Калькулятор квартилей и межквартильного размаха

Что показывают квартили простыми словами

Представьте, что числа выстроили в ряд от самого маленького до самого большого. Медиана отмечает середину всего ряда, Q1 середину его нижней половины, а Q3 середину верхней. Q1 и Q3 задают границы центральной половины ряда. Расстояние между этими границами и есть межквартильный размах, или IQR.

Например, восемь школьников потратили на задачу 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 и 80 минут. Здесь Q1 равен 25, медиана 45, Q3 равен 65, а IQR равен 40 минутам. Четыре центральных результата лежат между Q1 и Q3. Чтобы посчитать квартили онлайн, достаточно вставить свой список: калькулятор сам расставит числа по порядку.

Калькулятор также показывает минимальное и максимальное значения и отмечает границы возможных выбросов. Если нужен разброс относительно среднего, используйте калькулятор стандартного отклонения.

Введите числа через пробел, точку с запятой или с новой строки. Порядок не важен: перед расчётом значения сортируются по возрастанию. Повторы сохраняются, потому что каждое наблюдение занимает собственное место в ряду. Десятичную часть можно отделить запятой или точкой.

Как калькулятор находит Q1, Q2 и Q3

Сначала калькулятор сортирует ряд. Q2 равен его медиане: центральному числу при нечётном количестве либо среднему двух центральных чисел при чётном. Затем ряд делится на нижнюю и верхнюю половины. Если количество наблюдений нечётное, общая медиана не входит ни в одну половину. Q1 является медианой нижней половины, Q3 медианой верхней.

Это соглашение называют методом медиан половин с исключением общей медианы. Оно часто встречается в учебных задачах и удобно для ручной проверки. Метод указан прямо в результате, потому что единственного соглашения для выборочных квартилей нет.

NIST описывает несколько способов вычисления процентилей и отмечает, что общепринятого единственного способа интерполяции нет. Например, Excel с функцией QUARTILE.INC и R по умолчанию используют линейную интерполяцию R7. На небольшом наборе их ответ может отличаться от медиан половин, хотя сортировка и смысл показателей остаются теми же.

Формула IQR и границы возможных выбросов

Межквартильный размах охватывает центральную половину данных и равен разности третьего и первого квартилей:

IQR меньше зависит от одного очень большого или очень маленького наблюдения, чем обычный размах «максимум − минимум». Это не делает его универсальной мерой, но помогает описывать типичный разброс при длинных хвостах и единичных крайних значениях.

Для первичной проверки выбросов часто используют внутренние границы:

Число строго ниже L или строго выше U калькулятор считает возможным выбросом. Значение на самой границе не попадает в этот список. Правило описано в справочнике NIST по исследовательскому анализу данных.

Такая отметка не доказывает ошибку. Необычная цена может быть реальной сделкой, редкое время выполнения может объясняться аварией, а крайнее измерение может сообщать о новом режиме процесса. Сначала проверьте источник, единицы и условия наблюдения. Удалять число только из-за границы 1,5 IQR нельзя.

Примеры расчёта квартилей

Восемь последовательных чисел. Для ряда 8, 1, 4, 7, 3, 6, 2, 5 сортировка даёт числа от 1 до 8. Нижняя половина равна 1, 2, 3, 4, поэтому Q1 = 2,5. Медиана Q2 = 4,5, Q3 = 6,5, а IQR = 4. Границы равны −3,5 и 12,5, выбросов нет.

Нечётное количество. В ряду 1, 2, 3, 4, 5 медиана равна 3 и исключается из половин. Медиана пары 1 и 2 даёт Q1 = 1,5, медиана пары 4 и 5 даёт Q3 = 4,5. Межквартильный размах равен 3.

Одно далёкое значение. После сортировки чисел 100, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 получаем Q1 = 2, Q2 = 3,5 и Q3 = 5,5. IQR равен 3,5, верхняя граница равна 10,75. Число 100 находится выше неё и помечается для проверки.

Все значения одинаковы. Для 7, 7, 7, 7 все пять чисел равны 7. IQR и обычный размах равны нулю. Границы тоже равны 7, но ни одно наблюдение не выходит за них.

Отрицательные и положительные значения. Для −5, −1, 0, 4, 8, 10 получаем Q1 = −1, Q2 = 2 и Q3 = 8. IQR равен 9, границы равны −14,5 и 21,5. Знак чисел не меняет алгоритм.

Два наблюдения. Для 4 и 10 нижняя половина содержит 4, верхняя 10, а медиана равна 7. Получаем Q1 = 4, Q3 = 10 и IQR = 6. Расчёт определён, но выводы по двум наблюдениям остаются очень неустойчивыми.

Почему разные методы дают разные ответы

Квартили генерального распределения имеют понятный вероятностный смысл, но в конечной выборке нужная четверть не всегда приходится точно на наблюдение. Тогда метод должен решить, взять соседний элемент, усреднить пару или интерполировать положение между ними. Из-за этого расхождения заметнее всего на коротких рядах.

Например, для чисел от 1 до 8 метод медиан половин даёт Q1 = 2,5 и Q3 = 6,5. Метод R7 ставит позицию квартиля по формуле 1 + (n − 1)p и получает Q1 = 2,75, Q3 = 6,25. Оба результата следуют заявленному алгоритму. Для воспроизводимой работы укажите метод рядом с числами, особенно если сравниваете отчёты из разных программ.

Калькулятор намеренно не предлагает переключатель метода. Он решает один понятный сценарий и всегда повторяет одно соглашение. Если преподаватель, стандарт организации или программа требуют другой алгоритм, используйте именно его и не смешивайте квартиль из одного метода с границей, рассчитанной другим.

Как подготовить и проверить данные

Скопируйте один столбец из таблицы либо вставьте числа строкой. Пустые строки не учитываются. Если десятичная запятая стоит внутри числа, отделяйте соседние значения пробелом, точкой с запятой или переносом строки. Неоднозначную запись вроде 1,2,3 лучше переписать, чтобы не спутать список целых чисел с десятичными дробями.

Проверьте, что все наблюдения относятся к одной величине и записаны в одинаковых единицах. Нельзя без преобразования смешивать рубли и тысячи рублей, секунды и минуты. Ошибка масштаба способна стать ложным выбросом и одновременно сдвинуть квартиль.

Для сравнения положения одного значения относительно среднего полезна Z-оценка. Она отвечает на другой вопрос и требует среднего со стандартным отклонением. Квартили работают непосредственно с порядком наблюдений и не превращаются в вероятность или процентильный ранг конкретного числа.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

• Калькулятор стандартного отклонения. Вставьте список чисел и найдите среднее, дисперсию и стандартное отклонение.
• Калькулятор коэффициента вариации. Сравните разброс со средним и получите коэффициент вариации в процентах.
• Калькулятор Z-оценки. Укажите значение, среднее и стандартное отклонение, чтобы измерить расстояние до среднего в единицах стандартного отклонения.
• Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
• Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
• Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
• Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
• Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
• Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
• Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.