Калькулятор стандартного отклонения

Среднее μ	5
Делитель N	8
Дисперсия σ²	4
Количество чисел	8
Минимум	2
Максимум	9

Что показывает стандартное отклонение

Проще говоря, стандартное отклонение показывает, похожи ли числа друг на друга или сильно различаются. Если ученик почти всегда получает четвёрки и пятёрки, отклонение будет небольшим. Если оценки скачут от двоек до пятёрок, оно окажется больше.

Чтобы посчитать стандартное отклонение онлайн, вставьте свои числа в поле выше и укажите, что это весь изучаемый набор или только выборка. Чем ближе результат к нулю, тем плотнее значения расположены вокруг среднего.

Наблюдения с небольшим и большим разбросом вокруг центральной линии

Результат показывает типичный масштаб расстояния от среднего арифметического. Он всегда неотрицателен и измеряется в тех же единицах, что и исходные числа: для длины это метры, для времени секунды, для цены рубли.

Калькулятор сначала находит среднее, затем отклонение каждого числа от него. Отклонения возводятся в квадрат, поэтому значения ниже и выше среднего не взаимоуничтожаются. Сумма квадратов делится на число наблюдений или на число наблюдений минус один, а из полученной дисперсии извлекается квадратный корень.

\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}},\qquad s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

В левой формуле σ относится к генеральной совокупности из N значений со средним μ. В правой формуле s оценивает разброс по выборке из n значений со средним x̄. Под знаком суммы стоят все введённые числа. Квадрат результата равен дисперсии.

Генеральная совокупность или выборка

Выберите «Генеральная совокупность», если список содержит все объекты, о которых нужен вывод. Например, вы сравниваете время выполнения всех 12 задач конкретного проекта. Тогда сумма квадратов отклонений делится на N.

Выберите «Выборка», если введённые наблюдения представляют только часть более широкой группы. Например, измерены 20 деталей из большой партии. Деление на n - 1 корректирует систематическое занижение выборочной дисперсии. Именно дисперсия с таким делителем является несмещённой оценкой дисперсии совокупности; квадратный корень s сам по себе не становится строго несмещённой оценкой.

При одинаковом списке выборочное отклонение больше отклонения совокупности, если разброс не равен нулю. Различие особенно заметно на коротких списках и уменьшается с ростом n. Калькулятор просит минимум два числа в обоих режимах, чтобы сравнение имело содержательный смысл и выборочная формула всегда была определена.

Примеры расчёта

Набор 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 как генеральная совокупность. Среднее равно 5, сумма квадратов отклонений 32. Дисперсия равна 32 ÷ 8 = 4, поэтому стандартное отклонение σ = 2.

Тот же набор как выборка. Среднее и сумма квадратов не меняются, но делитель равен 8 - 1 = 7. Получаем дисперсию 4,571428571 и выборочное отклонение s ≈ 2,138089935.

Три близких измерения 99, 100 и 101. Для генеральной совокупности среднее равно 100, дисперсия 2/3, а σ ≈ 0,8164965809. Наблюдения плотно расположены вокруг центра.

Числа 0, 100 и 200 с тем же средним 100. Их стандартное отклонение совокупности равно примерно 81,64965809. Одинаковое среднее не означает одинаковый разброс.

Отрицательные и положительные значения -2, 0 и 2. В режиме выборки среднее равно 0, сумма квадратов 8, делитель 2 и s = 2. Отрицательные исходные числа не мешают вычислению.

Одинаковые значения 7, 7 и 7. Каждое совпадает со средним, поэтому все отклонения, дисперсия и стандартное отклонение равны нулю даже в выборочном режиме.

Как интерпретировать результат

У стандартного отклонения нет универсальной границы «малого» или «большого». Значение 5 может быть ничтожным для измерений в тысячах единиц и огромным для допуска в доли единицы. Сопоставляйте результат с масштабом данных, техническими требованиями или разбросом другой группы. Для сравнения наборов с разными средними полезен коэффициент вариации.

При добавлении одной и той же константы ко всем числам среднее сдвигается, но стандартное отклонение не меняется. При умножении всех чисел на коэффициент c отклонение умножается на |c|. Поэтому перевод метров в сантиметры увеличивает численный результат в 100 раз, хотя относительная неоднородность данных остаётся прежней.

Дисперсия выражается в квадратных единицах, а стандартное отклонение возвращает исходную размерность. Из-за возведения в квадрат далёкие наблюдения получают большой вес. Один выброс способен заметно увеличить результат. Справочник NIST по мерам разброса отдельно отмечает чувствительность стандартного отклонения к хвостам распределения и приводит более устойчивые альтернативы, включая медианное абсолютное отклонение.

Нормальность распределения не нужна для самого расчёта. Она нужна только для некоторых вероятностных выводов, которые строятся поверх результата. Если требуется определить положение отдельного наблюдения относительно среднего, используйте калькулятор Z-оценки: он принимает уже найденные среднее и стандартное отклонение.

Как вводить данные без потери точности

Удобнее записывать по одному числу в строке. Также подходят пробелы и точки с запятой. Десятичную часть можно отделять запятой или точкой, научная запись вроде 1.2e-6 тоже распознаётся. Не округляйте промежуточные значения вручную: калькулятор считает по исходному списку и округляет только показ на экране, а при копировании сохраняет полное машинное значение результата.

Калькулятор сначала переносит центр отсчёта в середину диапазона. Для крайних по масштабу наборов отклонения дополнительно нормализуются перед возведением в квадрат. Это снижает потерю точности у близких больших чисел и не даёт промежуточной сумме переполниться раньше итоговой дисперсии. Всё же конечная арифметика браузера имеет предел: результат вне диапазона JavaScript будет отклонён как ненадёжный.

Частые вопросы

Короткие ответы помогают согласовать способ расчёта с таблицами, единицами и задачей анализа.

Чем стандартное отклонение отличается от стандартной ошибки?

Отклонение описывает разброс отдельных наблюдений. Стандартная ошибка описывает неопределённость оценки, например выборочного среднего, и обычно равна s, делённому на квадратный корень из n. Это разные показатели.

Может ли стандартное отклонение быть больше среднего?

Да. Среднее не является верхней границей разброса. Это часто встречается у сильно неоднородных данных и у наборов со средним, близким к нулю.

Какая функция в Excel соответствует режимам калькулятора?

Для выборки обычно используют STDEV.S, а для полной генеральной совокупности STDEV.P. В русской локализации названия функций могут отличаться, но выбор делителя n - 1 или N остаётся тем же.

Как учесть частоту повторяющегося значения?

Если частота целая, повторите число в списке нужное количество раз. Для дробных весов нужен отдельный взвешенный расчёт: обычное стандартное отклонение считает все строки равноправными.

Нужно ли сначала сортировать числа?

Нет. Среднее, дисперсия и стандартное отклонение не зависят от порядка наблюдений. Сортировка полезна только для визуальной проверки списка.

Стоит ли удалять выброс перед расчётом?

Не автоматически. Сначала выясните, является ли значение ошибкой измерения или реальным редким наблюдением. Удаление корректного значения меняет вопрос, на который отвечает расчёт.

Можно ли объединить отклонения двух групп усреднением?

Простое среднее двух отклонений обычно неверно: важны размеры групп, их средние и внутригрупповые суммы квадратов. Надёжнее объединить исходные данные или применить формулу объединённой дисперсии.

Сколько знаков оставлять в ответе?

Обычно точность результата согласуют с точностью исходных измерений. Для дальнейших вычислений храните больше знаков и округляйте только итоговый отчёт.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.