Калькулятор логарифмов

Какой вопрос решает логарифм

Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое. Например, 2⁴ = 16, поэтому логарифм 16 по основанию 2 равен 4. Основание здесь 2, число под логарифмом 16, а ответ 4. Если вы умеете возводить в степень, с первой задачей на логарифм уже справились.

\log_b x = y \iff b^y = x

Буква b обозначает основание, x обозначает число под логарифмом, y обозначает результат. В калькуляторе можно найти любую из этих трёх величин, зная две остальные. Для натурального, десятичного и двоичного логарифмов основание уже выбрано, поэтому остаётся ввести только x.

Число под логарифмом должно быть положительным. Основание тоже должно быть положительным и отличаться от 1. Значение логарифма может быть положительным, отрицательным или нулевым. Например, log₂ 0,125 = −3, потому что 2⁻³ = 1/8.

Чем отличаются ln, lg и log₂

Натуральный логарифм ln использует основание e ≈ 2,718281828459. Он часто появляется в формулах непрерывного роста и убывания. Равенство ln e = 1 точное, но десятичная запись числа e всегда приближённая. В специальном режиме не нужно вводить это основание вручную.

Десятичный логарифм lg использует основание 10. Он связывает число с десятичным порядком: lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2. В русской школьной записи обычно пишут lg; в иностранных программах сокращение log может означать десятичный или натуральный логарифм. Проверяйте, какое основание подразумевает конкретная формула.

Двоичный логарифм log₂ использует основание 2. Если одна фишка превращается в две, затем в четыре и восемь, до восьми понадобятся три удвоения: log₂ 8 = 3. Для числа 10 ответ уже дробный, около 3,322. Когда нужны целые шаги, чтобы достичь или превысить 10, отдельно округляют вверх до четырёх.

Как вычислить логарифм по другому основанию

Для произвольного положительного основания, отличного от 1, подходит формула перехода к натуральным логарифмам. Возьмём число 81 и основание 3.

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b},\qquad \log_3 81 = 4

Проверка проще самого деления: 3⁴ = 81. При основании больше 1 логарифм числа больше 1 положителен, а числа между 0 и 1 отрицателен. С основанием между 0 и 1 знаки меняются. Например, log₀,₅ 8 = −3, потому что (1/2)⁻³ = 8.

При любом допустимом основании логарифм единицы равен нулю. Ноль получается из равенства b⁰ = 1. Это обычный правильный ответ, поэтому его не нужно заменять сообщением об ошибке.

Как найти основание или число под логарифмом

Если неизвестно основание, переведите логарифм в степень и извлеките положительный корень. Например, из log_b 81 = 4 следует b⁴ = 81, откуда b = 3. Отрицательный корень −3 подходит уравнению четвёртой степени, но не подходит в качестве действительного основания логарифма.

b = x^{1/y},\qquad y \ne 0

Нулевое значение логарифма требует отдельной проверки. Для x = 1 и y = 0 подходят все положительные основания, кроме 1. Для x = 7 и y = 0 решений нет: никакое допустимое основание в нулевой степени не даст 7. При x = 1 и ненулевом y допустимого основания тоже нет: формула даёт запрещённую единицу. Калькулятор различает эти ситуации.

Если неизвестно число под логарифмом, достаточно возвести основание в известную степень. Из log₁₀ x = −2 получаем x = 10⁻² = 0,01. Из log₉ x = 0,5 получаем x = √9 = 3. Положительное основание позволяет использовать и дробные показатели.

x = b^y

Как вводить данные и читать округлённый ответ

Поля принимают числа с точкой или запятой. Для одной восьмой введите 0,125. Записи 1/8, √2, e и выражения со скобками нужно сначала перевести в десятичное число: форма не разбирает математические выражения. Показатель y может быть отрицательным; основание и число x отрицательными быть не могут.

Для отображения ответа обычно оставляем до 12 значащих цифр, а для значений рядом с единицей может понадобиться больше знаков. Очень маленький логарифм показывается в научной записи: например, 1e−10 означает 0,0000000001. Он не равен нулю. В ходе решения знак ≈ напоминает, что подстановка отображённого округлённого ответа даёт приближённую проверку.

Слишком большая или маленькая степень может выйти за числовой диапазон калькулятора. Это ограничение вычисления, а не доказательство отсутствия математического решения. Так же обрабатывается ответ, настолько близкий к 1, что отличие уже нельзя сохранить.

Вопросы о логарифмах

Основание определяет знак и масштаб ответа. Несколько привычных действий с числами при переходе к логарифмам меняют форму.

Почему основание не может равняться единице?

Любая степень единицы равна 1. Для другого числа показатель найти нельзя, а для самой единицы подходят сразу все показатели. Единственной обратной функции у такой степени нет.

Почему нельзя взять логарифм нуля?

Положительное основание в любой конечной действительной степени даёт положительное число. Ноль не получается, поэтому конечного действительного логарифма нуля нет.

Можно ли сложить логарифмы?

При одном и том же допустимом основании сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму их произведения. Например, log₂ 4 + log₂ 8 = 2 + 3 = 5, и log₂ 32 тоже равен 5.

Равен ли логарифм суммы сумме логарифмов?

Нет. Например, log₂(4 + 4) = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 4. Правило сложения логарифмов относится к произведению под логарифмом, а не к сумме.

Что даёт логарифм самого основания?

Единицу: log_b b = 1, потому что b¹ = b. Условие на основание сохраняется: b должно быть положительным и отличаться от 1.

Почему отрицательный логарифм не означает отрицательное число?

Отрицательный логарифм означает отрицательный показатель степени. При основании 10 ответ −3 соответствует положительному числу 0,001. Знак показателя и знак числа под логарифмом выполняют разные роли.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.