Калькулятор матриц

Размер результата	2 × 2

Как считать матрицы и читать ответ

Цветные карточки в строках и столбцах, руки переставляют элементы таблицы

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел. В ней важны и сами числа, и их места. Например, строки могут обозначать учеников, а столбцы задания по разным предметам. Матрицы позволяют обрабатывать такую таблицу целиком: сложить результаты двух уроков, посчитать стоимость нескольких покупок или изменить координаты точек рисунка.

Такая запись удобна, когда числа связаны общими признаками: строки описывают магазины, столбцы товары, а каждая ячейка содержит количество. В учебной задаче вместо магазинов могут быть коэффициенты уравнений или координаты. Смысл строк и столбцов стоит записать до расчёта: верная арифметика не заметит, что вы случайно поменяли местами рубли и килограммы.

В форме доступны размеры от 1 × 1 до 4 × 4, включая прямоугольные матрицы. Числа можно вводить со знаком, с десятичной запятой или точкой, а также в виде обыкновенной дроби: 0,5 и 1/2 обозначают одно значение. Для пустого места в условии сначала выясните его смысл. Если это нулевой элемент, впишите 0; незаполненная ячейка не считается нулём автоматически.

Матрица на примере школьной таблицы

Аня, Боря и Вера решали задачи по алгебре и геометрии. Запишем количество решённых задач. В этой таблице числа обозначают количество задач, а не оценки.

Ученик	Алгебра	Геометрия
Аня	5	3
Боря	4	5
Вера	2	4

Если убрать имена и подписи предметов, оставив числа на своих местах, получится матрица A:

A=\begin{pmatrix}5&3\\4&5\\2&4\end{pmatrix}

У неё три строки и два столбца, поэтому размер записывают как 3 × 2. Сначала называют строки, потом столбцы. Горизонтальная строка (4; 5) относится к Боре. Вертикальный первый столбец (5; 4; 2) показывает результаты всех троих по алгебре. Размер матрицы не нужно вычислять умножением: 3 × 2 описывает форму таблицы, а шесть является количеством её элементов.

У каждого числа есть адрес. Запись a₂₁ читается как «элемент второй строки, первого столбца» и в нашем примере равна 4. Это четыре задачи Бори по алгебре. a₁₂ равно 3: первая строка, второй столбец, три задачи Ани по геометрии. Буква A служит коротким именем всей таблицы, а маленькая a с двумя индексами обозначает одну её ячейку.

Матрица может состоять из одной строки или одного столбца. Например, список цен (100; 50; 20), записанный вертикально, имеет размер 3 × 1. Квадратная матрица имеет поровну строк и столбцов: 2 × 2, 3 × 3 и так далее. Только для неё в этом калькуляторе доступны определитель и обратная матрица.

Что делают операции с матрицами

Для сложения, вычитания и транспонирования матриц достаточно обычной арифметики и внимания к местам чисел. Умножение матриц требует отдельного правила «строка на столбец». Определитель и обратную удобно изучать после этих четырёх действий. Выберите задачу по смыслу, а не по тому, какая кнопка выглядит знакомее.

Операция	Что она делает простыми словами
Сложение матриц	Складывает числа на одинаковых местах. Например, объединяет результаты двух уроков.
Вычитание матриц	Находит разницу в каждой ячейке: было 12, выдали 4, осталось 8.
Умножение матриц	Собирает суммы попарных произведений. Например, превращает количество товаров и цены в стоимость заказов.
Транспонирование	Записывает строки столбцами. Значения остаются прежними, меняется расположение.
Определитель матрицы	Даёт одно число для квадратной матрицы. В частности, показывает, существует ли обратная: определитель должен быть ненулевым.
Обратная матрица	Отменяет исходное преобразование, когда это возможно. Например, возвращает растянутому рисунку прежние координаты.

На каждой странице уже выбрано соответствующее действие и дан его отдельный разбор. Общий калькулятор выше позволяет переключаться между ними. Начальные матрицы заполнены примером, поэтому можно сначала открыть ход решения, а затем заменить числа своим условием.

Самое простое действие: сложить два урока

В первой таблице запишем результаты двух учеников: (3; 2) и (1; 4). В другой таблице их результаты за следующий урок: (2; 1) и (3; 0). Складываем только одинаковые места: 3 + 2 = 5, 2 + 1 = 3, 1 + 3 = 4, 4 + 0 = 4. Ответ получается таким:

\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\4&4\end{pmatrix}

Первый ученик решил за два урока пять задач одного вида и три другого. Второй решил по четыре. Если бы мы сразу сложили всё в 16, общий итог сохранился бы, но сведения о каждом ученике и виде задач исчезли бы. В этом одна из причин пользоваться матрицей: она сохраняет структуру данных.

Какие размеры подходят для операции

Для сложения и вычитания размеры двух матриц должны совпадать. Каждая ячейка A складывается с ячейкой B на том же месте. Таблицы 2 × 3 и 3 × 2 содержат по шесть чисел, но этого недостаточно: у них разное расположение строк и столбцов. Результат сложения двух матриц 2 × 3 тоже будет иметь размер 2 × 3.

Умножение устроено иначе. Число столбцов A должно совпадать с числом строк B. Тогда у ответа будут строки первой и столбцы второй матрицы. Например, произведение 2 × 3 на 3 × 1 даёт 2 × 1. Каждую ячейку получают из одной строки A и одного столбца B: попарно перемножают числа и складывают произведения.

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

Здесь i обозначает строку ответа, j его столбец, а k перебирает n пар чисел. В стартовом примере первая ячейка получается как 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Следующая равна 1 × 6 + 2 × 8 = 22. Поэтому обычное матричное умножение нельзя заменить перемножением ячеек, стоящих на одинаковых местах.

Для транспонирования подходит любой прямоугольник: первая строка становится первым столбцом, вторая вторым и так далее. Определитель и обычную обратную матрицу находят у квадратных матриц. Если строк три, а столбцов два, сначала проверьте условие задачи: удаление «лишней» строки ради кнопки расчёта изменит сами данные.

Определитель и обратная матрица

Определитель является одним числом, а не новой таблицей. Для матрицы 2 × 2 из произведения главной диагонали вычитают произведение второй. Удобно один раз подписать позиции буквами, чтобы не потерять минус:

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \det A=ad-bc

Если определитель не равен нулю, существует обратная матрица. При умножении на исходную в любом порядке она даёт единичную: на главной диагонали стоят единицы, остальные элементы нулевые. Для размера 2 × 2 формула выглядит так:

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Обратная матрица отменяет действие исходной. Если преобразование растягивало горизонтальную координату в два раза, обратное делит её на два. Нулевой определитель означает, что часть информации потеряна: разные исходные наборы могут дать один результат. Вернуть единственный первоначальный набор тогда невозможно.

В раскрываемом решении калькулятор использует преобразования строк. Для определителя он получает треугольную матрицу и перемножает диагональные элементы, учитывая смену знака при каждой перестановке строк. Для обратной приписывает справа единичную матрицу и выполняет действия сразу с обеими половинами. Когда слева остаётся единичная, справа находится ответ. Промежуточные таблицы помогают увидеть, на каком шаге ручной расчёт разошёлся с проверкой.

Где пригодятся операции с матрицами

В примерах ниже строки внутри круглых скобок перечисляются слева направо, через точку с запятой. Сохраняйте этот порядок при вводе: переставленная строка может изменить и смысл таблицы, и знак определителя.

Продажи за два периода

Две точки продают два вида блокнотов. За первую неделю строки таблицы продаж равны (3; 5) и (2; 4), за вторую (6; 1) и (3; 2). Сложение даёт (9; 6) и (5; 6). Первая точка продала девять блокнотов первого вида и шесть второго, вторая пять и шесть соответственно.

Операция сохраняет подробности по каждой точке и товару. Складывать все восемь чисел в одну сумму здесь рано: она скроет, какой ассортимент нужен каждой точке. Перед сложением проверьте, что первый столбец в обеих неделях означает один и тот же вид блокнота. Если во второй таблице виды переставлены, сначала восстановите порядок.

Остатки после выдачи

На двух складах лежат футболки и кепки: матрица остатков имеет строки (12; 8) и (5; 9). За день выдали (4; 3) и (2; 6). Разность A − B равна (8; 5) и (3; 3). Значит, на втором складе осталось по три единицы каждого товара.

Если поменять A и B, получатся отрицательные числа: вы вычислите выдачу за вычетом запаса. Сам знак минус допустим для матриц, но в задаче об остатках он может указать на перепутанный порядок или пропущенную поставку. Не превращайте отрицательный остаток в ноль без проверки учёта: это уже исправление исходных данных, а не математическая операция.

Стоимость двух комплектов

Для первого комплекта нужны три тетради, две ручки и один конверт, для второго одна тетрадь, четыре ручки и два конверта. Матрица количества A имеет строки (3; 2; 1) и (1; 4; 2). Цены 100, 50 и 20 рублей запишите в B как столбец из трёх строк.

Произведение A × B даёт столбец (420; 340). Первый комплект стоит 3 × 100 + 2 × 50 + 1 × 20 = 420 рублей, второй 340 рублей. Размер ответа 2 × 1 означает две стоимости. Здесь особенно заметен смысл умножения: количество в штуках умножается на цену за штуку, и после сложения получается денежная сумма каждого комплекта.

Таблица, которую нужно повернуть

У двух участников записаны результаты трёх попыток: первая строка (1; 2; 3), вторая (4; 5; 6). После транспонирования получится три строки: (1; 4), (2; 5), (3; 6). Теперь строка описывает попытку, а столбец участника.

Ни одно значение не пересчитывается, меняется только расположение. Это полезно, когда следующая таблица или формула ожидает другой порядок осей. Повторное транспонирование вернёт исходные две строки. Не путайте эту операцию с разворотом списка снизу вверх: транспонирование переносит элемент из позиции «строка 2, столбец 3» в позицию «строка 3, столбец 2».

Масштабирование рисунка и возврат координат

Матрица A со строками (2; 0) и (0; 3) растягивает рисунок по горизонтали в два раза, по вертикали в три. Точка с координатами (4; 5), записанная столбцом, после умножения становится точкой (8; 15). Определитель A равен 6: площадь любой фигуры при таком преобразовании увеличивается в шесть раз.

Обратная матрица имеет строки (1/2; 0) и (0; 1/3). Умножьте её на столбец (8; 15), и получите исходные (4; 5). Дробь 1/3 здесь лучше оставить точной. Если заранее заменить её числом 0,33, вертикальная координата вернётся как 4,95, и ошибка возникнет ещё до следующего преобразования.

Цена двух товаров по двум покупкам

Два карандаша и один ластик стоят 7 условных единиц, один карандаш и три ластика стоят 11. Если x обозначает цену карандаша, а y цену ластика, получаем 2x + y = 7 и x + 3y = 11. Матрица коэффициентов A имеет строки (2; 1) и (1; 3), столбец итогов B содержит 7 и 11.

Определитель A равен 5. Её обратная матрица состоит из строк (3/5; −1/5) и (−1/5; 2/5). Умножение A⁻¹ × B даёт x = 2, y = 3. Проверка в первой покупке: 2 × 2 + 3 = 7; во второй: 2 + 3 × 3 = 11. Это система линейных уравнений. Для отдельного уравнения с x² нужен калькулятор квадратных уравнений, поскольку обычная матрица коэффициентов не устраняет нелинейность.

Точность записи и проверка результата

Калькулятор сохраняет рациональные числа точно и сокращает дроби после действий. Ввод 0,1 означает 1/10, а 0,2 означает 1/5, поэтому сумма равна ровно 3/10. Эта точность относится к записанным числам: если исходное измерение было приблизительным, дробная запись сама по себе не делает его точнее. Отдельные действия можно проверить в калькуляторе дробей.

В одном элементе допускается до 15 цифр, включая числитель и знаменатель. Буквы, корни, комплексные числа и выражения вроде 2+3 не разбираются: сначала найдите числовое значение. Для смешанной дроби 1 и 1/2 используйте 3/2. В результирующей матрице строка не должна терять элементы при копировании: они разделены табуляцией, а строки переносами, что удобно для вставки в таблицу.

Зачем матрицы нужны вне учебника

В маленькой задаче матрица экономит запись, а в большой позволяет применить одно правило к множеству чисел. Компьютер повторяет те же действия для тысяч строк и столбцов. Ограничение этой формы 4 × 4 нужно для удобного ручного ввода и чтения шагов; сама математика не заканчивается на четырёх строках.

Фотографии и изображения

Цифровое изображение состоит из пикселей, расположенных в строках и столбцах. Простой пример представляет чёрно-белую картинку таблицей яркостей. В распространённой восьмибитной записи одному пикселю соответствует число от 0 до 255: от чёрного до белого, с оттенками серого между ними. Цветное изображение содержит несколько цветовых каналов.

Поэтому обработка изображения связана с массивами чисел: можно изменять яркость, сравнивать соседние пиксели, искать границы объектов. При этом произвольное матричное умножение двух фотографий не означает их привычное наложение. У конкретной обработки есть свой алгоритм. Матрица задаёт удобную форму записи, а операция определяет, что именно произойдёт с картинкой.

Координаты в играх и графике

Чтобы увеличить фигуру, можно пересчитать координаты каждой её точки. Например, при удвоении размера точка (2; 3) переходит в (4; 6), а точка (−1; 2) в (−2; 4). Матрица позволяет записать общее правило увеличения один раз. Повороты и отражения тоже описывают матрицами, а последовательность преобразований связывают умножением.

В трёхмерной графике для совмещения поворотов, перемещений и изменения масштаба часто используют матрицы 4 × 4. Дополнительная координата позволяет записать перенос в той же форме, что и другие действия. Чтобы понять пользу, достаточно представить игровую модель: одно правило применяется ко всем её вершинам, и объект целиком меняет положение или размер.

Таблицы наблюдений и данных

Предположим, вы наблюдаете за тремя растениями и записываете высоту и число листьев. Получается матрица 3 × 2: строка относится к одному растению, столбцы к двум измеряемым признакам. По такой таблице можно сравнивать наблюдения или готовить данные для вычислений. Во многих задачах машинного обучения строки также соответствуют объектам, а столбцы их признакам.

Здесь важно сохранить смысл единиц. Высота в сантиметрах и количество листьев являются разными величинами: складывать их в один «общий результат растения» без заданного правила бессмысленно. Матрица не освобождает от понимания задачи. Она помогает аккуратно хранить связи между числами и последовательно выполнять выбранные действия.

Попробуйте решить без калькулятора

Начните с коротких заданий. Они проверяют три разные вещи: порядок строк и столбцов, правило сложения и правило умножения. Ответ можно раскрыть после собственной попытки, а затем повторить расчёт в форме.

Размер и транспонирование. У матрицы две строки: (1; 2; 3) и (4; 5; 6). Какой у неё размер и какой станет первая строка после транспонирования?

Проверить размер и первую строку

Исходный размер 2 × 3. После транспонирования получится 3 × 2, первая строка будет (1; 4). Она собрана из первого столбца исходной матрицы.

Сложение одной строки. Найдите сумму матриц (2; −1) и (3; 4). Сколько ячеек останется в ответе?

Проверить сумму

Получится строка (5; 3): 2 + 3 = 5, −1 + 4 = 3. Ячеек останется две. Сложение не склеивает матрицы в одну длинную строку.

Строка на столбец. В строке стоят 2 и 3, в столбце сверху вниз 4 и 5. Найдите произведение матрицы 1 × 2 на матрицу 2 × 1.

Проверить произведение

Результат имеет размер 1 × 1 и содержит число 2 × 4 + 3 × 5 = 23. Числа 8 и 15 являются промежуточными произведениями, их ещё нужно сложить.

Вопросы об особых случаях

Размер ответа, знак определителя и порядок множителей помогают проверить решение до длинных вычислений. При нулевом определителе отдельно проверяют правую часть системы: обратной матрицы уже нет, но сами уравнения могут иметь разные исходы.

Можно ли менять матрицы местами при умножении?

В общем случае нельзя. Для стартовых A и B произведение AB имеет строки (19; 22) и (43; 50), а BA даёт (23; 34) и (31; 46). У прямоугольных матриц обратный порядок иногда вообще несовместим по размерам.

Если определитель нулевой, у системы нет решений?

Не обязательно. Уравнения x + y = 2 и 2x + 2y = 4 имеют бесконечно много решений, а x + y = 2 и 2x + 2y = 5 несовместны. Матрица коэффициентов у них одинаковая и вырожденная, но правые части различаются.

Может ли определитель быть отрицательным?

Да. Например, у матрицы со строками (0; 1) и (1; 0) он равен −1. Для плоского линейного преобразования модуль определителя показывает изменение площади, а знак различает сохранение и смену ориентации. Отрицательная площадь из этого не следует.

Как найти определитель треугольной матрицы?

Перемножьте главную диагональ. У матрицы со строками (2; 7; 1), (0; 3; 9), (0; 0; −1) получится 2 × 3 × (−1) = −6. Числа 7, 1 и 9 над диагональю на этот определитель не влияют.

Работает ли правило Саррюса для матрицы 4 × 4?

Нет, правило Саррюса предназначено для определителя 3 × 3. Продолжение диагоналей по той же картинке для 4 × 4 даст неверную формулу. Здесь применяется приведение к треугольному виду с учётом перестановок строк.

Что получится у матрицы из одного числа?

У матрицы [a] определитель равен a, а обратная равна [1/a], если a не равняется нулю. Например, для [−2] ответом будет [−1/2]. Транспонирование матрицы 1 × 1 ничего не меняет.

Почему очень маленький определитель не равен нулю?

Нулевой и малый ненулевой определитель имеют разный смысл. У диагональной матрицы с числами 1 и 0,000001 определитель равен 1/1000000, а обратная содержит 1000000 на второй диагональной позиции. Обратная существует, но небольшая погрешность исходных измерений может существенно повлиять на восстановленные значения.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.