Калькулятор биномиального распределения

Доля	0,1171875
Среднее распределения	5
Стандартное отклонение	1,58113883008

Когда количество успехов подчиняется биномиальной модели

Десять монет разделены на три с выделенной стороной и семь с другой стороной

Биномиальное распределение отвечает на вопрос, сколько раз произойдёт выбранное событие в заранее известном числе попыток. Если десять раз бросить честную монету, вероятность получить ровно три орла равна 11,71875%. У каждой попытки есть два исхода: орёл или не орёл. Монета не помнит предыдущие броски, а шанс орла каждый раз равен 0,5.

Вместо монеты можно рассматривать любую серию одинаковых испытаний с исходом «успех» или «неуспех». Слово «успех» здесь условное: им может быть дефект, отказ или попадание в срок. Для расчёта задайте число испытаний n, вероятность выбранного события в одном испытании p и число событий k, которое вас интересует. Вероятность вводится долей от 0 до 1: 20% превращаются в 0,2, а не в 20.

Три режима отвечают на разные вопросы. «Ровно k» означает один конкретный итог серии. «Не больше k» включает все итоги от нуля до k. «Не меньше k» включает k и все большие значения до n. Последние два режима складывают вероятности нескольких исходов; на графике выделяются соответствующие столбцы.

Как устроена формула

Для одной заданной последовательности из k успехов и n − k неуспехов вероятность равна произведению p в степени k и 1 − p в степени n − k. Но успехи могут стоять на разных местах. Например, три орла в десяти бросках можно расположить 120 способами. Число таких расположений обозначают сочетанием C(n, k):

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

Здесь X обозначает число успехов в серии. Сочетание считает только выбор мест для успехов, поэтому порядок расположения не нужно вводить отдельно. При n = 10, p = 0,5 и k = 3 произведение для каждого расположения равно 0,5¹⁰. Умножаем его на 120 и получаем 120/1024 = 0,1171875.

Если требуется «не больше k», складывают вероятности ровно 0, 1, 2 и так далее до k. Для «не меньше k» можно сложить вероятности от k до n либо вычесть из единицы вероятность не более k − 1. Вычитание события «не больше k» ошибочно убрало бы сам исход k:

P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)

Среднее число успехов в такой модели равно np, а стандартное отклонение равно корню из np(1 − p). Например, для 10 честных бросков среднее равно 5, но получить ровно пять орлов не гарантировано. Среднее описывает центр распределения при повторении многих серий, а не обязательный итог каждой отдельной серии.

\mu=np,\qquad \sigma=\sqrt{np(1-p)}

Проверяем события на нескольких сериях

Ровно три орла из десяти. При n = 10, p = 0,5 и k = 3 ответ равен 0,1171875, или 11,71875%. Это шанс одного класса итогов, а не одной точной последовательности бросков. Если важен конкретный порядок, например сначала три орла, затем семь решек, вероятность только 1/1024, около 0,098%.

Не больше трёх орлов. Для той же серии сложите вероятности нуля, одного, двух и трёх орлов. Получится 0,171875, или 17,1875%. Четыре орла уже не входят в это событие. Если вопрос звучит «меньше трёх», задайте предел 2, потому что число орлов целое.

Не меньше трёх орлов. В этот результат три орла уже входят. Вероятность равна 0,9453125, или 94,53125%. Удобная проверка: дополнение состоит из нуля, одного и двух орлов; их суммарная вероятность 0,0546875. Значит искомая доля равна 1 − 0,0546875.

Хотя бы один дефект. Предположим, каждая из 20 независимо проверяемых деталей имеет вероятность дефекта 0,1. Шанс, что все исправны, равен 0,9²⁰ ≈ 0,12158. Поэтому хотя бы один дефект появится с вероятностью 0,87842, или 87,84%. Высокий шанс увидеть дефект в партии не означает, что дефектна большая часть деталей: среднее число дефектов здесь равно двум.

Ни одного ответа на пять писем. Пусть каждое письмо независимо получает ответ с вероятностью 0,2. Для пяти писем вероятность нуля ответов равна 0,8⁵ = 0,32768, или 32,768%. Даже при ненулевом шансе ответа на каждое письмо пустая серия вполне возможна. В реальности адресаты могут быть связаны, а письма различаться, поэтому одинаковое p здесь нужно обосновать.

Девять успешных попыток из двенадцати. При постоянном p = 0,75 вероятность ровно девяти успехов равна C(12,9) × 0,75⁹ × 0,25³ ≈ 0,25810, или 25,81%. Среднее тоже равно девяти, но его совпадение с k не превращает вероятность в 100%: рядом остаются исходы с восемью, десятью и другим числом успехов.

Не больше одной удачной попытки из четырёх. Если шанс успеха на каждой попытке 0,3, то вероятность нуля успехов равна 0,7⁴ = 0,2401, а одного успеха 4 × 0,3 × 0,7³ = 0,4116. Сумма равна 0,6517, или 65,17%. Это пример, когда режим «не больше» складывает разные возможные итоги, а не округляет число 1,2 ожидаемых успеха.

Четыре условия, которые стоит проверить до ввода

Первое условие: число испытаний фиксировано заранее. Второе: для каждого испытания есть только два взаимоисключающих исхода относительно вашего вопроса. Третье: вероятность успеха p одинакова во всех испытаниях. Четвёртое: исход одной попытки не меняет вероятность другой. Эти условия важнее того, какие предметы или события названы в задаче.

Броски монеты подходят, если монета не меняется и броски независимы. А вот выбор нескольких деталей из небольшой партии без возвращения меняет долю дефектных деталей после каждого выбора. Для такой ситуации лучше гипергеометрическое распределение. Если считать события за фиксированное время без заранее заданного числа попыток, может подойти распределение Пуассона. Не переносите формулу только потому, что в условии встретились слова «вероятность» и «количество».

Когда p = 0, успехов не будет: P(X = 0) = 1. Когда p = 1, успех произойдёт во всех n испытаниях: P(X = n) = 1. Эти случаи не требуют деления на ноль и остаются полноценными границами модели. Число k должно быть целым от 0 до n, а n положительным целым. Десятичное k = 2,5 не обозначает возможное количество успехов.

Число испытаний в калькуляторе ограничено 5000 ради времени расчёта и устойчивости чисел, а не потому, что биномиальная модель перестаёт работать после этой границы. При очень малых вероятностях ответ может выглядеть близким к нулю; это повод оценить масштаб результата, а не объявлять событие невозможным. В справочнике NIST формула массы, накопленной вероятности, среднего и отклонения приведена для этой модели вместе с её параметрами.

Как толковать процент без лишней уверенности

Вероятность 11,71875% для ровно трёх орлов означает, что при многократном повторении серий из десяти бросков доля таких серий будет стремиться к этому значению. Она не означает, что в ближайших девяти сериях обязательно встретится одна подходящая. Каждая серия может закончиться иначе, и результат одной не отменяет распределение остальных.

Если известна только средняя частота успехов, ещё нельзя автоматически подставлять её как точную вероятность p. Оценка по прошлым наблюдениям сама подвержена ошибке, а условия могли измениться. Например, 20 ответов на 100 писем дают оценку 0,2 для похожих писем, но не доказывают, что у каждого следующего письма шанс строго равен 0,2. Калькулятор показывает условный результат при указанном p.

Для ручной проверки начните с малого n и выпишите все исходы. При двух честных бросках возможны четыре равно вероятные последовательности: два орла, два решки и два смешанных порядка. Число орлов 1 встречается в двух из четырёх последовательностей, поэтому его вероятность равна 0,5. Именно количество способов получить итог отличает биномиальную вероятность от вероятности одного конкретного порядка.

Вопросы о числе успехов

Событие в условии может включать одну точку, несколько соседних значений или дополнение до всей серии. От правильного выбора события и проверки независимости зависит смысл ответа.

Что значит p = 0,2 в форме?

Это вероятность успеха одной попытки, равная 20%. Её вводят долей 0,2. Число 20 вне допустимого диапазона и не означает двадцать процентов.

Входит ли k в событие «не меньше k»?

Да. «Не меньше трёх» включает 3, 4 и все следующие допустимые числа успехов до n. Дополнение к нему: 0, 1 и 2 успеха, то есть P(X ≤ 2).

Почему вероятность ровно среднего числа успехов меньше единицы?

Среднее np задаёт центр распределения при повторении серий. Отдельная серия может дать другое целое число. При десяти честных бросках среднее равно пяти, но ровно пять орлов выпадают с вероятностью 252/1024 ≈ 24,61%.

Подходит ли модель для вытягивания карт без возврата?

При каждом извлечении состав колоды меняется, вместе с ним меняется шанс нужной карты. В небольшой колоде это нарушает постоянство p и независимость. Для подсчёта отмеченных карт в выборке без возвращения используйте гипергеометрическую модель.

Что делать, если вероятность меняется от попытки к попытке?

Обычная биномиальная формула предполагает одно и то же p для всех испытаний. Если вероятности различаются, нельзя подставить их среднее без оценки ошибки. Нужно считать модель с отдельной вероятностью для каждой попытки или использовать другой подход.

Можно ли считать неудачи вместо успехов?

Да. Поменяйте определение успеха: вероятность нового успеха станет 1 − p, а искомое число будет количеством прежних неудач. Например, ровно две неудачи из десяти равны ровно восьми успехам из тех же десяти.

Чему равна вероятность хотя бы одного успеха?

Единица минус вероятность нуля успехов: 1 − (1 − p)^n. Например, при двух независимых попытках с p = 0,5 это 1 − 0,5² = 0,75. Для такого вопроса выберите режим «не меньше» и k = 1.

Почему при p = 0 или p = 1 график сжимается в один столбец?

В этих случаях исход серии заранее определён. При p = 0 все испытания закончатся неуспехом и X = 0; при p = 1 все закончатся успехом и X = n. Единственный возможный столбец имеет вероятность 1.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.