Как поменять строки и столбцы местами
Транспонировать матрицу значит переписать её строки столбцами, сохраняя порядок чисел. Первая строка становится первым столбцом, вторая вторым и так далее. Например, из двух строк (1; 2; 3) и (4; 5; 6) получатся три строки (1; 4), (2; 5), (3; 6). Ни одно число не умножается и не меняет знак.
Представьте школьную таблицу оценок. Слева перечислены ученики, сверху предметы. Если поменять эти две группы местами, оценки останутся теми же, но строка теперь будет описывать предмет, а столбец ученика. Удобнее сравнивать ребят по математике? Читайте строку математики. Нужны все оценки одного ученика? Они окажутся в его столбце.
Калькулятор работает с прямоугольными матрицами от 1 × 1 до 4 × 4. Размер читается как «строки на столбцы», поэтому после транспонирования 2 × 3 превратится в 3 × 2. Введите числа в исходном расположении; ответ и шаги покажут, куда переехал каждый элемент. С другими действиями можно познакомиться в общем калькуляторе матриц.
Что означает маленькая буква T
Исходную матрицу обычно называют A, транспонированную обозначают Aᵀ. Буква T вверху справа является знаком операции. Она не означает число, степень или неизвестную переменную. В некоторых учебниках вместо неё ставят штрих, поэтому перед решением стоит прочитать принятые в книге обозначения.
У каждого числа в таблице есть адрес из двух номеров. Сначала называют строку, затем столбец: a₂₃ стоит во второй строке и третьем столбце. При транспонировании номера меняются местами. Это же число окажется в третьей строке и втором столбце новой таблицы. В учебнике правило записывают коротко:
Буквы i и j обозначают номера, а не значения ячеек. Если число 7 находилось в позиции (2; 3), оно переходит в позицию (3; 2), но остаётся семёркой. Такой способ проверки особенно удобен, когда вокруг много одинаковых чисел и по внешнему виду трудно заметить ошибку.
В квадратной матрице элементы с одинаковыми номерами строки и столбца остаются на месте. Это главная диагональ: путь от верхнего левого угла к нижнему правому. Для матрицы 3 × 3 позиции (1; 1), (2; 2), (3; 3) не меняются. Элементы по разные стороны диагонали обмениваются местами парами.
Как переписать матрицу без потерь
Сначала нарисуйте пустую таблицу нужного размера. Для исходных трёх строк и двух столбцов подготовьте две строки и три столбца. Затем двигайтесь по одной исходной строке за раз: прочитайте её слева направо и перенесите сверху вниз в соответствующий столбец ответа. Переходить между разными строками на середине переноса не нужно.
Возьмём A со строками (1; 2), (3; 4), (5; 6). Первая исходная строка создаёт первый столбец ответа: 1 сверху, 2 снизу. Вторая создаёт второй столбец: 3 сверху, 4 снизу. Третья создаёт третий столбец: 5 сверху, 6 снизу. Получаются строки (1; 3; 5) и (2; 4; 6).
После переноса пересчитайте элементы: их должно остаться шесть. Затем проверьте один угол и одну внутреннюю позицию. В примере число 5 из нижнего левого угла попало в верхний правый. Если итог внезапно имеет три строки, вы, вероятно, просто скопировали исходную таблицу в прежнем виде.
Нулевые элементы тоже переносятся. В строке (8; 0; 6) ноль занимает вторую позицию; это полноценное число, которое удерживает место. Пустая ячейка в форме вызывает ошибку, чтобы пропущенное значение не потерялось среди остальных. Дроби вроде −1/2 и десятичные записи переносятся с тем же значением, хотя ответ может показать сокращённую дробь вместо десятичной.
Когда транспонирование помогает на практике
Операция меняет способ чтения данных. Поэтому у каждого примера нужно следить не только за числами, но и за подписями: что раньше было строкой, после расчёта станет столбцом. В калькулятор вводятся сами числа, а названия учеников, предметов и товаров полезно держать рядом в черновике.
Оценки по ученикам и предметам
У Ани оценки по математике, русскому языку и истории равны 5, 4, 3. У Бориса 4, 5, 5. Запишем две строки (5; 4; 3) и (4; 5; 5). После транспонирования ответ имеет строки (5; 4), (4; 5), (3; 5). Теперь первая строка содержит математику, вторая русский язык, третья историю.
Количество учеников осталось равным двум, но теперь оно выражается числом столбцов. Не подписывайте первые две строки старым списком имён: третьей строки в нём нет. Например, тройка Ани по истории находится в третьей строке и первом столбце. Транспонирование помогает подготовить таблицу к другому отчёту, но само по себе не вычисляет средний балл.
Список температур для столбчатой таблицы
За четыре дня измерили температуры −2, 0, 3 и 1 °C. На бумаге они записаны одной строкой (−2; 0; 3; 1), а шаблон отчёта ожидает по одному дню в строке. Транспонирование матрицы 1 × 4 даёт столбец (−2; 0; 3; 1) размером 4 × 1.
Первым остаётся тот же день с температурой −2 °C. Числа не сортируются от холодного к тёплому и не разворачиваются задом наперёд. Такая смена ориентации называется превращением вектора-строки в вектор-столбец. Вектор здесь означает просто упорядоченный список чисел; новое слово не добавляет скрытого вычисления.
Стоимость набора в записи через строку
Нужны три тетради по 50 рублей и две ручки по 20 рублей. Количество уже записано строкой (3; 2), цены тоже строкой (50; 20). Две строки 1 × 2 нельзя перемножить обычным матричным способом. Транспонируем цены и получаем столбец (50; 20). Теперь произведение строки количества на столбец цен равно 190 рублям.
Здесь смена расположения подготовила числа к следующему действию. Само транспонирование не считало стоимость и не меняло 50 или 20. Чтобы завершить задачу, нужен калькулятор умножения матриц. Проверьте порядок товаров: первая цена должна соответствовать первому количеству, иначе форма будет правильной, а чек неправильным.
Какие дороги ведут обратно
Есть три пункта: школа, парк и стадион. Из школы можно пройти в парк, из парка в стадион; обратных переходов в этой условной схеме нет. Обозначим разрешённый переход единицей, отсутствие нулём. Строка указывает, откуда идут, столбец куда. Матрица имеет строки (0; 1; 0), (0; 0; 1), (0; 0; 0).
После транспонирования получатся (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0). Это схема, где направления всех переходов обращены: парк ведёт к школе, стадион к парку. В настоящей маршрутной задаче такой приём помогает рассмотреть, откуда можно прийти в выбранный пункт. Он не доказывает, что движение обратно физически разрешено: обратная схема здесь построена математически.
Таблица расстояний, которая не меняется
Пусть расстояния между тремя точками в обоих направлениях одинаковы: от первой до второй 2 км, от первой до третьей 5 км, от второй до третьей 3 км. Строки таблицы равны (0; 2; 5), (2; 0; 3), (5; 3; 0). Транспонирование возвращает ту же матрицу, потому что каждое расстояние совпадает со встречным.
Такую матрицу называют симметричной: её элементы зеркально совпадают относительно главной диагонали. Нули на диагонали описывают расстояние от точки до неё самой. Для времени поездки по односторонним улицам симметрия уже не обязательна: путь туда и обратно может занимать разное время. Само квадратное расположение таблицы симметрию не гарантирует.
Почему зеркальное отражение и поворот отличаются
Запишем две строки (1; 2; 3) и (4; 5; 6). Транспонирование даёт (1; 4), (2; 5), (3; 6). Если же повернуть всю исходную таблицу на 90° по часовой стрелке, порядок окажется другим: (4; 1), (5; 2), (6; 3). У обеих новых таблиц размер 3 × 2, поэтому одного подсчёта строк для проверки мало.
Разницу легко представить на маленькой картинке, где числа обозначают цвета шести пикселей. Транспонирование обменивает горизонтальное и вертикальное направления. Поворот дополнительно разворачивает порядок вдоль одного из них. Для квадратной сетки транспонирование можно представить как отражение относительно главной диагонали, а для прямоугольной надёжнее следовать адресам ячеек.
Как проверить ответ и не перепутать операции
Повторное транспонирование возвращает исходную матрицу: (Aᵀ)ᵀ = A. Это удобная проверка переноса. Если сначала получили три строки вместо двух, а после второго действия снова две строки с теми же числами на тех же местах, размещение согласуется с правилом. Но проверяйте именно оба переноса: случайная одинаковая ошибка в двух ручных действиях может остаться незамеченной.
Транспонированная и обратная матрица решают разные задачи. Обратная отменяет действие матрицы при умножении, если она существует. У матрицы со строками (2; 0) и (0; 3) транспонированная совпадает с исходной, а обратная имеет строки (1/2; 0) и (0; 1/3). Буква T и показатель −1 не взаимозаменяемы.
У транспонирования нет требования ненулевого определителя. Даже таблица, полностью состоящая из нулей, имеет транспонированную. Для прямоугольника 2 × 3 результатом станет нулевая таблица 3 × 2. Можно переставить данные и в вырожденной квадратной матрице, где одна строка повторяет другую: отсутствие обратной этому не мешает.
Вопросы о транспонированной матрице
После освоения переноса полезно проверить составные выражения. Здесь T относится ко всей матрице перед ним, а скобки показывают, к какому результату применяется действие.
Как транспонировать сумму двух матриц?
Можно сначала сложить и затем транспонировать либо сначала транспонировать обе и сложить результаты: (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ. Например, строки (1; 2) и (3; 4) в сумме дают (4; 6); после переноса это столбец с числами 4 и 6. Второй порядок приводит к тому же столбцу.
Что происходит с произведением матриц?
При транспонировании произведения порядок меняется: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Для A размером 2 × 3 и B размером 3 × 4 ответ слева имеет размер 4 × 2. Справа именно Bᵀ размером 4 × 3 и Aᵀ размером 3 × 2 дают такой результат; произведение в прежнем порядке здесь вообще не определено.
Что получится у матрицы из одного числа?
Тот же элемент на том же месте: [−2]ᵀ = [−2]. Размер 1 × 1 не меняется. То же относится к нулю и любой допустимой дроби, например [2/3]. Транспонирование не обращает дробь и не меняет её знак.
У квадратной матрицы меняется определитель?
Нет, det(Aᵀ) = det(A). Например, у строк (1; 2) и (3; 4) определитель равен 1 × 4 − 2 × 3 = −2. После транспонирования строки равны (1; 3) и (2; 4), а определитель по-прежнему 1 × 4 − 3 × 2 = −2.
Любая диагональная матрица симметрична?
Да. Вне главной диагонали у неё стоят нули, которые меняются местами только с нулями. На самой диагонали значения остаются на месте. При этом симметричная матрица может иметь ненулевые элементы вне диагонали, если они попарно совпадают.
Всегда ли AᵀA и AAᵀ имеют одинаковый размер?
Нет. Для A размером 2 × 3 произведение AᵀA имеет размер 3 × 3, а AAᵀ размер 2 × 2. Обе матрицы симметричны, но сравнивать их как равные нельзя уже из-за разных размеров. Даже для квадратной A эти два произведения могут различаться.
Почему после переноса десятичное число показано дробью?
Калькулятор записывает точный результат сокращённой обыкновенной дробью. Поэтому 0,5 может выглядеть как 1/2, а 0,25 как 1/4. Значения при этом не меняются. Если перенесено −0,5, знак сохраняется и получается −1/2.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор матриц. Введите числа в матрицы и выберите действие, чтобы получить решение.
- Умножение матриц. Введите две матрицы, чтобы получить произведение и увидеть все шаги.
- Обратная матрица. Введите квадратную матрицу, чтобы найти обратную и проверить решение.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.