Складываем две таблицы по одинаковым клеткам
Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел. Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить числа на одинаковых местах: верхнее левое с верхним левым, верхнее правое с верхним правым и так далее. Например, строки (1; 2) и (3; 4) при сложении со строками (5; 6) и (7; 8) дают (6; 8) и (10; 12). Размеры обеих таблиц должны совпадать.
Представьте два школьных класса, которые собирают канцтовары для мастерской. В каждой таблице первая строка относится к младшей группе, вторая к старшей. Первый столбец содержит тетради, второй карандаши. Сложение объединит запасы и сохранит сведения о том, какой группе что достанется. Одна общая сумма такого ответа не даст: десять предметов могут оказаться и десятью тетрадями, и пятью тетрадями с пятью карандашами.
В этой операции нет нового способа складывать числа. Новое здесь только расположение данных. Каждая клетка имеет свой адрес, поэтому десятки отдельных маленьких расчётов можно записать одним действием A + B. Буквы A и B называют целые таблицы, а не отдельные неизвестные числа.
Что означают строки, столбцы и размер
Строка идёт слева направо, столбец сверху вниз. В размере матрицы сначала называют количество строк, потом количество столбцов. Запись 2 × 3 означает две строки по три числа. Всего в такой матрице шесть элементов: элементом называют одно число в одной клетке. Подписи «класс» и «тетради» помогают читать таблицу, но в числовую матрицу не входят.
У матриц 2 × 3 и 3 × 2 одинаковое количество чисел, однако сложить их нельзя. Для некоторых адресов у одной таблицы нет соответствующей клетки у другой. Например, позиция «первая строка, третий столбец» существует у первой матрицы и отсутствует у второй. Переставлять числа до совпадения формы можно только тогда, когда это допускает сама задача.
| Размер A | Размер B | Сумма |
|---|---|---|
| 2 × 2 | 2 × 2 | Матрица 2 × 2 |
| 1 × 3 | 1 × 3 | Строка из трёх чисел |
| 3 × 1 | 3 × 1 | Столбец из трёх чисел |
| 2 × 3 | 3 × 2 | Сложение не определено |
Совпадение формы необходимо и для учебных чисел, и для бытовых таблиц. Во втором случае проверьте ещё смысл: строки должны относиться к одним и тем же людям, а столбцы к одним и тем же предметам. Если в одной таблице сначала тетради, а в другой сначала карандаши, одинаковые размеры не спасут от ошибки.
Как читать формулу сложения
Правило можно записать коротко: элемент суммы равен сумме соответствующих элементов. Пусть A и B обозначают исходные матрицы, а C результат. Тогда для каждой строки и каждого столбца действует одна формула:
Первый индекс i означает номер строки, второй j номер столбца. Например, c₂₁ находится во второй строке и первом столбце. В стартовом расчёте это 3 + 7 = 10. Индексы не нужно перемножать и не нужно возводить числа в степень: они служат адресами. Начните с верхнего левого угла и двигайтесь по строкам, чтобы не пропустить клетку.
Сумма сохраняет размер исходных матриц. В ней нет нового столбца «итого», а строки не сливаются в одну. Если после поклеточного сложения нужен общий итог, сложите уже полученные элементы. Это отдельное действие, которое теряет разбивку по исходным категориям.
Где сложение матриц помогает в обычных задачах
В следующих примерах числа внутри скобок образуют одну строку. Точка с запятой отделяет соседние столбцы, а следующая пара скобок обозначает следующую строку. Перед вводом полезно подписать смысл строк и единицы, особенно если одна таблица содержит деньги, а другая количество вещей.
Канцтовары для двух кружков
Для кружков рисования и моделирования первый класс собрал соответственно (4; 6) и (3; 2) тетрадей и карандашей. Второй класс передал тем же кружкам (5; 3) и (2; 7). Сумма состоит из строк (9; 9) и (5; 9). Например, второй кружок получит 3 + 2 = 5 тетрадей и 2 + 7 = 9 карандашей.
Всего собрано 32 предмета, но это число не заменяет матрицу. Для распределения материалов нужны все четыре результата. Если кружку моделирования требовалось шесть тетрадей, по одной общей сумме нехватку не заметить. Подписи строк превращают правильные числа в понятный план выдачи.
Расходы двух участников похода
Один участник оплатил за первый и второй дни (800; 300) и (600; 400) рублей на еду и транспорт. Другой потратил (200; 150) и (500; 0) рублей на те же категории. После сложения получаются (1000; 450) и (1100; 400) рублей. Нулевой элемент означает, что во второй день у второго участника не было расходов на транспорт.
По итогам видно, что еда обошлась в 2100 рублей, транспорт в 850 рублей. Добавляйте только самостоятельные расходы: если второй участник возместил первому 200 рублей за уже учтённую покупку, это перевод между людьми. Записав его как ещё одну покупку еды, вы завысите стоимость похода при совершенно верной арифметике.
Перемещения персонажа на клетчатом поле
Два персонажа переместились за первый ход на (3; 1) и (−2; 4) клетки, за второй на (−1; 2) и (5; −3). Первый столбец обозначает движение вправо, второй вверх. Отрицательное число задаёт противоположное направление. Общие перемещения равны (2; 3) и (3; 1): у первого персонажа по горизонтали 3 + (−1) = 2.
Эти строки описывают изменение положения, поэтому складывать их естественно. Конечную координату получают, добавляя перемещение к начальной. Если первый персонаж стартовал в точке (10; 7), он окажется в (12; 10). Складывать просто координаты двух разных персонажей для поиска их общего положения было бы уже другой, непоставленной задачей.
Дробные порции для двух рецептов
На утреннюю выпечку нужно 1/3 кг муки и 1/4 кг сахара, на вечернюю 1/6 кг муки и 1/8 кг сахара. Запишите оба набора как строки размером 1 × 2. Сумма равна (1/2; 3/8) кг, то есть 500 г муки и 375 г сахара. Для муки вычисление выглядит как 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
В дробных элементах действует та же школьная арифметика: числители складывают только после приведения к общему знаменателю. Запись 1/3 + 1/6 не даёт 2/9. Если отдельная клетка вызывает сомнение, её можно проверить в калькуляторе дробей, а затем вернуться к двум столбцам ингредиентов.
Поправки к результатам измерения
Два ученика измерили по две стороны учебных деталей. Матрица измерений в сантиметрах содержит строки (10,2; 6,5) и (8,1; 4,0). По условию упражнения к первым значениям нужно прибавить 0,1 см, а из вторых вычесть 0,2 см. Таблица поправок будет (0,1; −0,2) и (0,1; −0,2). После сложения ответ равен (10,3; 6,3) и (8,2; 3,8) см.
Отрицательная поправка уменьшает число, хотя общее действие называется сложением. Поправку здесь задаёт условие, а не сам калькулятор. В настоящем измерении её нельзя придумывать ради красивого ответа. И ещё: точное сложение десятичных записей не устраняет погрешность линейки.
Посещения секций за два дня
В понедельник две группы записали (8; 5) и (6; 7) посещений бассейна и спортзала, во вторник (9; 4) и (6; 8). Сумма даёт (17; 9) и (12; 15) посещений. Вторая группа посетила спортзал 7 + 8 = 15 раз. Эта таблица подходит для подсчёта проведённых тренировок или выданных разовых пропусков.
Но 15 посещений не означают 15 разных людей. Если семь человек пришли оба дня, а один только во вторник, было восемь участников. Чтобы посчитать людей без повторов, нужны списки участников или сведения о пересечении. Матрица суммирует записанный показатель; смысл показателя задаёте вы.
Как проверить сумму и не перепутать операции
При сложении A + B и B + A дают одну и ту же матрицу. Для каждой клетки работает знакомое правило 4 + 5 = 5 + 4. Можно также менять группировку трёх слагаемых: сначала объединить первый и второй дни, затем третий, либо сначала второй и третий. При точном счёте результат одинаков, если все размеры совпадают.
Нулевая матрица состоит только из нулей. Её прибавление ничего не меняет, но размер всё равно важен: к таблице 2 × 3 подходит нулевая таблица 2 × 3. Это удобно для дня без новых поступлений. Пустые или неизвестные сведения нулями заменять нельзя: отсутствие товара и отсутствие данных говорят о разном.
Для обратной проверки вычтите из результата одну исходную матрицу. Если C = A + B, то C − B должна вернуть A. Например, (9; 9) − (5; 3) = (4; 6). Сделать такую проверку можно в калькуляторе вычитания матриц. Для других операций, включая умножение, есть общий калькулятор матриц: у умножения другое правило совместимости размеров.
На этой странице доступны матрицы с одной, двумя, тремя или четырьмя строками и столбцами. Элементы можно записать целыми числами, десятичными с запятой или точкой, а также дробями вроде −3/4. Пустая клетка вызывает ошибку. Если в условии указан ноль, введите именно 0. Результат сохраняет точные сокращённые дроби, поэтому 0,1 + 0,2 отображается как 3/10, без ошибки округления.
Вопросы о сумме матриц
Сложение сохраняет расположение чисел, но несколько привычных действий с одиночным числом требуют уточнения. Особенно внимательно стоит читать условие со скобками, коэффициентами и неизвестной матрицей.
Можно ли прибавить к матрице обычное число?
В стандартном определении сумма матрицы A и числа 5 не задана. Иногда в программировании запись A + 5 означает прибавление пятёрки к каждой клетке, но это отдельное соглашение. Для такого задания составьте вторую матрицу того же размера, заполненную пятёрками, и сложите её с A.
Как сложить матрицу саму с собой?
Каждый элемент удвоится: A + A = 2A. Например, строка (3; −4; 0) в сумме с собой даст (6; −8; 0). Обозначение 2A означает умножение каждого элемента на число 2; оно не равно матричному произведению A на A.
Как найти неизвестную матрицу в равенстве A + X = B?
Вычтите A из B по соответствующим клеткам: X = B − A. Если A состоит из строки (2; 5), а B из строки (7; 3), то X = (5; −2). Проверка: (2; 5) + (5; −2) = (7; 3).
Можно ли складывать квадратную матрицу и единичную?
Да, если размеры совпадают. В единичной матрице единицы стоят на главной диагонали, остальные элементы равны нулю. При сложении с ней увеличатся на единицу только диагональные элементы A. Прибавление единичной матрицы отличается от прибавления единицы к каждой клетке.
Чем отличается сумма от среднего двух матриц?
Для среднего нужно сначала сложить соответствующие элементы, а затем каждый результат разделить на 2. У строк (4; 8) и (6; 2) сумма равна (10; 10), а среднее (5; 5). Если усредняются группы разного размера, простого деления на два может быть недостаточно: понадобятся веса.
Может ли сумма матриц из положительных чисел стать нулевой?
Нет: если каждый элемент больше нуля, каждая сумма тоже будет положительной. Нули могут получиться при сложении противоположных элементов, например 7 и −7. Даже если в одной клетке ответ стал нулевым, остальные клетки нужно проверить отдельно: они складываются независимо.
Что означает запись 2A + 3B?
Сначала каждый элемент A умножают на 2, каждый элемент B на 3, затем складывают полученные матрицы. Для A = (1; 4) и B = (2; −1) получится (2; 8) + (6; −3) = (8; 5). Множители относятся ко всем элементам, а не только к первой строке.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор матриц. Введите числа в матрицы и выберите действие, чтобы получить решение.
- Вычитание матриц. Введите две матрицы одного размера, чтобы найти разность по ячейкам.
- Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
- Калькулятор сложного процента. Рассчитайте на инвесткалькуляторе сумму, полученную в результате применения сложного процента с реинвестированием, регулярным пополнением, капитализацией и с примерами.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.