Калькулятор распределения Пуассона

Доля	0,180447044315
Среднее распределения	2
Стандартное отклонение	1,41421356237

Сколько событий случится за выбранное время

Посетители с письмами подходят к стойке, а сотрудник отмечает поступления возле часов

Распределение Пуассона помогает оценить вероятность определённого числа событий за фиксированный промежуток: например, ровно трёх обращений за час, не больше одного сбоя за день или хотя бы двух заказов за минуту. Введите среднее число событий за тот же промежуток, укажите интересующее число и выберите «ровно», «не больше» или «не меньше».

Название связано с французским математиком Симеоном Дени Пуассоном, который исследовал вероятности числа редких событий. Главное в его модели не редкость сама по себе, а стабильный средний темп и отсутствие сильной зависимости между отдельными событиями. Для наплыва звонков после рекламного эфира или поломок, вызывающих цепочку следующих поломок, эти условия могут не выполняться.

Пусть за час в среднем приходит два обращения. Одни часы будут пустыми, в другие их окажется пять, но среднее за много сопоставимых часов может быть близко к двум. Калькулятор обозначает среднее буквой λ, а фактическое число событий буквой k. Значение λ может быть дробным: среднее 0,4 сбоя в день вполне осмысленно, хотя за один день 0,4 сбоя не происходит.

Как находится вероятность ровно k событий

Модель распределяет общую вероятность между целыми исходами 0, 1, 2 и далее. Для одного выбранного числа k используется следующая формула:

P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

Здесь X обозначает число событий за интервал, e приблизительно равно 2,71828, а k! означает произведение целых чисел от 1 до k. По определению 0! = 1. При λ = 2 и k = 3 получаем e⁻² × 2³ / 3! ≈ 0,180447, то есть вероятность около 18,04%. Это вероятность ровно трёх обращений, а не трёх или большего числа.

Для «не больше k» калькулятор складывает вероятности от нуля до k включительно. Для «не меньше k» он складывает вероятности от k и выше; событие с ровно k входит в ответ. При k = 0 событие «не меньше нуля» неизбежно, поэтому его вероятность равна 100%. Справочник NIST о распределении Пуассона приводит ту же формулу и указывает, что среднее и дисперсия модели равны λ.

Примеры для звонков, ошибок и заказов

В каждом примере промежуток определён заранее. Если измеренная частота относится к другой длительности, сначала пересчитайте λ. Даже точная математическая вероятность не обещает соответствующего процента в каждой короткой серии наблюдений.

Ровно три обращения за час

Небольшая служба поддержки получает в среднем два обращения в час. При λ = 2 и k = 3 режим «ровно» даёт 0,180447, или 18,04%. Если планируется смена одного оператора, это число говорит о частоте конкретной нагрузки, но не отвечает, сколько времени займут обращения. Длительность разговоров нужно учитывать отдельно.

День без сбоев

Оборудование даёт в среднем 0,4 независимого сбоя за день. Вероятность нуля сбоев равна e⁻⁰·⁴ ≈ 0,670320, или 67,03%. Значит, даже при среднем меньше одного сбоя спокойный день не гарантирован. Чтобы оценить хотя бы один сбой, вычтите эту вероятность из единицы: около 32,97%.

Не больше одного заказа за минуту

В коротком тесте интерфейса средняя частота составляет 1,5 заказа в минуту. Вероятность нуля равна примерно 0,223130, одного около 0,334695. Их сумма даёт 0,557825, или 55,78% для события «не больше одного». Если система обрабатывает ровно один заказ в минуту, это ещё не вероятность очереди: заказ может перейти через границу минуты, а время обработки может различаться.

Хотя бы два сообщения за интервал

На отдельный канал в среднем поступает 0,8 сообщения за 10 минут. Для двух или большего числа удобнее исключить ноль и один: 1 − e⁻⁰·⁸(1 + 0,8) ≈ 0,191208, или 19,12%. В форме выбирают λ = 0,8, k = 2 и «не меньше». Не вводите средний часовой поток, если вопрос относится к десяти минутам.

Пять опечаток на странице

В учебной модели редактор находит в среднем три опечатки на странице черновика. Вероятность ровно пяти равна e⁻³ × 3⁵ / 5! ≈ 0,100819, или 10,08%. Такой расчёт может дать ориентир для сравнения страниц, но текст с несколькими повторёнными ошибками или неоднородной сложностью страниц нарушает допущение об одинаковом темпе.

Хотя бы одно редкое обращение

На отдельный тип вопроса приходится в среднем 0,1 обращения в день. Вероятность хотя бы одного обращения за день равна 1 − e⁻⁰·¹ ≈ 0,095163, или 9,52%. Число 0,1 нельзя читать как 10% без расчёта: λ является средним количеством, а не вероятностью. При столь малом среднем значения близки, но не совпадают.

Как подобрать среднее λ и прочитать ответ

Если известно 60 обращений за 30 сопоставимых часов, начальная оценка λ для одного часа равна 60 / 30 = 2. Для получаса при постоянном темпе λ = 1, для двух часов λ = 4. Само число событий k остаётся целым: полтора звонка в течение конкретного интервала невозможно. Меняя длительность, меняйте и среднее, а не только подпись к единице.

Среднее в модели равно λ, дисперсия тоже λ, а стандартное отклонение равно √λ. При λ = 9 среднее число событий равно 9, а типичный масштаб разброса около 3. Это не универсальный интервал «от 6 до 12»: возможны и более далёкие исходы. Столбцы на графике показывают отдельные целые количества, а выделенная часть соответствует выбранному условию.

Распределение Пуассона подходит для счёта событий на времени, расстоянии или площади, если у каждого равного участка примерно одинаковый ожидаемый поток и события не собираются в зависимые группы. При сезонности считайте отдельные периоды: общий средний поток за неделю может скрыть резкий будний пик. При фиксированном числе независимых попыток и постоянной вероятности успеха нужен биномиальный калькулятор. Если берёте предметы из конечной партии без возвращения, используйте гипергеометрическое распределение.

Значение λ = 0 допускается: модель тогда всегда даёт ноль событий. Калькулятор принимает λ до 1000 и k до 2000, чтобы вычисление и график оставались управляемыми в браузере. Это пределы инструмента, а не математического распределения. Крайне малая вероятность может отображаться как ноль после округления; такой вывод не означает, что событие логически невозможно.

Вопросы о распределении Пуассона

Путаница чаще возникает при смене длительности наблюдения, выборе включительной границы и попытке принять среднее за вероятность одного события.

Почему среднее λ может быть дробным, а k нет?

Среднее считают по многим интервалам: семь событий за десять дней дают λ = 0,7 в день. За отдельный день происходит целое число событий, поэтому k может быть только 0, 1, 2 и так далее.

Что означает вероятность нуля событий?

Это вероятность, что за выбранный интервал не произойдёт ни одного события: P(X = 0) = e⁻λ. При λ = 2 она равна примерно 13,53%. Вероятность хотя бы одного равна 1 − e⁻λ.

Как пересчитать λ с часа на десять минут?

При постоянном темпе умножьте часовое среднее на 10 / 60. Если за час в среднем шесть обращений, за десять минут λ = 1. При выраженных пиках простое деление неверно: оцените среднее именно для нужного отрезка.

Входит ли ровно k в условие «не меньше k»?

Да. Для k = 3 это исходы 3, 4, 5 и выше. Вероятность можно получить как 1 − P(X ≤ 2), а выражение 1 − P(X ≤ 3) ошибочно исключит ровно три.

Почему вероятность не равна частоте в нескольких наблюдениях?

Вероятность описывает модель повторяющихся сопоставимых интервалов. В десяти часах даже событие с вероятностью 20% может случиться ноль раз или больше двух. Частота обычно приближается к модели лишь на длинной серии при сохранении условий.

Подходит ли модель для числа покупателей в магазине?

Она может дать грубую оценку на коротких однородных промежутках. Если поток растёт после открытия, падает к закрытию или посетители приходят группами, используйте разные средние по времени либо более подходящую модель.

Можно ли сложить средние двух независимых потоков?

Да. Если независимые потоки описываются распределениями Пуассона за один и тот же интервал со средними 2 и 3, общий поток тоже имеет распределение Пуассона со средним 5. При общей причине, вызывающей события сразу в обоих потоках, условие независимости нарушается.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.