Калькулятор системы линейных уравнений

Как найти неизвестные в нескольких уравнениях

Система линейных уравнений требует найти числа, которые одновременно подходят каждому равенству. В стартовом примере x + y = 5 и 2x − y = 1. Подходят x = 2 и y = 3: первое равенство даёт 5, второе 1. Одно уравнение оставило бы множество возможных пар, а второе позволяет выбрать одну.

В каждой строке калькулятора вводят коэффициенты при x, y и, если выбран размер из трёх переменных, при z. Последнее поле строки находится справа от знака равенства. Для отсутствующей переменной нужен коэффициент 0: например, y = 2 записывается как 0x + 1y = 2. Пустое поле не означает ноль, потому что так легко пропустить число из условия.

Размер 2 означает два уравнения с двумя неизвестными, размер 3 означает три уравнения с тремя неизвестными. Калькулятор принимает целые числа, конечные десятичные с запятой или точкой, а также обыкновенные дроби вроде 1/3. Ответ остаётся точной дробью, если она возникает. Он не превращается в округлённое десятичное число, которое после обратной подстановки может дать небольшое расхождение.

Почему метод работает

Метод исключения последовательно убирает переменные из строк. Если из одного уравнения вычесть другое, умноженное на число, множество решений не изменится. То же верно при перестановке уравнений и делении обеих частей одного уравнения на ненулевое число. Эти три действия позволяют получить слева простые единицы и нули, а справа прочитать ответ.

Коэффициенты удобно записать в расширенную матрицу: слева стоят числа при переменных, последняя колонка содержит правые части. Для стартового примера это две строки (1; 1 | 5) и (2; −1 | 1). Вертикальная черта отделяет числа уравнения, а не означает деление. Если хотите подробнее разобраться с самой записью, откройте калькулятор матриц; здесь матрица служит лишь способом решения системы.

В раскрываемом ходе решения показано, какую строку разделили, переставили или вычли. Иногда первый коэффициент равен нулю. Тогда строку с ненулевым коэффициентом переносят наверх, и расчёт продолжается. Ноль на первом месте сам по себе не делает систему невозможной.

Когда решение одно, а когда его нет

У системы из двух уравнений с двумя неизвестными бывают три исхода. При единственном решении после преобразований получаются отдельные значения x и y. Если одно уравнение повторяет другое, остаётся свободная переменная: пар бесконечно много. Если одинаковые левые части требуют разных правых, возникнет противоречие. Например, x + y = 2 и 2x + 2y = 5 вместе требовали бы одновременно 2x + 2y = 4 и 2x + 2y = 5, поэтому решений нет.

Удвоение всего уравнения не приносит новой информации. Для x + y = 2 и 2x + 2y = 4 можно выбрать x = 0, y = 2 или x = 1, y = 1. Оба варианта подходят. В результате калькулятор обозначает свободную переменную параметром, например y = t, а зависимую через него: x = 2 − t. Такая запись описывает все решения, а не одну удобную пару.

У трёх неизвестных возможны одна или несколько свободных переменных. Ход решения нужен здесь особенно: по одному сообщению «бесконечно много» нельзя понять, какие величины можно выбирать самостоятельно. Если же получается строка вида 0x + 0y + 0z = 3, противоречие исключает любой набор значений.

Где система помогает в обычной задаче

Сначала назовите неизвестные и запишите для каждого факта отдельное равенство. Все числа в одной строке должны относиться к одним и тем же единицам. После расчёта подставьте ответ обратно хотя бы в одно исходное условие: это быстро выявляет перепутанные коэффициенты и правые части.

Цена тетради и ручки. Две тетради и ручка стоят 110 ₽, одна тетрадь и две ручки 100 ₽. Если x обозначает цену тетради, y цену ручки, вводим 2x + y = 110 и x + 2y = 100. Получается x = 40 ₽ и y = 30 ₽. При покупке десяти тетрадей не стоит делить 110 ₽ на три предмета: цены у них разные.

Тариф поездки. Поездка на 5 км стоит 350 ₽, на 10 км 600 ₽. Пусть x это фиксированная подача машины в рублях, y цена километра в рублях за км. Уравнения x + 5y = 350 и x + 10y = 600 дают x = 100 и y = 50. Значит, оценка поездки на 7 км по той же линейной модели равна 450 ₽. Это только модель по двум наблюдениям: ожидание и ночной тариф в ней не учтены.

Смесь двух растворов. Нужно 10 л смеси с 3,2 л растворённого вещества. Первый раствор содержит 20%, второй 50%. Обозначим их объёмы x и y в литрах: x + y = 10, 0,2x + 0,5y = 3,2. Ответ x = 6 л, y = 4 л. Проверка количества вещества: 1,2 + 2 = 3,2 л. Здесь проценты переведены в доли, а не подставлены числами 20 и 50.

Три цены по трём наборам. Один экземпляр каждого из трёх товаров стоит 6 условных единиц. Если второй товар взять дважды, сумма станет 8; если вместо этого удвоить третий, станет 9. Уравнения x + y + z = 6, x + 2y + z = 8 и x + y + 2z = 9 дают x = 1, y = 2, z = 3. Разности между наборами сразу раскрывают цены второго и третьего товара, а первое равенство затем находит цену первого.

Половины без округления. Сумма двух чисел равна 1, разность равна 0. Из x + y = 1 и x − y = 0 получается x = 1/2 и y = 1/2. Если условия содержат третьи доли, ответ может быть 1/3 или 2/3; точная запись сохраняет равенства при подстановке. Это полезнее шести знаков после запятой в учебной проверке.

Нет нового условия. В двух строках x + y = 2 и 2x + 2y = 4 второе условие только повторяет первое. Калькулятор сообщает о бесконечном наборе пар. В реальной задаче это сигнал не угадывать одну цену или одно расстояние, а найти ещё один независимый факт. Если вместо 4 справа записано 5, нужно проверить сами наблюдения: система несовместна.

Границы такого расчёта

Линейное уравнение содержит неизвестные только в первой степени. Произведение xy, квадрат x² и дробь 1/x уже относятся к другой задаче. Если в условии есть x², используйте калькулятор квадратных уравнений, не пытайтесь вставить показатель степени как обычный коэффициент.

Вводимые здесь значения считаются точными. Для измерений с шумом три неточных уравнения могут формально противоречить друг другу, хотя описывают примерно одну ситуацию. Тогда требуется метод подгонки по наблюдениям, например линейная регрессия, а не принудительный поиск точного решения. Калькулятор ограничен двумя или тремя переменными: он удобен для учебных и небольших бытовых систем, но не заменяет профессиональный решатель большой численной модели.

При проверке не путайте коэффициент 0 с пустым полем, а знак минуса с вычитанием всей строки. Правые части имеют свои единицы: если x и y это рубли, их линейная сумма тоже рубли. В примере смеси первое уравнение измеряет литры раствора, второе литры вещества. Числа могут выглядеть похожими, но смысл равенств разный.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

• Калькулятор матриц. Введите числа в матрицы и выберите действие, чтобы получить решение.
• Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
• Определитель матрицы. Введите квадратную матрицу, чтобы найти определитель и увидеть шаги.
• Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
• Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
• Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
• Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
• Калькулятор дробей. Введите целые части, числители и знаменатели, чтобы получить решение.
• Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
• Калькулятор сложного процента. Рассчитайте на инвесткалькуляторе сумму, полученную в результате применения сложного процента с реинвестированием, регулярным пополнением, капитализацией и с примерами.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.