма. Один - как касательный метод Ньютона для нахождения нулей функций f(x). Сходится такой метод достаточно быстро, несмотря на то что является итерационным.

У этого метода скорость сходимости является квадратичной. Это указывает на то, что числа с верными разрядами в ответе будут удваиваться с каждой итерацией — другими словами, будет увеличиваться точность нахождения ответа с 1-го до 64-х разрядов, и будет требоваться только шесть итераций. Но следует помнить и о машинной точности.

Из всего этого можно сделать заключение, что в компьютерах данный алгоритм используется, как самый быстрый метод нахождения корней в квадрате.

Что касается больших значений n, то алгоритм здесь будет менее эффективным, поскольку потребует на каждом шагу таких вычислений:

Алгоритм извлечение корня

Но такое вычисление выполняется при помощи алгоритма быстрого возведения в степень.

Вопросы и ответы

А также обратите внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы.

Для чего на практике надо найти корень?

Если в науке что-то существует - то это обязательно для чего-то нужно, даже если нет обычного понимания для чего. Квадратный корень используется повсюду, но в основном там, где имеется какая-нибудь геометрия.

К примеру, компьютерная графика. Для значительного достижения и улучшения в свое время применялись специальные алгоритмы быстрого обратного квадратного корня в играх. Сегодня без квадратных корней невозможно поиграть в такие игры, как «танчики», Скайрим, Киберпанк.

Можно ли корень записать в виде степени?

Да, корень от x в степени n – это x в степени 1/n.

Как связаны между собой степень в виде десятичной дроби и корни?

Переход от степени с выражениями и дробными показателями в основании выполняется на области всех допустимых значений в основании степени при исходных выражениях.

К примеру:

Шаг 1 корень в виде степени

представляется, как квадратный корень

Шаг 2 корень в виде степени

А запись

Шаг 3 корень в виде степени

выражается для всех x, y, z, как

Извлечение корня

Как пользоваться калькулятором корней?

Для того, чтобы вычислить квадратный корень с пошаговым объяснением, достаточно воспользоваться калькулятором на этом сайте ecalc.ru.

Наш сайт позволяет быстро и точно вычислить корень из числа онлайн. И не нужно высчитывать все самостоятельно в уме, искать готовые решения задач или проверять ответы.

Нужно просто вписать все необходимые данные. Если нужно просто найти корень, следует указать число под √. Если понадобится, то ввести степень. Обычно вычисляется корень во второй степени, но здесь ее можно и не указывать.

Поделитесь в соцсетях

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.