Умножение матриц

Размер результата	2 × 2

Что значит умножить две матрицы

Два набора тетрадей и карандашей рядом с ценниками и чеком

Матрица представляет собой прямоугольную таблицу чисел. При умножении двух таких таблиц каждое число ответа получают из строки первой и столбца второй: перемножают числа попарно, затем складывают произведения. Например, строка количества товаров (3; 2; 1) и столбец цен (100; 50; 20) дают стоимость покупки 3 × 100 + 2 × 50 + 1 × 20 = 420 рублей.

Это тот же расчёт, который происходит у кассы. Матрицы помогают записать сразу несколько покупок и несколько вариантов цен. Не нужно придумывать отдельную формулу для каждой строки: одно правило обрабатывает всю таблицу и сохраняет смысл результата. Получится не случайный набор чисел, а, например, стоимость каждого заказа у каждого поставщика.

На странице можно перемножить матрицы с числом строк и столбцов от одного до четырёх. Отрицательные числа, десятичные дроби и записи вроде 2/3 допустимы. Результат сохраняется в точных дробях; в раскрываемом решении видно, какие произведения складывались для каждой ячейки. Для знакомства со всеми действиями есть общий калькулятор матриц.

Почему строка умножается именно на столбец

Пусть первый заказ содержит три тетради и две ручки. Запишем его одной строкой (3; 2). В первом столбце второй таблицы стоят цены первого магазина: 50 рублей за тетрадь и 20 за ручку. Сопоставляем одинаковые товары: тетради с ценой тетради, ручки с ценой ручки. Стоимость заказа равна 3 × 50 + 2 × 20 = 190 рублей.

Если рядом добавить второй столбец цен, получим стоимость того же заказа в другом магазине. Если в первую таблицу добавить ещё одну строку заказа, получим ещё одну строку стоимостей. Именно поэтому строки ответа берутся из первой матрицы, а столбцы из второй. Между ними встречаются товары, по которым нужно просуммировать расходы.

c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}

В записи c обозначает элемент ответа. Индекс i указывает номер его строки, j номер столбца. Число n означает, сколько пар нужно перемножить. В примере с тетрадями и ручками n = 2. Индексы не требуется запоминать прежде, чем понятен счёт покупки: они просто сокращают длинное объяснение.

Для учебной проверки удобно закрыть листом лишние строки и столбцы. Сначала оставьте первую строку A и первый столбец B, посчитайте верхнее левое число. Затем передвиньте лист к следующему столбцу B. Когда строка ответа готова, переходите ко второй строке A. Так меньше риска случайно взять соседнюю цифру.

Какие размеры можно перемножить

Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. В каждой паре нужен партнёр: если перечислены три товара, цен тоже должно быть три. Для A размером 2 × 3 и B размером 3 × 4 ответ имеет размер 2 × 4. Внутренние числа 3 совпадают, внешние 2 и 4 описывают итог.

Две одинаковые прямоугольные матрицы 2 × 3 обычно перемножить нельзя: внутренние размеры равны 3 и 2. А разные по размеру 1 × 4 и 4 × 2 подходят и дают одну строку из двух чисел. Не меняйте размер наугад ради исчезновения ошибки. Сначала выясните, как в условии расположены данные и что обозначает каждая ось.

Иногда список цен записан строкой, хотя нужен столбец. Тогда помогает транспонирование матрицы: оно меняет строки и столбцы местами без пересчёта значений. Но совпадение размеров ещё не гарантирует правильную постановку. Если количество записано в порядке «тетради, ручки», цены должны идти в том же порядке.

Как прочитать произведение на примерах

В записях ниже числа внутри круглых скобок образуют одну строку и идут слева направо. Следующие скобки обозначают следующую строку. Когда нужен столбец, каждое его число занимает отдельную строку формы. Такая договорённость позволяет повторить пример, даже если под рукой только обычная тетрадь.

Проверка стартового примера

Возьмём A со строками (1; 2) и (3; 4), B со строками (5; 6) и (7; 8). Первая строка A встречается с первым столбцом B: 1 × 5 + 2 × 7 = 19. Для соседней ячейки берём второй столбец: 1 × 6 + 2 × 8 = 22. Нижняя строка считается как 3 × 5 + 4 × 7 = 43 и 3 × 6 + 4 × 8 = 50.

Ответ состоит из строк (19; 22) и (43; 50). В нём четыре числа, но для их получения понадобились восемь обычных умножений. Если в первой ячейке вышло 5, вы перемножили только два верхних левых элемента и потеряли вторую пару.

Сколько стоят школьные комплекты

Первый комплект содержит три тетради, две ручки и один конверт. Второй содержит одну тетрадь, четыре ручки и два конверта. Матрица количества A имеет строки (3; 2; 1) и (1; 4; 2). Цены 100, 50 и 20 рублей поставим в B столбцом. У первого комплекта стоимость 300 + 100 + 20, у второго 100 + 200 + 40.

Получаем столбец (420; 340). Два комплекта стоят 420 и 340 рублей соответственно. Размер 2 × 1 сразу подсказывает, что это две суммы по одному варианту цен. Если нужно собрать по десять одинаковых комплектов каждого вида, количества в обеих строках можно увеличить в десять раз; цены при этом остаются прежними.

Как сравнить двух поставщиков

Для первой группы нужны две тетради и три ручки, для второй четыре тетради и одна ручка. Строки A равны (2; 3) и (4; 1). Первый поставщик продаёт тетради по 50, ручки по 20 рублей. Второй по 45 и 25 рублей. Поэтому строки B равны (50; 45) и (20; 25): каждая строка описывает товар, каждый столбец поставщика.

Произведение даёт (160; 165) и (220; 205). Первый заказ дешевле у первого поставщика на 5 рублей, второй у второго на 15. Более дешёвая тетрадь сама по себе не гарантирует меньший чек: важен состав заказа. Доставка и минимальная сумма покупки здесь не учтены, их нужно прибавлять уже к стоимости подходящего заказа.

Баллы за задания разной сложности

За простое задание дают один балл, за среднее два, за сложное четыре. Первый участник решил 3 простых, 2 средних и 1 сложное, второй 1 простое, 3 средних и 2 сложных. В A запишем строки (3; 2; 1) и (1; 3; 2), в B столбец (1; 2; 4).

Результат равен (11; 15): 3 + 4 + 4 = 11 и 1 + 6 + 8 = 15. Оба участника решили по шесть заданий, но набрали разные баллы. Числа 1, 2 и 4 называют весами: они показывают вклад каждого типа задания. Такой расчёт имеет смысл только при заранее заданном правиле оценивания.

Как изменить координаты рисунка

Матрица со строками (2; 0) и (0; 3) увеличивает горизонтальную координату вдвое, вертикальную втрое. Координаты точки (4; 5) запишите столбцом. Умножение даёт новую точку (8; 15): 2 × 4 + 0 × 5 = 8 и 0 × 4 + 3 × 5 = 15. Начало координат остаётся на месте.

Если в соседний столбец B добавить вторую точку (−1; 2), её новые координаты будут (−2; 6). Так одно правило обрабатывает сразу несколько вершин рисунка. Для возврата к исходным координатам нужна обратная матрица; в этом примере на её диагонали стоят 1/2 и 1/3. Простая смена знаков обратного действия не даст.

Когда порядок меняет смысл

Пусть A меняет координаты местами и имеет строки (0; 1) и (1; 0). Матрица B растягивает только горизонтальное направление вдвое: (2; 0) и (0; 1). Для точки (3; 4) сначала применим B, затем A. Точка станет (6; 4), затем (4; 6). В произведении AB к столбцу координат сначала применяется правый множитель B.

При обратном порядке сначала получаем (4; 3), затем (8; 3). Значит, AB и BA описывают разные преобразования, хотя размеры в обоих случаях подходят. Попробуйте представить вытянутую фотографию, которую после этого отразили относительно диагонали. Перестановка действий меняет направление растяжения.

Как найти ошибку до пересчёта всей таблицы

Сначала проверьте размер ответа. Затем пересчитайте одну ячейку вручную, сохраняя знаки. Например, строка (−2; 3) и столбец (4; −1) дают −8 − 3 = −11. Если вместо этого вышло −5, вероятно, потерян минус у второго произведения. Для трёх или четырёх пар полезно сначала записать все произведения и только потом сложить их.

Нули пропускать в записи исходной матрицы нельзя. В строке (2; 0; 5) они удерживают место второго признака. Если удалить ноль и оставить (2; 5), получится другая размерность и другое сопоставление. В калькуляторе пустая видимая ячейка вызывает ошибку, чтобы случайный пропуск не превратился в правдоподобный ответ.

Дроби лучше не округлять раньше времени. В строке (1/3; 2/3) и столбце (6; 3) итог равен ровно 4. Замена дробей на 0,33 и 0,67 даёт 3,99. Это уже другие исходные числа. Калькулятор точно обрабатывает введённую дробь, но не может восстановить значение, которое вы округлили до ввода.

Вопросы о правилах умножения

Привычные правила обычных чисел переносятся на матрицы не полностью. Особенно осторожно стоит обращаться с нулём, единицей и попыткой сократить множитель в обеих частях равенства.

Можно ли умножить матрицу на саму себя?

Да, если она квадратная. Запись A² означает A × A по правилу строки и столбца. У матрицы со строками (1; 2) и (3; 4) квадрат равен (7; 10) и (15; 22), а не (1; 4) и (9; 16).

Чем умножение на число отличается от произведения матриц?

При умножении на обычное число каждый элемент отдельно умножают на него. Например, 3A для строки (2; 5) даёт (6; 15). Матричное произведение использует суммы попарных произведений. Для квадратной A тот же эффект даёт умножение на 3I, где I имеет единицы на главной диагонали и нули вне неё.

Могут ли две ненулевые матрицы дать нулевую?

Да. Возьмите A со строками (1; 0) и (0; 0), а B со строками (0; 0) и (0; 1). Произведение AB целиком состоит из нулей, хотя обе исходные матрицы содержат единицу. Поэтому из AB = 0 нельзя автоматически заключить, что A или B нулевая.

Какая матрица играет роль единицы?

Квадратная матрица I с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Для A размером 2 × 3 слева нужна I размером 2 × 2, справа 3 × 3. В обоих случаях произведение равно A.

Нужно ли менять порядок трёх множителей при расстановке скобок?

Нет. Если размеры согласованы, (AB)C = A(BC). Скобки можно перенести, сохраняя порядок A, B, C. Поменять сами множители местами это правило не разрешает. Иногда выбор скобок сокращает число промежуточных вычислений.

Можно ли сократить матрицу в равенстве AB = AC?

Если A имеет обратную матрицу, умножение слева на A⁻¹ даёт B = C. Без этого условия сокращение может оказаться неверным: ненулевая A способна превратить разные B и C в один результат. По одному сходству записи с обычными числами сокращать нельзя.

Почему строка на столбец и столбец на строку дают разные ответы?

Строка (2; 3), умноженная на столбец (4; 5), даёт матрицу 1 × 1 с числом 23. Обратный порядок даёт матрицу 2 × 2 со строками (8; 12) и (10; 15). Размеры согласованы в обоих случаях, но каждая ячейка собирается из других пар.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.