Калькулятор корней многочлена

Что означает корень многочлена

Изогнутая лента с отмеченными точками пересечения и парой комплексных корней

Корнем многочлена называют значение x, при котором выражение становится равным нулю. Например, для x² − 5x + 6 подходят числа 2 и 3. Подстановка двойки даёт 4 − 10 + 6 = 0, а тройки: 9 − 15 + 6 = 0. Калькулятор находит действительные и комплексные корни уравнений до шестой степени по списку коэффициентов.

Многочлен, или полином, складывается из степеней переменной с числовыми множителями. В записи 3x⁴ − 2x + 7 эти множители равны 3, −2 и 7. Число 7 тоже часть многочлена: его называют свободным членом, потому что рядом нет переменной. Степень определяется самым большим показателем при ненулевом коэффициенте. Здесь она равна четырём, хотя слагаемых только три.

Как записать коэффициенты без потери слагаемых

Начинайте со старшей степени и заканчивайте свободным членом. Для 3x⁴ − 2x + 7 введите 3 0 0 -2 7. Два нуля занимают места x³ и x². Если убрать их и написать 3 -2 7, получится другое уравнение: 3x² − 2x + 7 = 0. Под полем показывается восстановленная запись: перед чтением ответа стоит проверить именно её.

Коэффициент перед x, который обычно не пишут, равен единице. Поэтому уравнение x³ − x − 1 = 0 превращается в список 1 0 -1 -1. Для −x³ + 4x нужна запись -1 0 4 0. Последний ноль означает отсутствие свободного члена и сохраняет возможность корня x = 0.

Если справа стоит число или выражение, сначала перенесите его влево. Уравнение x³ + 2x = 3 записывается как x³ + 2x − 3 = 0, значит, ввод будет 1 0 2 -3. Знак перенесённого слагаемого меняется. Если переменная встречается с обеих сторон, сначала сложите коэффициенты при одинаковых степенях.

Числа можно разделять пробелом, точкой с запятой или переносом строки. Запятая обозначает десятичную часть: 1,5 читается как полтора. Поэтому список из единицы и пятёрки нужно писать 1 5. Дробь 1/3 нельзя вставить как выражение: здесь принимаются десятичные коэффициенты. Приближённая запись 0,333333333333333 задаёт близкое, но уже другое число.

Сколько корней должно получиться

У ненулевого многочлена степени n есть n комплексных корней, если считать каждое повторение. Среди них могут быть обычные действительные числа. Например, у многочлена шестой степени все шесть корней могут оказаться действительными, а могут образовать три пары недействительных комплексных корней. Число строк в ответе бывает меньше степени, потому что одинаковые корни объединяются с указанием кратности.

\displaystyle P(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)

Здесь a_n обозначает старший коэффициент, а r₁, …, r_n являются корнями с повторениями. Если один множитель (x − r) встречается трижды, корень r имеет кратность 3. Уравнение (x − 2)³ = 0 имеет одно различное решение, двойку, но её кратность равна трём. При проверке числа корней нужно сложить кратности всех строк.

Ведущие нули уменьшают фактическую степень. Ввод 0 1 -3 2 задаёт квадратное уравнение x² − 3x + 2 = 0. Если осталась только ненулевая константа, например 5 = 0, решений нет. Если все коэффициенты равны нулю, получилось тождество 0 = 0: подходит любое значение x, включая комплексное.

Почему в ответе появилась буква i

Число i определяется равенством i² = −1. Оно позволяет решать уравнения, для которых среди действительных чисел ответа нет. У x² + 1 = 0 два комплексных корня: i и −i. При подстановке каждого квадрат равен −1, а добавленная единица превращает результат в ноль.

Общий вид комплексного числа a + bi содержит действительную часть a и мнимую часть b. Например, у 2 − 3i эти части равны 2 и −3. Для многочлена с действительными коэффициентами каждому недействительному корню a + bi соответствует сопряжённый a − bi. В ответе они идут парой. Это свойство помогает заметить ошибку при ручном решении или переписывании результата.

Действительные корни видны на обычном графике y = P(x): в этих точках значение y равно нулю. График может пересекать горизонтальную ось или касаться её. У корня чётной кратности знак многочлена при проходе через корень не меняется, у нечётной меняется. Недействительные комплексные корни на таком графике точками пересечения не изображаются.

Примеры решения

В следующих задачах коэффициенты можно перенести в форму целиком. Проверять ответ удобно разложением на множители, заменой переменной или прямой подстановкой. Так видно, какое уравнение было решено и откуда берётся каждый корень.

Кубическое уравнение с тремя решениями. Для x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 введите 1 -6 11 -6. Ответ: 1, 2 и 3. Проверка через множители даёт (x − 1)(x − 2)(x − 3). Сначала первые две скобки превращаются в x² − 3x + 2; умножение на третью возвращает исходный многочлен. Все корни различны и имеют кратность 1.

Неполное уравнение четвёртой степени. Запись 1 0 -5 0 4 соответствует x⁴ − 5x² + 4 = 0. Обозначим t = x²: получится t² − 5t + 4 = 0, откуда t = 1 или t = 4. Каждому положительному t соответствуют два значения x. Итог: −2, −1, 1 и 2. Если остановиться на ответах 1 и 4, будут найдены значения вспомогательной переменной, а не корни исходного уравнения.

Четыре комплексных корня. Для x⁴ + 1 = 0 введите 1 0 0 0 1. Получатся четыре комбинации ±0,707106781 ± 0,707106781i. Точное значение каждой ненулевой части равно по модулю 1/√2. Например, квадрат числа (1 + i)/√2 равен i, а четвёртая степень равна −1. Добавляем единицу и получаем ноль. Действительных корней нет: четвёртая степень действительного числа неотрицательна.

Один корень шестой кратности. Ввод 1 -6 15 -20 15 -6 1 даёт многочлен x⁶ − 6x⁵ + 15x⁴ − 20x³ + 15x² − 6x + 1. Это раскрытая запись (x − 1)⁶. В ответе одна строка: x ≈ 1, кратность 6. Шесть слегка различающихся чисел около единицы были бы численной погрешностью, а не шестью различными решениями этого уравнения.

Ноль как полноценное решение. Для x³ − 2x² = 0 введите 1 -2 0 0. Вынесем x²: получим x²(x − 2) = 0. Ответ состоит из нуля кратности 2 и двойки кратности 1. Делить исходное уравнение на x² без отдельной проверки x = 0 нельзя: так исчезнет одно из решений. Суммарная кратность остаётся равной трём.

Перенос правой части и смена масштаба. Уравнение 1000x³ + 2000x = 3000 после переноса имеет коэффициенты 1000 0 2000 -3000. Деление всех коэффициентов на 1000 даёт эквивалентный список 1 0 2 -3. Многочлен раскладывается как (x − 1)(x² + x + 3). Получаем действительный корень 1 и комплексную пару −0,5 ± 1,658312395i. Оба списка должны давать одинаковый набор: общий ненулевой множитель не меняет решений.

Как проверить численный ответ

Знак ≈ означает приближённую запись. При подстановке отображаемого числа может получиться небольшой остаток вместо нуля: последние цифры округлены. Остаток называют невязкой. Для многочленов с очень крупными коэффициентами даже небольшой относительный остаток может выглядеть внушительным в абсолютных единицах, поэтому сравнивать только его размер неудобно.

Относительная невязка сравнивает модуль остатка с суммой модулей слагаемых при том же x. При поиске корней также проверяется, восстанавливают ли найденные множители коэффициенты уравнения. Это защищает от ситуации, когда программа несколько раз нашла один простой корень и пропустила другой. Кратности на этой странице определяются отдельно по точной десятичной записи коэффициентов.

Маленькая невязка сама по себе не доказывает, что все показанные цифры верны. Например, рядом с кратным корнем график очень пологий: несколько соседних значений дают почти нулевую подстановку. Близкие различные корни тоже чувствительны к изменению коэффициентов. Такая чувствительность называется плохой обусловленностью. В сомнительной ситуации калькулятор сообщает, что не смог надёжно разделить корни.

Если коэффициенты получены измерениями, не приписывайте корням большую физическую точность, чем есть у исходной модели. Удлинение десятичной записи не улучшает измерение. Для учебного уравнения сохраняйте исходные коэффициенты полностью в пределах допуска формы; для приближённой модели дополнительно проверьте, как меняется ответ при небольшом изменении исходных чисел.

Когда нужен другой инструмент

Этот калькулятор принимает до семи действительных коэффициентов и до 15 значащих цифр в каждом. Допустимый модуль ненулевого коэффициента: от 10⁻¹⁰⁰ до 10¹⁰⁰. Научная запись 2.5e-8 означает 2,5 · 10⁻⁸. Вход в эти границы ещё не гарантирует успешный численный ответ: расположение корней тоже влияет на устойчивость.

Для разбора второй степени через формулу и дискриминант удобнее калькулятор квадратных уравнений. Если интересует только число действительных решений квадратного уравнения, достаточно калькулятора дискриминанта. Несколько уравнений с разными неизвестными относятся к другой задаче: для линейного случая используйте решение системы уравнений.

Вопросы о корнях многочлена

Порядок коэффициентов определяет само уравнение, а точность записи влияет на близкие корни. Эти детали особенно важны при переносе задания из тетради или результата из другой программы.

В каком порядке вводить коэффициенты?

Слева направо от старшей степени до свободного члена. Например, 2x³ − 5x + 4 записывается как 2 0 -5 4. Ноль занимает место отсутствующего x². После ввода сверьте уравнение, которое появилось под полем: обратный порядок коэффициентов обычно задаёт другой многочлен.

Можно ли пропустить нулевые коэффициенты?

Внутри списка и в конце пропускать нули нельзя. Список 1 0 -4 означает x² − 4, а 1 -4 означает x − 4. Ведущий ноль допустим, но уменьшает фактическую степень. Например, 0 1 0 -4 всё ещё задаёт x² − 4. При наличии постоянного члена обязательно сохраните все промежуточные позиции.

Почему ответ содержит комплексные числа, хотя коэффициенты обычные?

Действительные коэффициенты не гарантируют действительные корни. Уже у x² + 1 = 0 решения равны i и −i. Здесь i² = −1. Недействительные корни появляются сопряжёнными парами: если есть a + bi, будет и a − bi. Если в задаче требуется ответ только среди действительных чисел, выбирайте строки без ненулевой мнимой части.

Что означает кратность и можно ли округлить близкие корни до одного?

Кратность показывает, сколько одинаковых линейных множителей входит в многочлен. У (x − 1)³ корень 1 имеет кратность 3. Числа 1 и 1,0001 при этом остаются различными корнями, даже если грубое округление делает их одинаковыми на экране. Калькулятор не определяет кратность по близости чисел: она следует из точных введённых коэффициентов.

Что делать, если калькулятор не смог разделить корни?

Сначала проверьте переписанные коэффициенты, знаки и пропущенные степени. Не округляйте их сильнее только ради получения ответа: это меняет уравнение и может искусственно создать кратность. Если запись верна, для этой задачи может потребоваться вычисление с повышенной точностью или точное алгебраическое разложение. Сообщение об отказе не означает, что математических корней нет.

Можно ли решить уравнение выше шестой степени или с sin(x)?

Эта форма ограничена шестой степенью и действительными числовыми коэффициентами. Выражения sin(x), 1/x и переменные показатели степени не задаются таким списком. Для многочлена большей степени нужен другой решатель с проверкой точности. Разбить длинный список на два коротких нельзя: корни частей не составляют корни исходного уравнения.

Почему другие программы показывают иные последние цифры?

Программы могут использовать разную точность вычислений, способы поиска и округление. Сначала убедитесь, что коэффициенты и их порядок совпадают. Для простых хорошо разделённых корней небольшая разница последних цифр обычна. Возле кратных корней численный метод без отдельной проверки кратности иногда показывает несколько близких комплексных приближений вместо одного повторяющегося корня.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.