Калькулятор линейной регрессии

Наклон a	1,5
Свободный член b	0,6667
R²	0,9643
Количество пар	3

Как работает линейная регрессия

Диаграмма рассеяния с точками измерений, линией тренда и отмеченным отклонением одной точки от линии

Линейная регрессия подбирает прямую, которая описывает, как меняется Y при изменении X. На этой странице можно вставить пары наблюдений, получить уравнение прямой и оценить Y для нового X. Крупный ответ показывает именно прогноз, а наклон, свободный член и R² помогают понять, как он получился.

Каждая строка должна описывать один объект или период. Например, X равен расходу на рекламу за день, а Y числу заявок в тот же день. Если колонки не относятся к одним и тем же дням, никакая красивая линия это не исправит. Метод наименьших квадратов выбирает прямую так, чтобы сумма квадратов вертикальных отклонений точек от неё была минимальной.

\displaystyle \hat{y}=a x+b,\qquad a=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\qquad b=\bar{y}-a\bar{x}

В записи ŷ означает прогноз Y, a показывает изменение прогноза при увеличении X на единицу, b равен прогнозу при X = 0. Последний показатель имеет предметный смысл лишь тогда, когда ноль допустим и находится достаточно близко к наблюдавшемуся диапазону. Калькулятор допускает отрицательные X и Y, потому что они бывают в измерениях температуры, изменений цены или отклонений от базы.

Что означает R² и зачем смотреть остатки

R², или коэффициент детерминации, сравнивает ошибку подобранной прямой с разбросом Y вокруг среднего. Значение 0,9 означает, что в данном наборе прямая учитывает 90% вариации Y относительно модели с одним средним. Оно не означает точность каждого индивидуального прогноза в 90% и не утверждает, что X является причиной Y.

\displaystyle R^2=1-\frac{\sum (y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum (y_i-\bar{y})^2}

Разница y - ŷ для отдельной строки называется остатком. Положительный остаток означает, что фактический Y оказался выше линии, отрицательный ниже. Откройте график и таблицу остатков под результатом: там видны исходные пары, прогноз для каждой из них и ошибка. Если остатки последовательно меняют знак по мере роста X, прямая, вероятно, пропускает изгиб зависимости.

При одинаковых Y горизонтальная прямая есть, но знаменатель формулы R² равен нулю: вариации для объяснения нет. Калькулятор показывает «не определён», а не приписывает такой модели идеальное качество. Если одинаковы все X, нельзя вычислить наклон: отсутствует изменение X, по которому его оценивают. Это отдельная ошибка ввода.

Как получить и проверить прогноз

Сначала задайте X, для которого нужно оценить Y. Затем сравните его с минимальным и максимальным X в таблице. Внутри этого интервала получается интерполяция: линия продолжает наблюдавшийся диапазон. За его пределами начинается экстраполяция. Калькулятор её помечает, потому что даже отлично подходящая прямая может перестать работать при новых условиях.

Представьте, что измерения показывали расход топлива при скорости от 40 до 90 км/ч. Прогноз при 70 км/ч опирается на диапазон наблюдений. Прогноз при 160 км/ч уже выходит далеко наружу: сопротивление воздуха и режим двигателя могли поменять форму связи. Формула всё равно даст число, но решение о поездке нельзя основывать только на нём.

Подтверждать модель одним R² недостаточно. На диаграмме проверьте изгиб, несколько отдельных групп и выбросы. В таблице остатков проверьте, насколько велика типичная ошибка в единицах Y. Если точки похожи на кривую с постоянным относительным ростом и все Y положительны, сравните экспоненциальную регрессию. Если нужны лишь направление и теснота связи без прогноза, используйте калькулятор корреляции. Для анализа разброса Y отдельно пригодится стандартное отклонение.

Примеры, в которых прямая полезна и опасна

Учебные три точки. Пары (1; 2), (2; 4), (3; 5) дают прямую ŷ = 1,5x + 0,6667 и R² ≈ 0,9643. При X = 2,5 прогноз равен примерно 4,4167. Это значение находится внутри наблюдавшегося диапазона. При X = 4 формула выдаст 6,6667, но это уже экстраполяция, поэтому ответ требует отдельной проверки.

Заявки и бюджет. Для расходов 10, 20, 30, 40 и числа заявок 2, 4, 5, 8 наклон равен 0,19, свободный член 0, а R² ≈ 0,9627. При расходах 25 модель ожидает 4,75 заявки. Дробный прогноз нормален: он описывает средний уровень, а не обещает получить три четверти реальной заявки за конкретный день.

Цена и заказы. Ценам 100, 120, 140, 160 соответствовали 20, 16, 13, 9 заказов. Прямая имеет наклон -0,18 и свободный член 37,9; при цене 130 она прогнозирует 14,5 заказа. Отрицательный наклон здесь ожидаем, но фактическое решение о цене потребует ещё маржи и реакции конкурентов.

Расход энергии и температура. Для X = 10, 20, 30, 40 и Y = 90, 70, 55, 30 получается ŷ = 110 - 1,95x. При X = 25 прогноз равен 61,25 условной единицы. Если за окном будет -20, механическая подстановка даст 149, но настолько далёкая экстраполяция может игнорировать новый режим отопления.

Рост по месяцам. Для пар (1; 120), (2; 170), (3; 220), (4; 270) наклон равен 50, свободный член 70 и R² = 1. Пятый месяц даст прогноз 320, но идеальная прямая на четырёх месяцах не доказывает, что рост продолжится. Ожидаемый запуск акции или ограничение склада стоит учитывать отдельно.

Постоянный уровень. В данных (1; 7), (2; 7), (3; 7) наклон равен нулю и прогноз всегда 7. Значение R² не определено, поскольку Y вообще не менялся. Такой ответ полезен как проверка расчёта, но не как гарантия неизменности будущих наблюдений.

Две точки. Пары (1; 2) и (2; 4) задают прямую ŷ = 2x, для обеих исходных строк остаток равен нулю. Это свойство геометрии: через две точки проходит прямая. Надёжность прогноза на новых объектах по двум точкам оценить почти невозможно, поэтому соберите дополнительные наблюдения.

Как вставлять таблицу и не потерять пары

Выделите рядом два столбца в электронной таблице и вставьте их вместе. Табуляция между ячейками сохранит пары. Вручную можно разделять X и Y пробелом или точкой с запятой, а каждую новую пару записывать с новой строки. Пустые строки игнорируются, неполные и текстовые строки вызывают сообщение с номером проблемной строки. Это безопаснее, чем незаметно отбросить один неудобный случай.

Десятичную часть записывайте через точку или запятую. Не используйте запятую для разделения двух колонок: «1,2» в русской записи означает число 1,2, а не пару 1 и 2. В одной таблице единицы должны быть согласованы: нельзя смешивать минуты и часы в X или рубли и тысячи рублей в Y без пересчёта.

Порядок строк не влияет на наклон и прогноз, но соответствие X и Y внутри строки обязательно. Сортировка одного столбца отдельно разрушает пары. Выброс не следует удалять только потому, что после удаления R² выглядит приятнее. Сначала проверьте первичный журнал или причину редкого события. В курсе статистики Penn State отдельно разбираются влияние выбросов, остатки и риск экстраполяции.

Частые вопросы

Проверки ниже помогают понять границы прогнозной прямой до принятия решения.

Что делать, если свободный член отрицателен?

Отрицательное b математически допустимо. Проверьте, имеет ли X = 0 смысл в вашей задаче и входит ли он в диапазон наблюдений. Если ноль далёк от него, b служит параметром прямой, но не реалистичным отдельным прогнозом.

Может ли наклон быть равен нулю?

Да. Тогда лучшая прямая горизонтальна и прогноз Y одинаков для всех X. Это не доказывает, что связи вообще нет: зависимость может быть нелинейной или скрываться за шумом.

Почему прогноз не совпадает ни с одной точкой?

Метод минимизирует общую сумму квадратов отклонений, а не обязан проходить через каждое наблюдение. Разница между точкой и линией показывает её остаток. Точное совпадение всех точек возможно, но не является нормой.

Можно ли предсказывать за пределами X, которые были в таблице?

Формула даст число, но это экстраполяция. Чем дальше новое X от наблюдений, тем меньше оснований считать прежний линейный тренд устойчивым. Калькулятор отмечает такой случай, а надёжность нужно проверять новыми данными.

Что означает отрицательный остаток?

Фактический Y оказался ниже значения, которое дала прямая при том же X. Например, прогноз 10 и наблюдение 8 дают остаток -2. Отрицательный знак не означает ошибку ввода сам по себе.

Может ли R² быть равен единице на двух точках?

Да. Если два значения X различаются, прямая проходит через обе точки и сумма квадратов остатков равна нулю. Такой идеальный результат не сообщает, как модель поведёт себя на третьей точке.

Почему при одинаковых Y не показывается R²?

Для R² разброс Y вокруг среднего стоит в знаменателе. Когда все Y одинаковы, знаменатель равен нулю. Горизонтальную прямую и её прогноз ещё можно посчитать, но долю объяснённой вариации определить нельзя.

Чем прогноз по прямой отличается от причинного эффекта?

Прогноз использует наблюдавшееся совместное изменение. Причинный эффект отвечает на другой вопрос: что случится с Y, если специально изменить X при прочих равных. Для него нужен подходящий эксперимент или дизайн анализа, а не одно уравнение.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.