Калькулятор дисперсии

Среднее μ	5
Стандартное отклонение σ	2
Сумма квадратов отклонений	32
Делитель N	8
Количество чисел	8
Минимум / максимум	2 / 9

Что такое дисперсия простыми словами

Дисперсия показывает, насколько сильно числа разбросаны относительно своего среднего. Ноль означает, что все значения одинаковы. Чем дальше наблюдения отходят от центра, тем больше результат.

Квадраты отклонений чисел от среднего: дальним точкам соответствуют большие квадраты

Калькулятор принимает список целых, дробных и отрицательных чисел. Укажите, описывает ли список всю интересующую группу или только выборку из неё. На стартовом наборе 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 среднее равно 5, а дисперсия генеральной совокупности равна 4.

Расчёт устроен так: для каждого числа находится расстояние до среднего, затем это расстояние возводится в квадрат. Квадраты складываются и делятся на выбранный делитель. Возведение в квадрат не позволяет положительным и отрицательным отклонениям взаимно уничтожиться, но усиливает влияние далёких точек.

Формулы для совокупности и выборки

Если введены все объекты, о которых нужен вывод, используется дисперсия генеральной совокупности:

\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2

Здесь x_i обозначает отдельное значение, μ обозначает среднее, а N равно числу значений. Сумма квадратов отклонений делится на N.

Если наблюдения являются случайной выборкой из более широкой совокупности, применяется выборочная дисперсия:

\displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

В этой записи x̄ обозначает выборочное среднее, а n равно объёму выборки. Делитель n - 1 учитывает потерю одной степени свободы после оценки среднего по тем же данным. При стандартных условиях случайной выборки такая величина является несмещённой оценкой дисперсии совокупности.

У одного числа дисперсия совокупности равна нулю: единственное наблюдение совпадает со своим средним. Выборочная формула в этом случае не определена, потому что делитель n - 1 равен нулю. Поэтому в режиме выборки нужны минимум два значения.

Примеры расчёта

Обращения в поддержку за восемь часов. Оператор получил 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 обращений по часам. Это все часы смены, поэтому берём генеральную совокупность. Среднее равно 5, сумма квадратов отклонений равна 32, делитель равен 8. Получаем σ² = 32 ÷ 8 = 4. Практический вывод: показатель описывает разброс именно этой завершённой смены, оценивать другие дни по нему не требуется.

Обращения за один час в восьми выбранных днях. Если значения 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 и 9 собраны в разные дни и должны характеризовать обычную нагрузку в течение года, список становится выборкой. Среднее и сумма квадратов не меняются, но делитель равен 8 - 1 = 7. Выборочная дисперсия s² = 32/7 ≈ 4,571. Практический вывод: один набор даёт разные ответы не из-за ошибки, а из-за разной цели исследования.

Поправки лабораторного датчика. Три контрольных измерения потребовали коррекции -2, 0 и 2 °C. Среднее равно 0, сумма квадратов равна 4 + 0 + 4 = 8. Дисперсия совокупности равна 8/3 ≈ 2,667, а выборочная дисперсия равна 8/2 = 4. Практический вывод: отрицательные поправки допустимы, а сама дисперсия всё равно не бывает отрицательной и выражается здесь в °C².

Три детали одинаковой толщины. Измеритель показал 7, 7 и 7 мм. Среднее тоже равно 7, каждое отклонение равно нулю, поэтому обе дисперсии равны нулю. Практический вывод: прибор не обнаружил разброса при своей точности, но нулевая дисперсия не доказывает, что реальные размеры совпадают до бесконечного числа знаков.

Задержка ответа сервиса. Четыре запроса выполнились за 10 мс, один за 50 мс. У набора 10, 10, 10, 10, 50 среднее равно 18, сумма квадратов составляет 1280, а дисперсия совокупности равна 256. Без значения 50 остальные числа дали бы нулевой разброс. Практический вывод: единственный медленный запрос определяет почти всю изменчивость, поэтому его причину стоит исследовать отдельно, а не молча удалять.

Баллы и смена учебной шкалы. Результаты короткой работы 1, 2 и 3 балла имеют дисперсию совокупности 2/3. Если преподаватель добавит каждому по 100 баллов, получится 101, 102 и 103 с той же дисперсией. Если вместо этого удвоить каждый результат до 2, 4 и 6, дисперсия вырастет в четыре раза, до 8/3. Практический вывод: одинаковая прибавка не меняет разброс, а коэффициент изменения шкалы нужно возвести в квадрат.

Почему ответ записан в квадратных единицах

Если исходные данные измерены в метрах, каждое отклонение тоже выражено в метрах, а его квадрат уже имеет размерность квадратных метров. Поэтому дисперсия длины записывается в м², дисперсия времени в с², а дисперсия цены в ₽². Это математически верно, но не всегда удобно для непосредственной интерпретации.

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии и возвращает исходные единицы измерения:

\sigma=\sqrt{\sigma^2},\qquad s=\sqrt{s^2}

Дисперсия удобна внутри статистических формул, при разложении общей изменчивости и сравнении моделей. Стандартное отклонение чаще проще объяснить как характерный масштаб разброса. Эта профильная страница оставляет дисперсию главным ответом, а корень показывает рядом как проверочную величину.

Как правильно понимать разброс

У дисперсии нет общей границы, после которой разброс становится большим. Результат нужно сопоставлять с единицами, масштабом наблюдений, допустимым отклонением или другим набором данных. Сравнивать дисперсии температуры в градусах и длины в миллиметрах напрямую бессмысленно.

Если сравниваются группы с разными средними и нужен безразмерный показатель, пригодится коэффициент вариации. Он делит стандартное отклонение на среднее, поэтому требует осторожности, когда среднее близко к нулю или меняет знак.

Дисперсия чувствительна к выбросам: отклонение в десять раз больше вносит в сумму квадратов вклад в сто раз больше. Справочник NIST по мерам разброса прямо отмечает чувствительность стандартного отклонения, а значит и лежащей под ним дисперсии, к крайним значениям и хвостам распределения.

Если редкие большие значения важны, их нельзя удалять только ради красивого ответа. Сначала проверьте, не является ли точка ошибкой ввода или измерения. Для анализа, где нужен меньший вес далёких наблюдений, сравните результат со средним абсолютным отклонением или медианным абсолютным отклонением. Центр распределения удобно отдельно проверить по среднему, медиане и моде.

Полезные свойства дисперсии

Дисперсия всегда неотрицательна и равна нулю только тогда, когда все конечные значения одинаковы. Порядок чисел не влияет на ответ, поэтому предварительная сортировка не нужна. При добавлении одной константы ко всему списку среднее сдвигается на эту константу, но расстояния до среднего и дисперсия сохраняются.

Если каждое значение умножить на коэффициент c, дисперсия умножится на c². Именно поэтому переход от метров к сантиметрам увеличивает численную дисперсию в 10 000 раз. Знак коэффициента не важен после возведения в квадрат.

Большая дисперсия не доказывает ошибку данных и не говорит, как выглядит распределение. Два набора могут иметь одинаковые среднее и дисперсию, но разную асимметрию, несколько скоплений или разные выбросы. Для полноценного анализа полезно смотреть исходный ряд, график распределения и предметный контекст.

Как вводить числа

Числа можно записывать в строку или столбец. Подходят пробелы, переносы строк и точки с запятой. Запятая после числа с пробелом считается разделителем, а запятая внутри записи 2,5 считается десятичной. Поддерживается научная форма вроде 1.2e-6. Незаконченный знак или показатель степени не вызывает преждевременную ошибку, пока вы продолжаете печатать.

Настройка округления меняет только представление на экране. Расчёт выполняется с доступной машинной точностью по исходным значениям. Калькулятор ограничивает слишком длинные списки и отклоняет числа, для которых браузерная арифметика не может дать надёжный конечный результат.

Частые вопросы

Ответы ниже помогают выбрать делитель, единицы и подходящую меру разброса для конкретной задачи.

Когда выбирать генеральную совокупность?

Выбирайте этот режим, если список содержит все объекты, о которых нужен вывод: например, время выполнения каждой задачи завершённого проекта. Делителем будет N.

Почему выборочная дисперсия делится на n - 1?

Среднее уже оценено по той же выборке, поэтому остаётся n - 1 независимых отклонений. Такая поправка устраняет систематическое занижение оценки дисперсии совокупности при стандартной случайной выборке.

Как учитывать пропущенные значения?

Пустое наблюдение не равно нулю, поэтому не подставляйте нули вместо неизвестных данных. Рассчитайте дисперсию по фактически наблюдавшимся значениям и отдельно укажите число пропусков. Если пропуски связаны с величиной показателя, результат может быть смещён, и простого исключения строк недостаточно.

Можно ли задать частоты или веса?

Целую частоту можно учесть, повторив значение нужное число раз. Обычный калькулятор считает каждую введённую строку равноправной и не заменяет формулу взвешенной дисперсии. Дробные веса и данные с частотами удобнее считать отдельным профильным методом.

Почему ответ отличается от Excel или таблицы?

Сначала сравните режимы: в англоязычном Excel VAR.P соответствует генеральной совокупности и делителю N, VAR.S соответствует выборке и делителю n - 1. Затем проверьте одинаковый диапазон, числа, записанные как текст, пустые ячейки и округление показа. Эти различия чаще всего объясняют несовпадение.

Почему при целых исходных числах получается дробная дисперсия?

Среднее и результат деления суммы квадратов на N или n - 1 не обязаны быть целыми. Например, для 1, 2 и 3 дисперсия совокупности равна 2/3. Дробный ответ здесь является точным следствием формулы, а не потерей данных.

Стоит ли удалять выбросы?

Только если есть предметное основание считать значение ошибочным или оно не относится к исследуемой группе. Реальный редкий результат несёт информацию, а его автоматическое удаление меняет смысл анализа.

Можно ли сравнивать дисперсии двух наборов?

Да, если величины измерены в одинаковых единицах и сравнение соответствует задаче. При сильно разных средних дополнительно рассмотрите коэффициент вариации, а при разных единицах прямое сравнение обычно не имеет смысла.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.