Калькулятор дробей

Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.

A — целая часть
b — числитель
B — знаменатель
C — целая часть
d — числитель
D — знаменатель

Результат:

3 и 5/6

Читайте объяснение ниже

Что такое дроби?

Дробь – это число, которое состоит из нескольких одинаковых частей - долей единицы, а также из одной ее части.

Обыкновенная дробь выглядит так:

mn\displaystyle \frac{m}{n}

В математической записи дроби число, которое находится выше черты - называется числителем, а число, которое расположено ниже - называется знаменателем. Оно показывает то, на сколько долей разделили единицу.

Первое число является делимым, а второе число служит делителем. Обыкновенные дроби могут образовывать поле рациональных чисел, если они будут с целыми числителями и ненулевыми знаменателями. Они показывают количество долей, на которые делится единица.

Математические дроби начинают изучать в школе. В основном в 5 или в 6 классах. Но также дроби очень часто используются в дальнейшей школьной и затем в вузовской программах.

История дробей

Русское слово «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от латинского слова «fractura» с арабским происхождением и означает в переводе: ломать или дробить. Основы теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Позже дроби появляются в Европейской математике, например, у Фибоначчи в 1202 году. Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

В России, начиная с древней Руси, дроби именовали долями. А в первых отечественных учебниках по математике дроби назывались ломаными числами. Термин «дробь», как аналог латинского «fractura», впервые используется в «Арифметике» Магницкого в 1703 году как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Виды дробей

Дроби бывают нескольких видов:

  • обыкновенные;
  • смешанные и простые;
  • правильные и неправильные;
  • десятичные;
  • в виде процентов.

Обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь имеет вид a/b. Число a - здесь будет являться числителем дроби, а число b - будет знаменателем.

Примеры:

  1. 1/2
  2. 6/5
  3. 3/1
  4. 7/15

Правильные и неправильные

Правильной называется дробь, у которой числитель (модуль числителя) меньше модуля знаменателя.

Пример, правильной дроби: 3/4, так как 3<4.

Неправильная дробь, наоборот, имеет числитель, который по модулю больше чем знаменатель.

Пример, неправильной дроби: 4/3, так как 4>3.

Простые и смешанные

Простая дробь содержит только числитель и знаменатель. Например, 4/3.

Смешанная дробь содержит целое число и дробь, и понимается как сумма этого числа и дроби. Например, 1 и 1/3.

Неправильную дробь всегда можно сделать смешанной, то есть выделить в ней целые части. Отдельный калькулятор поможет перевести неправильную дробь в смешанное число, а для двух записей можно сразу сравнить дроби без десятичного округления.

Десятичная дробь

Десятичная дробь — это запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 10, 100, 1000 и др).

Десятичная дробь записывается через запятую в строку таким образом, чтобы отделить дробную часть от целой части. Вот так:

  • 0,7 – ноль целых и 7 десятых (7/10).
  • 5,42 – пять целых и 42 сотых (42/100).
  • 9,245 – девять целых и 245 тысячных (245/1000).

В виде процентов

Дробь в виде процентов — это когда при переводе десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100. Запись производится с запятыми.

Например, 0,023 = 0,023 * 100% = 2,3%

Для того чтобы перевести проценты в десятичные дроби, следует разделить число процентов на 100.

Что нужно знать, чтобы работать с дробями?

Что переводить дроби из одного вида в другой и выполнять различные операции над дробями, надо знать несколько терминов.

Наименьшее общее кратное (НОК) для нескольких чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Наименьший общий знаменатель – это НОК, которое рассчитывается для знаменателей двух и более дробей.

Как найти наименьший общий знаменатель?

Чтобы это понять, необходимо рассмотреть следующий пример двух дробей:

120и314\displaystyle \frac{1}{20} \quad \text{и} \quad \frac{3}{14}

Если нужно привести дроби с разными знаменателями к общему наименьшему знаменателю, следует найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

Знаменатель первой дроби равен 20.

Его нужно разложить его на простые множители: 20=2⋅5⋅2.

Далее также разложить 2 знаменатель дроби 14 на простые множители: 14 = 7*2.

Убираем повторяющиеся множители у знаменателя второй дроби и получаем:

НОК (14,20) = 2*5*2*7 = 140.

В итоге общий наименьший знаменатель равняется 140.

Как привести дробь к общему знаменателю?

Берем первую дробь 1/20 и умножаем ее на 7, чтобы прийти к 140. Для этого умножаем числитель и знаменательно на 7 и получаем:

120=1×720×7=7140\displaystyle \frac{1}{20} = \frac{1 \times 7}{20 \times 7} = \frac{7}{140}

А вторую дробь теперь следует умножить на 10 таким же образом:

314=3×1014×10=30140\displaystyle \frac{3}{14} = \frac{3 \times 10}{14 \times 10} = \frac{30}{140}

Общим наибольшим делителем (НОД) нескольких чисел является самое большее целое натуральное число, на которое эти самые числа делятся без остатка.

Общий наибольший делитель обозначается в виде такой записи: НОД (18; 48) = 6.

Как следует переводить дробь?

Из смешанной дроби в обыкновенную:

  1. Необходимо умножить знаменатель дробной части на единицу целой части;
  2. К произведению, которое получилось, следует прибавить числитель дробной части;
  3. Сам знаменатель при этом оставить без изменений.

Из обыкновенной дроби в смешанную:

  1. Разделить числитель дроби на знаменатель;
  2. Полученный результат будет являться целой частью;
  3. То, что останется в результате деления (остаток) будет числителем.

Из десятичной дроби в обыкновенную или смешанную^

  • Для этого действия необходимо целую часть умножать на знаменатель дробной части.
  • После этого полученный результат сложить с числителем дробной части. То, что получилось в итоге, и будет числителем новой дроби, а сам знаменатель при этом останется без изменений.

Операции над дробями

С дробями можно совершать различные арифметические операции.

➕ Сложение

Для сложения дробей с разными знаменателями сначала нужно найти знаменатель, который является общим. После этого нужно к общему знаменателю привести дроби. Хорошо, если это будет наименьший знаменатель.

Далее - выполнить сложение дробей, где под суммой числителей подписать общий знаменатель.

В конце, если возможно, сократить полученную дробь.

Например:

35+27=3⋅75⋅7+2⋅57⋅5=2135+1035=3135\displaystyle \frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{31}{35}

➖ Вычитание

Здесь потребуется из числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а сам знаменатель при этом оставить без изменений.

Так, чтобы сделать вычитание из дроби, следует сначала вычесть числители, а все одинаковые знаменатели оставлять прежними.

Например:

23−12=46−36=16\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

✖ Умножение

Для этого умножаются числители и записывается результат, как числитель дроби.

Далее, умножаются знаменатели и записывается результат, как знаменатель дроби.

Например:

23×34=2⋅33⋅4=612=12\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

➗ Деление

Здесь следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби. После чего записать полученное произведение в числитель новой дроби.

Знаменатель первой дроби умножается на числитель второй дроби. Далее записывается произведение, как знаменатель новой дроби.

Например:

12÷34=12×43=1⋅42⋅3=23\displaystyle \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}

📏 Сокращение

Это действие получается тогда, когда необходимо разделить числитель и знаменатель на одинаковое число, но которое не может быть равно 0.

В итоге получается равную дробь, имеющая меньший знаменатель и числитель.

Чтобы сократить дробь, необходимо в определенной последовательности проверять, на что делятся знаменатель и числитель. В случае, когда находится общий делитель, то сокращать именно на него.

Значительно упростит сокращение раскладывание знаменателя и числителя на множители.

Например:

1216=12÷416÷4=34\displaystyle \frac{12}{16} = \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4}

❓ Вопросы и ответы

А также советуем обратить внимание на некоторые часто задаваемые вопросы про дроби и ответы на них.

Какие дроби называются простыми?

Простые дроби — это те, которые записываются в виде 2-ух целых чисел, определенных скошенной или горизонтальной прямой. Например: 1/4,1/2.

Какие дроби называются десятичными?

Когда в знаменателях стоят 10, 100, 1000 и т.д. и степень числа 10, то дроби имеют название - десятичные.

Какие дроби называются правильными?

Правильные дроби те, у которых модуль знаменателя больше модуля числителя.

Какие дроби называются неправильными?

Неправильные дроби те, у которых модуль числителя меньше, чем модуль знаменателя.

Как разделить дробь на дробь?

Нельзя делить на 0.

Если делить на 1 - будет такое же число.

Если делить 0 на любое число, получится 0.

Какая дробь называется положительной?

Когда она больше 0.

Какая дробь называется отрицательной?

Когда перед положительной дробью ставится знак «–».

Что такое степени с дробями?

Степени с дробями приводятся к знаменателю так же, как и рациональные дроби. Нужно найти дополнительный множитель и умножить на него знаменатель и числитель дроби.

При этом дополнительный множитель подбирать так, чтобы он не обращался в 0 для исходящего выражения.

Как пользоваться калькулятором дробей?

Калькулятор, решающий дроби, позволяет переводить дроби и производить самые простые операции типа сложения, вычитания, умножения, деления.

Для этого нужно заполнить соответствующие поля для дробей и нажать кнопку «Вычислить».

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Онлайн-калькуляторыМатематикаКалькулятор дробей