Что показывает дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляют по коэффициентам a, b и c. Он равен разности b² и 4ac. Значение D не является корнем уравнения: оно заранее сообщает, сколько действительных корней можно получить из формулы.
Коэффициент a стоит при x² и не может быть равен нулю. Коэффициент b относится к x, а c является свободным членом. Если в записи нет одного из двух последних слагаемых, соответствующий коэффициент всё равно существует и равен нулю. Например, для уравнения 2x² − 8 = 0 получаем a = 2, b = 0 и c = −8.
Как знак D связан с корнями и параболой
D > 0. Уравнение имеет два различных действительных корня. График функции y = ax² + bx + c пересекает ось Ox в двух точках. Чем больше положительное значение D, тем дальше друг от друга находятся корни при неизменном a.
D = 0. Уравнение имеет один действительный корень, который также называют двукратным. Парабола касается оси Ox в вершине. В формуле корней выражения с плюсом и минусом дают одно и то же число, потому что √D = 0.
D < 0. Действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox. При работе с комплексными числами у квадратного уравнения остаются два комплексно-сопряжённых корня. Школьный ответ «корней нет» обычно означает именно отсутствие действительных корней.
Связь можно увидеть и без формулы корней. Если x₁ и x₂ обозначают два корня, то D = a²(x₁ − x₂)². При совпадении корней разность равна нулю, поэтому исчезает и дискриминант. Это частный случай общего правила: дискриминант многочлена обращается в ноль, когда у многочлена появляется кратный корень.
Примеры вычисления дискриминанта
📝 Проверка домашнего решения. Для x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты равны 1, −5 и 6. Получаем D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два различных действительных корня. За самими значениями x можно перейти в калькулятор квадратных уравнений.
🎯 Один двукратный корень. Для x² + 6x + 9 = 0 получаем D = 6² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0. Парабола касается оси Ox в одной точке. Трёхчлен можно свернуть в квадрат: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
📉 Действительных корней нет. Для 2x² + 3x + 5 = 0 дискриминант равен 3² − 4 × 2 × 5 = 9 − 40 = −31. Отрицательный знак сразу останавливает поиск действительных корней: извлечь действительный квадратный корень из −31 нельзя.
0️⃣ Пропущенный коэффициент b. В уравнении 3x² − 12 = 0 нет слагаемого с x, поэтому b = 0. Получаем D = 0² − 4 × 3 × (−12) = 144. Знак минус перед c особенно важен: вычитание отрицательного произведения превращается в сложение.
➖ Отрицательный старший коэффициент. Для −x² + 4x − 3 = 0 значения равны a = −1, b = 4 и c = −3. Тогда D = 4² − 4 × (−1) × (−3) = 16 − 12 = 4. Отрицательный a переворачивает параболу, но положительный D по-прежнему означает два пересечения с осью.
🔢 Десятичные коэффициенты. Для 0,5x² − 1,5x + 1 = 0 дискриминант равен (−1,5)² − 4 × 0,5 × 1 = 2,25 − 2 = 0,25. Калькулятор принимает точку или запятую и вычисляет такую конечную десятичную запись без округления последних разрядов.
Где чаще всего ошибаются
Сначала приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0. Если справа остаётся число, его нужно перенести влево с противоположным знаком. В записи x² + 4x = 5 свободный член после переноса равен −5, а не 5. Поэтому D = 4² − 4 × 1 × (−5) = 36.
Отрицательный коэффициент b возводят в квадрат вместе со знаком: (−5)² = 25. Отрицательный c тоже нужно заключать в скобки при подстановке. Запись без скобок легко превращает два минуса в один и меняет не только число, но и вывод о количестве корней.
При a = 0 выражение bx + c = 0 является линейным. Для него формула D = b² − 4ac формально даст число, но это число уже не классифицирует корни квадратного уравнения. Поэтому калькулятор останавливает расчёт и просит исправить a, а не выдаёт математически красивый, но бесполезный ответ.
Поля принимают целые и конечные десятичные коэффициенты длиной до 50 цифр. Расчёт выполняется как точное действие над десятичными числами, поэтому 0,1 и 0,2 не превращаются в длинный хвост двоичной погрешности. Степень, дробь вида 1/3 и выражение с корнем нужно сначала вычислить отдельно.
Дискриминант или другой способ решения
Дискриминант подходит для любого квадратного уравнения с числовыми коэффициентами, но не всегда является самым коротким путём. Уравнение x² − 9 = 0 быстрее узнать как разность квадратов: (x − 3)(x + 3) = 0. Выражение x² + 6x + 9 сразу сворачивается в (x + 3)². Для приведённых уравнений с целыми корнями иногда удобнее теорема Виета.
Если требуется только понять, есть ли пересечения с осью Ox, достаточно знака D. Если нужны сами корни и подстановка по шагам, используйте решение квадратного уравнения. Для вычисления выражений вроде √D пригодится калькулятор корней. Историю названия, общий дискриминант многочлена и альтернативные методы мы разобрали в статье «Дискриминант: что он различает и откуда взялся».
Вопросы о дискриминанте
Знак D определяет число действительных корней, но не заменяет решение уравнения. Эти случаи помогают правильно читать нулевой и отрицательный результат, учитывать пропущенные слагаемые и выбирать короткий метод.
Что такое дискриминант простыми словами?
Это число, вычисленное по коэффициентам квадратного уравнения. Его знак различает три случая: два действительных корня, один двукратный корень или отсутствие действительных корней.
Как найти дискриминант квадратного уравнения?
Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0, определите коэффициенты и подставьте их в D = b² − 4ac. Отрицательные значения при подстановке заключайте в скобки.
Сколько корней при D больше нуля?
Два различных действительных корня. График соответствующей квадратичной функции пересекает ось Ox в двух разных точках.
Что означает D равный нулю?
Уравнение имеет один действительный двукратный корень. Два выражения в формуле корней совпадают, а парабола касается оси Ox в вершине.
Есть ли корни при отрицательном дискриминанте?
Действительных корней нет. Если изучаются комплексные числа, уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня.
Чему равен коэффициент, если слагаемого нет?
Он равен нулю. В уравнении 2x² − 8 = 0 коэффициент b равен 0, а в уравнении x² + 5x = 0 свободный член c равен 0.
Можно ли считать дискриминант при a равном нулю?
Для классификации квадратного уравнения нельзя, потому что слагаемое ax² исчезает и уравнение становится линейным или вырожденным. Используйте способ решения, подходящий новому типу уравнения.
Всегда ли нужно использовать дискриминант?
Нет. Разложение на множители, выделение полного квадрата и теорема Виета могут дать корни быстрее. Дискриминант удобен как универсальная проверка количества и характера корней.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
- Калькулятор сложного процента. Рассчитайте на инвесткалькуляторе сумму, полученную в результате применения сложного процента с реинвестированием, регулярным пополнением, капитализацией и с примерами.
- Инженерный калькулятор. Посчитайте сложные примеры на продвинутом калькуляторе.
- Умножение в столбик. Чтобы при умножении не держать в голове разные комбинации и промежуточные действия решений, рекомендуется применить метод умножения в столбик.
- Тренажер таблицы умножения. Тренируйтесь и запоминайте таблицу умножения онлайн. Выберите нужный диапазон множителей, и система сгенерирует задания.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.