Выбор из конечной партии без возвращения
Гипергеометрическое распределение показывает, какова вероятность найти заданное число отмеченных предметов в случайной выборке из конечной партии. Предметы выбирают без возвращения: взятый предмет больше не участвует в следующих выборах. Так можно оценить, например, вероятность увидеть ровно два бракованных изделия среди пяти проверенных, если размер партии и число бракованных заранее известны.
Представьте чашу с 20 шарами, из которых 7 красных. Вы берёте 5 шаров и откладываете их в сторону. После первого красного в чаше остаются 6 красных среди 19 шаров, поэтому шанс красного на втором шаге уже другой. Именно это изменение отличает задачу от последовательности независимых попыток с неизменной вероятностью успеха.
В форме N означает общее число предметов, K число отмеченных, n размер выборки, k число отмеченных в ней. «Отмеченный» не обязательно значит хороший: это может быть бракованное изделие, нужная карта или деталь определённого цвета. Перед вводом выберите один признак и считайте его одинаково во всей партии.
Как рассчитывается вероятность
Все наборы из n предметов считаются равновозможными. Чтобы получить ровно k отмеченных, нужно выбрать k из K отмеченных и оставшиеся n − k из N − K обычных. Число таких выборок делят на число любых выборок того же размера:
Скобка с двумя числами, например C(7, 2), означает число способов выбрать два предмета из семи, не учитывая порядок. Для партии из 20 предметов с 7 отмеченными и выборки из 5 вероятность ровно двух равна C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 6006 / 15504 ≈ 0,387384, или 38,74%. Порядок извлечения здесь не меняет итог: важно лишь содержимое выборки.
Режим «не больше k» складывает исходы от минимально возможного числа отмеченных до k. Режим «не меньше k» включает само k и все большие возможные числа. Справочник NIST по гипергеометрической вероятности описывает выбор без возвращения и накопление вероятностей по допустимым исходам.
Примеры для проверки партий и набора предметов
Во всех примерах известно точное число отмеченных предметов до отбора. Если оно неизвестно и оценивается по самой выборке, задача меняется: по этим данным нельзя считать найденное K точным свойством всей партии.
Ровно два дефектных изделия
В партии 20 изделий, из них 7 дефектных. Проверяют 5 без возвращения. Для N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 режим «ровно» даёт 6006 / 15504 ≈ 38,74%. Это шанс конкретного состава проверки, а не доля брака, которую она непременно покажет. Не стоит планировать объём исправлений по одному самому вероятному исходу.
Выборка без дефектов
Из 30 деталей 4 известны как дефектные. Если случайно проверить 3, вероятность не встретить ни одной равна C(26, 3) / C(30, 3) = 2600 / 4060 ≈ 64,04%. Чистая маленькая выборка вполне совместима с наличием дефектов в партии. Для решения о приёмке нужен заранее выбранный план контроля, а не впечатление от одной тройки.
Хотя бы один нужный жетон
Среди 12 жетонов лежат 3 красных. Берут 2 без возвращения. Вероятность ни одного красного равна C(9, 2) / C(12, 2) = 36 / 66. Значит, шанс получить хотя бы один красный равен 1 − 36 / 66 = 30 / 66 ≈ 45,45%. В форме выберите k = 1 и «не меньше», поскольку подходят один и два красных жетона.
Все выбранные карты нужного вида
Из десяти карточек четыре имеют нужный знак. Наугад берут четыре и не возвращают. Только одна из C(10, 4) = 210 разных четвёрок состоит из всех четырёх нужных карточек, поэтому вероятность равна 1 / 210 ≈ 0,48%. Возможность такого исхода не означает, что его разумно ожидать в нескольких коротких попытках.
Не больше одной помеченной детали
В наборе из 15 деталей пять помечены. Выбирают три. Без помеченных получится C(10, 3) = 120 выборок, с одной C(5, 1) × C(10, 2) = 225. Всего подходящих 345 из C(15, 3) = 455, вероятность «не больше одной» равна 345 / 455 ≈ 75,82%. Результат включает и ноль, и один; он не равен вероятности ровно одной детали.
Когда ноль отмеченных невозможен
В пятёрке предметов четыре отмечены, а обычный только один. Если взять три предмета, минимум два из них окажутся отмеченными. Для N = 5, K = 4, n = 3, k = 0 вероятность ровно нуля равна 0%. Причина не в округлении: нужную выборку невозможно составить. Такое нулевое значение отличается от очень маленькой положительной вероятности.
Какие исходы возможны и как читать среднее
Самое большое число отмеченных в выборке равно min(n, K): нельзя найти больше, чем взято, или больше, чем есть в партии. Самое маленькое равно max(0, n − (N − K)): если обычных предметов не хватает на всю выборку, часть обязательно будет отмеченной. Для партии 5 с четырьмя отмеченными и выборки из 3 допустимы только k = 2 или k = 3. Калькулятор показывает ноль для невозможного исхода, если остальные исходные данные допустимы.
Ожидаемое число отмеченных равно nK / N. В первом примере это 5 × 7 / 20 = 1,75. Дробное среднее не предполагает «три четверти изделия» в отдельной выборке: оно описывает множество повторных случайных выборок из партий того же состава. Дисперсия равна n(K/N)(1 − K/N)(N − n)/(N − 1), если N больше единицы. Последний множитель уменьшает разброс по сравнению с отбором с возвращением.
Столбцы графика соответствуют целым k в допустимом диапазоне. Выделенные столбцы показывают выбранное событие. Для конечной партии вероятность может сосредоточиться в одной точке: при K = 0 все выборки содержат ноль отмеченных, а при K = N все n выбранных предметов отмечены. При n = 0 выборка пуста и число отмеченных тоже всегда равно нулю.
Модель требует равновозможного отбора наборов. Если оператор намеренно выбирает верхние коробки, а брак скопился снизу, числа N и K сами по себе не спасут расчёт. Если предмет возвращают и перемешивают перед следующим выбором, шанс отметки остаётся K/N и лучше подходит биномиальное распределение. Число способов выбрать группу без порядка можно отдельно проверить в калькуляторе сочетаний.
В форме допускаются целые N до 100 000, K и n от нуля до N, k от нуля до n. Можно выбрать и всю партию. Для быстрого расчёта калькулятор поддерживает не более 5001 возможного значения числа отмеченных; если исходов больше, он попросит уменьшить выборку или отмеченную часть. Это предел инструмента, а не формулы. Отображаемое после округления значение 0% не всегда означает математический ноль.
Вопросы о выборе без возвращения
Практический ответ зависит от того, что именно известно о партии, возвращают ли предмет после проверки и включена ли граница k в условие события.
Почему вероятность меняется после первого выбора?
Если из 20 предметов 7 отмечены, шанс отметки на первом шаге равен 7/20. После извлечения отмеченного остаются 6 отмеченных из 19, и шанс следующего равен 6/19. Если первым оказался обычный, останутся 7 отмеченных из 19.
Нужно ли учитывать порядок вытаскивания?
Для числа отмеченных в итоговой выборке нет. Наборы с одинаковым составом входят в один исход независимо от очередности. Если важен конкретный порядок, например сначала красный, потом синий, нужна отдельная вероятность последовательности.
Что означает K, если число дефектов заранее неизвестно?
K должно обозначать действительное число дефектных изделий во всей партии. Оценка K по проверенной части сама неопределённа, поэтому подставлять её как точно известную и выдавать результат за точный риск нельзя.
Входит ли ровно k в событие «не меньше k»?
Да. При k = 2 учитываются выборки с 2, 3 и так далее отмеченными предметами, пока они возможны. Если вычитать накопленную вероятность P(X ≤ 2) из единицы, исход с ровно двумя ошибочно пропадёт; вычитать нужно P(X ≤ 1).
Чем гипергеометрическая модель отличается от биномиальной?
В биномиальной модели вероятность отметки на каждой попытке одна и та же, например при возвращении предмета после выбора. Без возвращения состав оставшейся партии меняется, поэтому для конечной партии используйте гипергеометрическую формулу.
Можно ли взять всю партию?
Да. При n = N результат однозначен: выборка содержит все K отмеченных предметов, поэтому вероятность ровно K равна 100%, а любого другого k равна нулю.
Что будет, если отмеченных предметов нет?
При K = 0 любая допустимая выборка содержит ровно ноль отмеченных. Событие «не больше нуля» имеет вероятность 100%, а «не меньше одного» вероятность 0%.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор биномиального распределения. Введите число испытаний, шанс успеха и нужное количество успехов.
- Число сочетаний. Введите общее число элементов n и размер выборки k. Калькулятор найдёт точное количество сочетаний без учёта порядка.
- Калькулятор распределения Пуассона. Укажите среднее число событий и порог, чтобы получить вероятность.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Введите целые части, числители и знаменатели, чтобы получить решение.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.