Что показывает гармоническое среднее
Гармоническое среднее помогает найти общий темп, когда одинаковый объём работы выполняется с разной скоростью. Медленная часть занимает больше времени, поэтому сильнее снижает итог.
Например, два одинаковых участка пути пройдены со скоростями 12 и 24 км/ч. Средняя скорость на всём пути равна 16 км/ч, а не 18. Чтобы посчитать гармоническое среднее онлайн, введите обе скорости в калькулятор.
Для n положительных значений x1, x2, …, xn формула выглядит так:
Здесь H обозначает гармоническое среднее. Математический справочник DLMF NIST определяет его вместе с геометрическим средним для положительных чисел. Ноль не подходит из-за деления, а смешанные знаки могут взаимно уничтожить сумму обратных значений и дать непригодный для прикладной задачи ответ.
Калькулятор использует масштабированную форму формулы. Он делит минимальное значение на каждый элемент, суммирует отношения и только затем восстанавливает среднее. Это защищает расчёт от бесконечного 1 / x, когда положительное x находится рядом с нижней границей числового диапазона JavaScript.
Почему равные расстояния меняют среднюю скорость
При движении по двум равным участкам медленная часть занимает больше времени. Допустим, каждый участок равен 60 км. При 30 км/ч первый займёт 2 часа, при 60 км/ч второй займёт 1 час. Общий путь 120 км делится на 3 часа, поэтому средняя скорость равна 40 км/ч.
Для двух равных расстояний общая формула сокращается до короткой записи:
Эта формула не является особым правилом автомобиля. Она получается из обычного отношения «весь путь / всё время». Если расстояния различаются, нужно учитывать их веса или сразу сложить километры и часы. Подробно ловушку разобрал материал о средней скорости на разных участках, а калькулятор скорости, пути и времени поможет восстановить недостающую величину.
При одинаковом времени ситуация меняется. Если ехать полчаса со скоростью 30 км/ч и полчаса со скоростью 60 км/ч, автомобиль пройдёт 15 и 30 км. За один час получится 45 км, значит, нужна арифметическая средняя 45 км/ч. Слова «средняя скорость» ещё не выбирают формулу, сначала нужно понять, что было одинаковым.
Где гармоническое среднее даёт полезный ответ
Общий признак задачи выглядит так: исходные числа являются отношениями, а одинаковой остаётся величина в их числителе. Для скорости это расстояние, для производительности объём работы, для цены одинаковая сумма денег. Если равен знаменатель, например время движения или количество купленного товара, обычно подходит арифметическое среднее.
Пример 1. Два равных участка со скоростями 30 и 60 км/ч. Гармоническое среднее равно 2 / (1/30 + 1/60) = 40 км/ч. Арифметические 45 км/ч завысили бы ответ, потому что на медленный участок ушло вдвое больше времени.
Пример 2. Путь туда со скоростью 90 км/ч и обратно 30 км/ч. Равные расстояния дают среднюю скорость 45 км/ч, а не 60. Медленная половина пути занимает втрое больше времени, поэтому тянет общий результат к 30.
Пример 3. Два равных отрезка времени по 30 минут. Скорости 30 и 60 км/ч дают путь 15 + 30 = 45 км за один час. Правильный итог равен 45 км/ч по арифметической формуле. Гармонические 40 км/ч здесь отвечали бы на другой сценарий.
Пример 4. По 600 рублей потрачено при ценах 10 и 20 рублей за единицу. Куплено 60 и 30 единиц, всего 90 за 1200 рублей. Средняя цена покупки равна 1200 / 90 = 13,33333333 рубля, это гармоническое среднее двух цен.
Пример 5. Один станок последовательно обрабатывает две равные партии со скоростью 12 и 18 деталей в час. На каждую партию приходится по 60 деталей. Первая занимает 5 часов, вторая 3 часа 20 минут. Всего станок делает 120 деталей за 8 часов 20 минут, средняя производительность равна 14,4 детали в час.
Пример 6. Учебный список 2, 3 и 6. Обратные значения дают 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. Делим количество элементов 3 на эту сумму и получаем гармоническое среднее 3. Арифметическое среднее того же списка равно 3,666666667.
Пример 7. Одинаковые значения 7, 7 и 7. Сумма обратных равна 3/7, поэтому результат составляет 3 / (3/7) = 7. Когда все элементы совпадают, гармоническое, геометрическое и арифметическое средние тоже совпадают.
Как читать результат и сравнивать его с другими средними
Гармоническое среднее положительного списка всегда находится между его минимумом и максимумом. Оно не превосходит геометрическое среднее, а геометрическое не превосходит арифметическое. Для неравных чисел разница строгая. Если калькулятор показал значение вне исходного диапазона, значит, в данных или способе расчёта есть ошибка.
Чем сильнее различаются элементы, тем заметнее влияние меньшего. Для 50 и 50 все средние равны 50. Для 10 и 100 арифметическое среднее равно 55, геометрическое примерно 31,6228, гармоническое около 18,1818. Последний результат отражает высокую временную цену медленного темпа 10.
Размерность сохраняется. Среднее скоростей в км/ч остаётся скоростью в км/ч, среднее цен в рублях за единицу остаётся ценой. Все значения нужно заранее привести к одной единице. Нельзя поместить рядом 60 км/ч и 10 м/с, хотя оба числа описывают скорость: сначала 10 м/с следует перевести в 36 км/ч.
Какие данные калькулятор отклоняет
Вводите только конечные числа больше нуля. Пустой список оставляет нейтральный прочерк, а текст, бесконечность, ноль и отрицательные значения дают ошибку без частичного результата. Остановка автомобиля со скоростью 0 км/ч не вставляется в гармоническую формулу отдельным элементом. Её длительность добавляют к общему времени и затем делят общий путь на это время.
Значения разделяются пробелами, переносами строк, табуляцией или точкой с запятой. Десятичные записи 2.5 и 2,5 равноправны. Вставка 2, 3, 6 читается как три числа, а слитная запись 2,3,6 отклоняется как неоднозначная. За один расчёт можно обработать до 10 000 значений и 200 000 знаков.
Повтор учитывается как ещё одно наблюдение. Если один тариф действовал два одинаковых объёма, его можно записать дважды. Для произвольных расстояний, объёмов или длительностей правильнее использовать явные веса. Отдельного поля весов здесь нет, потому что оно потребовало бы сопоставлять две строки и превратило бы быстрый расчёт в другой инструмент.
Частые вопросы о гармоническом среднем
Перед расчётом найдите величину, которая одинакова для каждого введённого отношения. Именно она определяет, подходит ли гармоническая формула или нужны веса и прямой расчёт общего итога.
Как учесть остановку при расчёте средней скорости?
Сложите время движения и остановки, затем разделите полный путь на полученное время. Нулевую скорость не нужно добавлять в список: обратная величина нуля не определена.
Что делать с участками разной длины?
Рассчитайте время каждого участка как расстояние, делённое на скорость, сложите расстояния и время. Это равносильно взвешенному гармоническому среднему, где весами служат длины участков.
Почему при одинаковом времени нужно другое среднее?
За равные промежутки времени пройденные расстояния пропорциональны скоростям. Тогда общий путь за общее время приводит к арифметическому среднему, а не к гармоническому.
Всегда ли цены нужно усреднять гармонически?
Нет. Гармоническая формула подходит, если по каждой цене потрачена одинаковая сумма. При покупке одинакового количества товара используйте арифметическое среднее цены.
Можно ли переставлять и повторять значения?
Порядок не влияет на сумму обратных величин. Каждый повтор учитывается как новое наблюдение и поэтому меняет вес соответствующего числа.
Можно ли смешивать разные единицы скорости?
Нет. Сначала переведите все скорости в км/ч, м/с или другую общую единицу. Итог получится в той же единице, что и подготовленный список.
Почему отрицательные числа не поддерживаются?
Прикладные скорости, тарифы и производительности в этой модели положительны. Смешанные знаки могут сократить сумму обратных величин до нуля и создать бесконечный или предметно бессмысленный ответ.
Что покажет список из одного положительного числа?
То же число. У единственного наблюдения нет различия между гармоническим, геометрическим и арифметическим средними.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор геометрического среднего. Вставьте положительные числа и найдите среднее для множителей и темпов роста.
- Калькулятор средней скорости. Рассчитайте онлайн среднюю скорость автомобиля или бегуна по времени и расстоянию.
- Калькулятор среднего балла. Рассчитайте средний для диплома или аттестата с помощью онлайн-калькулятора, а также узнайте, как посчитать средний балл правильно из оценок по разным предметам.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.