Что значит среднее арифметическое
Среднее арифметическое получается, если сложить все числа и разделить сумму на их количество. Для 2, 4 и 6 сумма равна 12, чисел три, поэтому среднее равно 4. Его удобно представить как равную долю: если собрать двенадцать фишек из трёх кучек и раздать поровну, в каждой окажется по четыре.
У среднего сохраняется общий итог. Три исходных числа можно заменить тремя четвёрками, и сумма останется 12. Поэтому среднее помогает описать расход за день, длину одной детали в партии или результат одной попытки. При этом оно не обещает, что каждый отдельный день, предмет или человек похож на полученное число.
Калькулятор принимает список чисел с одинаковым весом. Каждая введённая запись считается одним наблюдением, даже если такое число уже встречалось. Для ряда 2, 2, 8 нужно делить сумму 12 на 3. Если оставить только разные значения 2 и 8, получится 5, но это среднее уже другого списка.
Как устроена формула
Обозначим числа буквами x с порядковыми номерами. Буква n показывает, сколько всего чисел попало в расчёт. Тогда среднее записывается так:
Черта над x означает среднее значение. Числитель собирает сумму, знаменатель считает слагаемые. Для пустого списка n равно нулю, поэтому среднего нет: делить на ноль нельзя. Для одного числа формула работает, поскольку деление на 1 ничего не меняет. Среднее единственного значения 7 равно 7.
Порядок чисел не важен. Ряды 2, 4, 6 и 6, 2, 4 дают одинаковые сумму и количество. Сортировать список перед вводом не требуется. Но удалять одинаковые значения, отрицательные числа или нули без причины нельзя: это изменит состав наблюдений, а вместе с ним и ответ.
Единица результата совпадает с единицей исходных данных. Из длин в сантиметрах получается средняя длина в сантиметрах. Из минут получается время в минутах. Перед расчётом переведите всё к одной мере: числа 1 и 50 нельзя усреднять как длины, если первое означает метр, а второе сантиметры. В сантиметрах среднее будет (100 + 50) / 2 = 75.
Нули, пропуски и десятичные числа
Ноль означает, что наблюдение было и его значение равно нулю. Пропуск означает, что значения нет. За три дня записали 6, 0 и 9 выполненных заданий: среднее равно 15 / 3 = 5. Если про второй день ничего не известно, доступны лишь два наблюдения со средним 15 / 2 = 7,5. Нельзя подставить ноль вместо неизвестного результата и считать задачу решённой.
Десятичные числа можно писать через точку или запятую. Для разделения списка удобнее перенос строки, пробел или точка с запятой. Запись «1,2» означает одно число 1,2, а «1, 2» с пробелом означает два числа. Если копируете столбец из таблицы, выделяйте только значения, без названия столбца, единиц и итоговой строки.
В поле помещается до 10 000 чисел. Пробелы внутри одного большого числа разбивают его на части, поэтому тысячу нужно вводить как 1000, а не 1 000. Отрицательное число пишется со знаком минус. Обыкновенную дробь 1/2 предварительно переведите в десятичную запись 0,5: поле предназначено для чисел, а не для выражений.
Округление от 0 до 10 знаков меняет показанный ответ, но сохраняет исходные значения для вычисления. Если среднее равно 7/3, при двух знаках получится 2,33. Умножение округлённого ответа на 3 даст 6,99 вместо 7. Это следствие округления, поэтому проверять точную сумму лучше до сокращения десятичной записи.
Где среднее помогает в обычных задачах
В каждом примере сначала определяется, что считается одним наблюдением. Именно это отвечает на вопрос, на какое число делить сумму: на дни, попытки, измерения или всех участников сразу.
Прочитанные страницы за четыре дня
За четыре дня школьник прочитал 12, 18, 15 и 19 страниц. Сумма равна 64, количество дней равно 4. Получаем 64 / 4 = 16 страниц в день. В калькулятор достаточно вставить «12; 18; 15; 19». Число 16 описывает темп за весь выбранный отрезок.
Ни в один из этих дней школьник не прочитал ровно 16 страниц. Среднее может отсутствовать среди исходных значений, это нормально. При таком же среднем темпе на 80 страниц понадобилось бы 5 дней, но сам расчёт не гарантирует, что будущие дни будут похожи на прошедшие.
Три измерения длины
Одну деталь измерили трижды и получили 10,1; 10,3; 10,2 см. Сумма 30,6 см делится на три измерения. Средняя длина составляет 10,2 см. Удобно проверить ответ глазами: три показания расположены симметрично вокруг 10,2, одно на 0,1 ниже, другое на 0,1 выше.
Дополнительные знаки в результате не делают линейку точнее. Если она позволяет читать только десятые доли сантиметра, запись 10,200000 не добавляет новых сведений. Усреднение также не исправляет одинаковую ошибку всех измерений, например если каждый раз начинать отсчёт с повреждённого края линейки.
Температуры выше и ниже нуля
В одно и то же время в течение четырёх дней термометр показал −4, −1, 2 и 7 °C. Сумма равна 4 °C, поэтому среднее равно 4 / 4 = 1 °C. Минус учитывается при сложении. Если сложить только модули, получится 3,5, но это уже среднее расстояние температур от нуля.
Такой ряд описывает именно четыре показания в выбранное время. Его нельзя автоматически назвать средней температурой всех четырёх суток: ночные и дневные изменения не наблюдались. Даже безошибочная формула отвечает только на тот вопрос, для которого собраны исходные числа.
День без выполненных заданий
За пять занятий сделано 4, 6, 0, 8 и 7 упражнений. Всего 25, значит, в среднем 5 упражнений за занятие. Нулевое занятие входит в знаменатель. Если его убрать, получится 25 / 4 = 6,25 упражнения, но уже за занятие, на котором хоть что-нибудь сделали.
Оба расчёта могут иметь смысл, если честно назвать условие. Первый помогает оценить общий темп с учётом неудачного занятия. Второй описывает только продуктивные занятия. Проблема начинается, когда второй ответ выдают за первый и незаметно выкидывают неудобный ноль.
Одна долгая попытка среди коротких
Пять попыток решить задачу заняли 8, 9, 10, 11 и 62 минуты. Сумма равна 100, среднее равно 20 минут. Четыре попытки уложились в 11 минут, поэтому среднее плохо описывает привычную длительность. Но для оценки общего потраченного времени оно полезно: 5 × 20 = 100.
Центральное значение отсортированного ряда равно 10 минутам. Это медиана, которая отвечает на другой вопрос: где находится середина наблюдений. Сравнение 20 и 10 сразу показывает влияние длинной попытки. Удалять 62 можно лишь после проверки, что это ошибка записи или наблюдение вне выбранной задачи.
Две группы разной численности
У двух участников первой группы средний результат 80 баллов, у восьми участников второй 60 баллов. Общая сумма равна 2 × 80 + 8 × 60 = 640. Всего участников 10, поэтому общее среднее составляет 64 балла. Простая полусумма групповых средних, (80 + 60) / 2 = 70, дала бы маленькой группе такой же вес, как большой.
В этот калькулятор нужно вставлять результаты каждого участника. Если известны только точные средние и численности групп, общий результат можно найти через восстановленные суммы, как в примере. Если групповые средние уже округлены, восстановленная общая сумма тоже будет приблизительной.
Как проверить и правильно прочитать ответ
Среднее находится между минимумом и максимумом списка включительно. Для 3, 5 и 10 ответ не может быть меньше 3 или больше 10. Ещё одна проверка: среднее, умноженное на количество, должно вернуть сумму с учётом округления. В раскрытии результата можно сопоставить эти три числа.
Добавление одного значения меняет среднее в его сторону. Если к группе со средним 10 добавить число 16, новое среднее станет выше 10, но ниже 16. Прибавление 3 ко всем исходным числам увеличивает среднее ровно на 3. Умножение всех значений на 2 удваивает среднее. Эти свойства помогают проверять переводы единиц и учебные решения.
Среднее не восстанавливает весь ряд. У списков 5, 5, 5 и 0, 5, 10 одинаковые количество, сумма и среднее, но разброс заметно различается. Для сравнения центра, частых значений и границ удобно открыть общую сводку среднего, медианы и моды. Одна цифра не заменяет исходные наблюдения.
Проценты последовательного роста требуют отдельной осторожности: увеличение на 20% и снижение на 20% не компенсируют друг друга. Множители 1,2 и 0,8 дают 0,96 от начального значения. Для одинакового среднего множителя по периодам используют среднее геометрическое. Выбор вида среднего определяется тем, складываются величины или последовательно перемножаются.
Вопросы о среднем арифметическом
В задачах со средним часто неизвестно одно число, меняется состав группы или за знакомой записью скрываются разные веса. В таких случаях полезнее восстановить сумму, чем пытаться угадать ответ по самому среднему.
Как найти неизвестное число, если известно среднее?
Умножьте среднее на общее количество чисел и вычтите сумму известных. Например, среднее трёх чисел равно 7, два числа равны 4 и 8. Полная сумма должна быть 21, поэтому третье число равно 21 − 4 − 8 = 9. Проверка: (4 + 8 + 9) / 3 = 7.
Можно ли найти среднее по минимуму и максимуму?
Обычно нет. У рядов 1, 1, 9 и 1, 9, 9 одинаковые границы, но средние равны 11/3 и 19/3. Полусумма крайних значений совпадает со средним для двух чисел и для равномерной арифметической последовательности, но произвольный список такой гарантии не даёт.
Что произойдёт, если повторить весь список два раза?
Среднее останется прежним: одновременно удвоятся сумма и количество. Например, у 2, 6 среднее равно 4, а у 2, 6, 2, 6 оно тоже равно 4. Повторить только одно значение означает изменить его долю в списке, тогда среднее может сдвинуться.
Какое число добавить, чтобы получить нужное среднее?
Сначала найдите требуемую новую сумму. Для четырёх чисел со средним 6 сумма равна 24. Чтобы после добавления пятого числа среднее стало 8, новая сумма должна быть 5 × 8 = 40. Значит, добавить нужно 40 − 24 = 16. Ограничения задачи могут сделать такое значение недопустимым.
Можно ли усреднять проценты разных групп?
Да, если учесть размеры оснований. В первой группе из 10 человек согласились 80%, во второй из 90 согласились 40%. Это 8 + 36 = 44 человека из 100, то есть 44%. Простое среднее процентов 60% верно лишь при одинаковых размерах групп либо при намеренно равном весе самих групп.
Почему средняя скорость не всегда равна среднему двух скоростей?
Обычное арифметическое среднее подходит при равном времени движения. Если час ехать со скоростью 30 км/ч и час 60 км/ч, получится 45 км/ч. На двух равных участках по 60 км поездка займёт 2 + 1 = 3 часа, а средняя скорость составит 120 / 3 = 40 км/ч.
Всегда ли средний балл определяет итоговую оценку?
Только если правила оценки используют простое среднее с одинаковым весом работ. Контрольная может весить больше домашнего задания, а итог может зависеть от обязательного экзамена или отдельного правила округления. Полученное среднее описывает введённые числа; правило выставления оценки нужно проверять отдельно.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор среднего, медианы и моды. Вставьте список чисел и сравните среднее, медиану, моду и размах.
- Калькулятор медианы. Вставьте числа в любом порядке, чтобы найти середину числового ряда.
- Калькулятор геометрического среднего. Вставьте положительные числа и найдите среднее для множителей и темпов роста.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Введите целые части, числители и знаменатели, чтобы получить решение.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.