Калькулятор медианного абсолютного отклонения

Медиана ряда	2
Оценка σ для нормального ряда	1,483
Количество значений	7
Минимум	1
Максимум	9

Что показывает медианное абсолютное отклонение

Медианное абсолютное отклонение показывает, насколько далеко обычное число из списка находится от его середины. Сначала калькулятор находит медиану ряда, затем измеряет расстояние от каждого числа до неё и снова берёт медиану. Получается мера разброса, которую одно очень большое или очень маленькое значение обычно не может испортить.

Представьте оценки 3, 4, 4, 4 и 100. Последнее число выглядит нелепо, но среднее и стандартное отклонение резко на него отреагируют. Медиана останется равна 4, а медианное абсолютное отклонение будет равно 0: как минимум половина оценок точно совпадает с центром. Это не значит, что весь список одинаковый. Это значит, что его центральная половина собралась очень плотно.

Большинство точек расположено рядом с медианой, а далёкий выброс не меняет центральное отклонение

Короткое название показателя на английском языке: MAD, median absolute deviation. Результат измеряется в тех же единицах, что и исходные данные. Если в поле введены минуты, MAD тоже получится в минутах; если цены в рублях, ответ будет в рублях.

Как калькулятор находит MAD

Пусть числа уже расположены по возрастанию. Для нечётного количества медианой служит центральное число. Для чётного количества калькулятор берёт среднее двух центральных значений. Затем из каждого числа вычитается медиана, знак результата отбрасывается, а из полученных расстояний снова находится медиана.

\displaystyle \operatorname{MAD}=\operatorname{median}\left(\left|x_i-\widetilde{x}\right|\right)

Здесь xᵢ обозначает каждое исходное число, x̃ медиану списка, а вертикальные черты превращают отрицательное расстояние в положительное. Возведение в квадрат не используется, поэтому далёкий выброс не получает огромный дополнительный вес.

На странице показан исходный, или нескорректированный, MAD. Некоторые статистические программы умножают его на коэффициент 1,4826, чтобы при большом объёме данных из нормального распределения получить оценку, сопоставимую со стандартным отклонением. Калькулятор показывает такую оценку отдельной строкой, но не подменяет ею основной ответ.

\displaystyle \widehat{\sigma}\approx 1{,}4826\cdot \operatorname{MAD}

Примеры расчёта

Сроки семи доставок: 1, 1, 2, 2, 4, 6 и 9 дней. Медиана равна 2. Расстояния до неё равны 1, 1, 0, 0, 2, 4 и 7. После сортировки получаем 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, поэтому MAD равен 1 дню. Для обычного заказа типичное отклонение от центрального срока невелико, но доставка за 9 дней всё равно требует отдельной проверки.

Время пяти школьных заданий: 1, 2, 3, 4 и 5 минут. Медиана равна 3 минутам, абсолютные отклонения равны 2, 1, 0, 1 и 2. Их медиана равна 1 минуте. Учителю это говорит, что обычное задание находится примерно в минуте от центрального времени.

Сбой датчика: 1, 2, 3, 4 и 100 единиц. Медиана по-прежнему равна 3. Отклонения 2, 1, 0, 1 и 97 дают MAD, равный 1. Показатель описывает плотную основную группу, но значение 100 нельзя просто забыть: сначала нужно выяснить, это реальный скачок или ошибка измерения.

Четыре тренировки длились 2, 4, 8 и 10 минут. Медиана находится между 4 и 8 и равна 6 минутам. Отклонения 4, 2, 2 и 4 тоже имеют чётную длину; их медиана равна среднему чисел 2 и 4, то есть 3 минуты. Такой MAD показывает заметный разброс даже без единственной центральной тренировки.

Три одинаковые детали весят 7 граммов каждая. Медиана равна 7, каждое расстояние до неё равно нулю, поэтому MAD тоже равен нулю. По этим трём измерениям различий не видно, хотя это ещё не доказывает идеальную стабильность всей партии.

Показания пяти резервных датчиков: 1, 1, 1, 2 и 100. Медиана равна 1, расстояния равны 0, 0, 0, 1 и 99. MAD равен 0, хотя два значения отличаются от центра. Большинство датчиков совпало, но два несовпадения всё равно надо показать инженеру, а не скрывать за нулевым итогом.

Чем MAD отличается от других мер разброса

Стандартное отклонение использует квадраты расстояний от среднего. Оно учитывает величину каждого отклонения и хорошо работает во многих привычных моделях, но резко растёт из-за дальних значений. Дисперсия устроена так же, только оставляет результат в квадратных единицах.

Среднее абсолютное отклонение тоже обходится без квадратов, но находит обычное среднее всех расстояний от арифметического среднего. Поэтому каждый выброс всё ещё влияет и на центр, и на итоговую сумму. Медианный вариант использует медиану на обоих этапах и лучше сохраняет картину основной массы данных.

Межквартильный размах измеряет ширину центральных 50% наблюдений как Q3 - Q1. Он тоже устойчив к отдельным выбросам, но отвечает на другой вопрос. IQR сравнивает две границы центральной половины, а MAD собирает типичное расстояние до единого центра.

Справочник NIST по мерам разброса сравнивает дисперсию, стандартное, среднее абсолютное, медианное абсолютное отклонения, размах и IQR. NIST отдельно показывает, что показатели по-разному реагируют на длинные хвосты распределения. Поэтому универсально лучшей меры нет: выбор зависит от того, хотите ли вы учитывать крайние значения или описать плотное большинство.

Когда полезен коэффициент 1,4826

Если данные приблизительно похожи на нормальное распределение, нескорректированный MAD систематически меньше привычного стандартного отклонения. Умножение на 1,4826 переводит его в сопоставимый масштаб. Именно такую настройку по умолчанию использует функция mad в официальной документации R.

Коэффициент не делает данные нормальными и не превращает MAD в точное стандартное отклонение конкретного короткого списка. Это масштабная оценка при определённой модели. Для обычного описания ряда используйте главный нескорректированный результат, а оценку σ считайте удобным ориентиром для сравнения.

Как интерпретировать результат

Чем меньше MAD, тем плотнее по крайней мере центральная часть наблюдений расположена около медианы. Само число нельзя назвать большим или маленьким без масштаба задачи. Отклонение 5 рублей почти незаметно для цены автомобиля и существенно для коробка спичек.

Если прибавить ко всем значениям одно и то же число, медиана сдвинется, а MAD не изменится. Если умножить весь список на 3, MAD тоже увеличится в 3 раза. При смене знака всех чисел величина отклонения сохранится.

Для полноценного анализа не прячьте крайние значения. Сравните MAD со стандартным отклонением, посмотрите минимум и максимум, а при необходимости проверьте среднее, медиану и моду. Сильное расхождение устойчивых и неустойчивых показателей часто сообщает о данных больше, чем одно красивое число.

Как подготовить числа к расчёту

Записывайте наблюдения в одной единице и не смешивайте разные группы без ясной причины. Пять минут и пять секунд являются числами, но общий MAD для них ничего полезного не скажет, пока значения не переведены в одну единицу. Так же не стоит соединять время доставки из двух городов, если задача состоит в сравнении этих городов: посчитайте показатель для каждого списка отдельно.

Сортировать значения заранее не нужно. Калькулятор сам расставит их по порядку и сохранит повторы, потому что каждый повтор влияет на положение медианы. Не удаляйте далёкое число автоматически. Сначала проверьте, не является ли оно опечаткой, затем сравните результат с ним и без него. Если MAD почти не изменился, вы увидели его устойчивость в действии; если изменился, выброс мог затронуть уже не край, а центральную часть ряда.

Частые вопросы

Эти ответы помогают не перепутать два показателя с одинаковой аббревиатурой и правильно сравнить результат с другими мерами разброса.

Может ли медианное абсолютное отклонение быть равно нулю?

Да. Это происходит, когда центральное абсолютное расстояние до медианы равно нулю, например если больше половины значений совпадает с медианой. Остальные числа при этом могут отличаться и даже быть очень далёкими.

Что делать с пропущенными значениями?

Не заменяйте пропуск нулём, если ноль не был реальным наблюдением: это изменит медиану и расстояния. Сначала решите по правилам своей задачи, можно ли исключить неполную запись, восстановить её из источника или нужно отдельно отметить нехватку данных.

Нужно ли умножать результат на 1,4826?

Только если нужна оценка масштаба, сопоставимая со стандартным отклонением при приблизительно нормальном распределении. Для прямого описания данных исходный MAD без коэффициента понятнее.

Можно ли считать MAD для одного числа?

Да. Медиана совпадёт с этим числом, единственное расстояние будет нулевым и MAD тоже получится равным нулю. Для оценки реального разброса одного наблюдения, конечно, недостаточно.

Почему в таблице или программе получился другой MAD?

Проверьте, какой результат показан: исходный MAD или значение, уже умноженное на коэффициент около 1,4826. Различие также возможно из-за фильтрации пропусков или другого правила поиска медианы для чётного списка.

В каких единицах получается ответ?

В тех же единицах, что и исходные данные. Для метров ответ будет в метрах, для рублей в рублях, для секунд в секундах.

Можно ли задать наблюдениям разные веса?

Нет. Каждое введённое число считается одним наблюдением. Повтор одного значения несколько раз меняет его частоту, но не заменяет произвольные веса: для них нужна отдельная взвешенная методика.

Стоит ли объединять две группы в один список?

Только если общий результат действительно нужен и наблюдения измеряют одну величину в сопоставимых условиях. Для сравнения двух классов, смен или городов полезнее сначала посчитать MAD отдельно для каждой группы.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.