Калькулятор медианы

Среднее арифметическое	16,75
Два центральных числа	15 и 16
Мода	13
Повторов моды	3
Размах	16
Минимум / максимум	9 / 25
Сумма / количество	268 / 16

Медиана на примере очереди

Пять книг стоят по возрастанию высоты, средняя книга выделена коралловым цветом

Медиана показывает середину списка чисел после их упорядочивания. Для 9, 2, 7, 4, 5 сначала получится ряд 2, 4, 5, 7, 9, затем выбирается центральное число 5. Если чисел чётное количество, берут два центральных и находят их полусумму. У ряда 2, 4, 8, 10 медиана равна 6.

Представьте пять книг, поставленных от самой низкой к самой высокой. Третья книга окажется в центре независимо от того, насколько пятая выше остальных. Так же медиана работает с числами: сначала учитывает их порядок, затем выбирает середину. Размер далёкого крайнего значения сам по себе не определяет ответ.

Этот показатель пригодится, когда нужно описать обычную длительность, центральный размер или середину результатов. Важно заранее выбрать, какие наблюдения сравниваются: время одной поездки, длина одной детали, балл одного участника. Медиана относится к конкретному списку и не становится характеристикой всех возможных поездок или людей автоматически.

Как найти середину ряда

Начните с сортировки по числовому значению, от меньшего к большему. Повторы сохраняются: два одинаковых результата принадлежат двум наблюдениям и занимают два места. Отрицательные числа стоят перед нулём, а среди отрицательных меньшим будет число с большим модулем. Поэтому −12 находится левее −3.

Пусть n обозначает количество чисел, а x с номером обозначает значение на этом месте уже отсортированного списка. При нечётном n позиция середины равна (n + 1) / 2. Для семи наблюдений это четвёртое место. Формула медианы выглядит так:

M=x_{(n+1)/2}

Здесь M обозначает медиану. Номер позиции и само значение различаются. Четвёртое число может быть равно 30, поэтому ответом будут 30 единиц исходной величины, а не 4. В учебной задаче полезно отдельно подписать найденное место и число, которое на нём стоит.

При чётном количестве у списка нет одного центрального элемента. Для восьми наблюдений центральными будут четвёртое и пятое. Калькулятор складывает эти два значения и делит на 2:

M=\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}

Полученная медиана может отсутствовать среди введённых чисел. Между 4 и 8 середина равна 6, хотя никто не вводил шестёрку. Это не ошибка округления. Такой способ даёт одно определённое числовое значение для чётного ряда и используется в калькуляторе на этой странице.

После сортировки удобно вычёркивать числа парами: самое маленькое и самое большое, затем следующие с двух сторон. Останется один центральный элемент или два. Такой способ хорош для короткого списка в тетради. При длинном столбце легче поручить сортировку калькулятору, иначе один пропущенный повтор сдвинет середину.

Почему медиана отличается от среднего

Среднее арифметическое складывает все значения и делит сумму на количество. Медиана ищет центральную позицию. У ряда 1, 2, 2, 3, 100 среднее равно 21,6, а медиана равна 2. Число 100 увеличило общую сумму, но осталось на последнем месте и не изменило центральную двойку.

Если заменить 100 на 1000, медиана останется равной 2, а среднее вырастет до 201,6. Это наглядный смысл устойчивости медианы к крайним значениям. Она полезна для описания середины ряда с редкими большими наблюдениями. Разницу между мерами центра и их реакцию на края объясняет статистическое руководство NIST.

Устойчивость не означает, что медиану вообще нельзя изменить. Если вместо 2 на центральной позиции появится 20, потребуется заново отсортировать весь ряд и найти середину. Добавление новых наблюдений тоже меняет количество и центральные места. Медиана спокойнее реагирует на величину далёкого края, но учитывает состав списка.

Для оценки общей суммы удобнее среднее арифметическое: его можно умножить на количество наблюдений. Медиана такой возможности не даёт. Если пять поездок имеют медианную длительность 20 минут, это не означает, что вместе они заняли 100 минут. Остальные четыре времени могут сильно различаться.

Медиана времени, размеров и результатов

Сначала определите количество наблюдений, затем найдите нужные позиции в отсортированном списке. В примерах единица ответа сохраняется: минуты остаются минутами, сантиметры сантиметрами, баллы баллами.

Пять поездок на автобусе

Поездки заняли 23, 18, 20, 45 и 19 минут. Сортировка даёт 18, 19, 20, 23, 45. Наблюдений пять, поэтому выбираем третье значение. Медианная длительность равна 20 минутам. Две поездки были короче, две длиннее, а поездка в 20 минут стоит между ними.

Если последняя задержка увеличится с 45 до 90 минут, середина останется прежней. Это удобно для описания привычной поездки, но риск опоздания никуда не исчезает. Для планирования запаса времени дополнительно посмотрите на самые долгие поездки, а не только на центральную.

Четыре результата прыжка

В учебном соревновании получены результаты 150, 142, 158 и 146 см. От меньшего к большему: 142, 146, 150, 158. Центральные места второе и третье, поэтому медиана равна (146 + 150) / 2 = 148 см. Прыжка ровно на 148 см в списке нет.

Выбирать только 146 или только 150 означало бы применить другое правило. В обычной числовой задаче с чётным количеством берётся середина между ними. Если условие специально требует нижнюю или верхнюю медиану, нужно следовать этому условию, а не подменять его полусуммой.

Повторяющиеся баллы

Участники набрали 2, 2, 2, 4, 8, 9 и 10 баллов. Всего семь результатов, центральный четвёртый равен 4 баллам. Три двойки остаются тремя отдельными наблюдениями. Число 2 самое частое, но оно не занимает центральное место этого ряда.

Если ошибочно удалить повторы, останется 2, 4, 8, 9, 10, а медиана станет равной 8. Задача незаметно сменится: вместо середины результатов участников получится середина разных вариантов результата. Для описания группы каждый участник должен сохранить своё место, даже если у соседа столько же баллов.

Температуры с отрицательными значениями

Четыре измерения дали −8, 3, −2 и −5 °C. После сортировки: −8, −5, −2, 3. Два центральных значения −5 и −2 складываются в −7, деление на 2 даёт медиану −3,5 °C. Она находится между ними на числовой прямой.

Отрицательный ответ не нужно превращать в положительный. Середина между двумя отрицательными температурами остаётся отрицательной. А если центральными окажутся −2 и 6 °C, медиана будет положительной: (−2 + 6) / 2 = 2 °C. Решает положение чисел, а не количество знаков минус во всём списке.

Расход воды по наблюдениям

В условном эксперименте за пять одинаковых интервалов измерили 0; 0; 0; 1,5 и 2,5 л. Третье значение равно нулю, значит, медианный расход составляет 0 л за интервал. При этом общий расход равен 4 л. Медиана не утверждает, что вода совсем не расходовалась.

Такой ответ показывает, что не менее половины записанных интервалов имели нулевой расход. Если нули обозначают выключенный прибор, они являются настоящими наблюдениями. Если ими заменили потерянные записи, сначала нужно восстановить или исключить неизвестные значения по правилам эксперимента.

Длины деталей с десятичной частью

Длины четырёх деталей составляют 2,1; 1,8; 2,4 и 2,0 см. Отсортированный ряд: 1,8; 2,0; 2,1; 2,4. Середина между 2,0 и 2,1 равна 2,05 см. Для ввода используйте точку с запятой или отдельные строки, чтобы десятичные запятые не спутались с разделителями.

При округлении до одного знака отобразится 2,1 см, но вычисление опирается на исходные длины. Для сравнения двух близких партий оставьте достаточно знаков и одинаковую точность. Иначе разные медианы после округления могут выглядеть одинаково.

Что проверить до вывода о данных

Медиана всегда находится между минимумом и максимумом включительно. У одного числа 7 медиана равна 7, у ряда 0, 0, 0 она равна 0. Пустой список не имеет центрального значения, поэтому отсутствие ответа здесь корректно. Калькулятор принимает до 10 000 чисел; строки с буквами и единицами нужно очистить перед вводом.

У всех наблюдений должны быть одинаковые единицы и понятное происхождение. Например, длительности 30 минут и 1 час сначала переводятся в 30 и 60 минут, затем дают медиану 45 минут. Полусумма чисел 30 и 1 без такого перевода не описывает время ни в минутах, ни в часах.

Одинаковая медиана не означает одинаковые данные. У рядов 1, 5, 9 и 4, 5, 6 она равна 5, хотя во втором значения собраны гораздо теснее. Чтобы увидеть середину вместе с шириной центральной части, можно найти квартили и межквартильный размах. Квартили делят упорядоченный ряд на четверти и дополняют одну центральную точку.

У медианы, среднего и моды разные задачи: середина по порядку, равная доля общей суммы и наиболее частое значение. Совпадение возможно, но не обязательно. Если по одному числу трудно понять характер ряда, сравните все показатели на одном списке и посмотрите, какой из них отвечает именно на ваш вопрос.

Вопросы о медиане

Для числового списка правило середины однозначно. Сложности появляются, когда вместо отдельных значений даны группы, интервалы, категории или готовые итоги нескольких наборов.

Медиана всегда делит ряд строго пополам?

С повторами точнее говорить так: не меньше половины наблюдений не превосходят медиану и не меньше половины не меньше неё. У ряда 1, 2, 2, 2, 9 медиана равна 2, но строго меньше неё только одно число и строго больше тоже одно. Значения, равные середине, не нужно искусственно относить только к одной стороне.

Медиана и 50-й процентиль совпадают?

Для привычного способа находить середину ряда 50-й процентиль совпадает с медианой. Однако программы могут использовать разные правила вычисления процентилей в конечной выборке. При сравнении ответов для чётного количества проверьте метод: на этой странице берётся полусумма двух центральных значений.

Можно ли найти общую медиану по медианам групп?

Обычно нельзя, даже если группы одинакового размера. У списков 1, 2, 100 и 3, 4, 5 медианы равны 2 и 4, их среднее равно 3. Но после объединения получаем 1, 2, 3, 4, 5, 100 с медианой 3,5. Нужны отдельные значения или достаточно подробная таблица частот.

Как найти медиану по таблице частот?

Сложите частоты, определите центральную позицию или две позиции, затем последовательно считайте, сколько наблюдений накопилось. Например, число 2 встретилось три раза, а 5 два раза. Всего пять наблюдений, третье ещё относится к двойкам, поэтому медиана равна 2. В калькулятор можно ввести 2, 2, 2, 5, 5.

Можно ли вычислить точную медиану по интервалам?

Обычно нет: внутри интервала неизвестны отдельные значения. Таблица может показать, в каком интервале находится середина, но для точного числа данных недостаточно. Формулы для интервального ряда дают оценку при дополнительных предположениях о распределении внутри интервала. Подставлять середины интервалов как реальные наблюдения без оговорки нельзя.

Что станет с медианой, если увеличить каждое число на 10?

Она тоже увеличится на 10, потому что порядок сохранится и центральные значения сдвинутся одинаково. У ряда 1, 4, 8 медиана равна 4, у 11, 14, 18 она равна 14. Умножение всех чисел на один положительный коэффициент также умножает медиану на этот коэффициент.

Можно ли находить медиану названий или школьных категорий?

Для названий без порядка, например цветов, медиана не определена. У упорядоченных категорий можно искать центральную категорию, но усреднять два названия нельзя. Условия такой задачи должны задавать правило для чётного количества. Этот калькулятор работает с числами, у которых допустимо арифметическое усреднение двух центральных значений.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.