Средняя скорость: почему нельзя просто усреднить два значения

Среднюю скорость считают по всему пути и всему времени. Простое среднее двух скоростей работает только при равных отрезках времени.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Средняя скорость: почему нельзя просто усреднить два значения

Дальше вы увидите, почему поездка со скоростями 60 и 30 км/ч даёт средние 40 км/ч, когда обычное среднее всё-таки подходит и как учесть светофоры, пробки и остановки.

В статье вы узнаете:

Половина пути при 60 км/ч и половина при 30 км/ч дают 40 км/ч

Представим дорогу длиной 120 км. Первые 60 км машина едет со скоростью 60 км/ч, вторые 60 км со скоростью 30 км/ч. Кажется, что средняя скорость равна (60 + 30) ÷ 2 = 45 км/ч. Но эта поездка длится не два одинаковых отрезка времени.

Быстрые 60 км занимают 1 час. Медленные 60 км занимают 2 часа. Вся дорога длится 3 часа, поэтому правильный расчёт выглядит так:

120 км ÷ 3 ч = 40 км/ч

Число 45 км/ч дало бы другой результат. За 3 часа с такой средней скоростью машина должна была бы пройти 135 км, хотя проехала только 120. Проверка расстоянием сразу выдаёт ошибку.

Этот же пример приводит учебник физики OpenStax: равные расстояния при 30 и 60 км/ч дают среднюю скорость 40 км/ч, а равные промежутки времени при тех же скоростях дают 45 км/ч. [OpenStax, 2020]

Медленный участок получает больший вес, потому что длится дольше

Средняя скорость отвечает на простой вопрос: с какой постоянной скоростью нужно было бы ехать, чтобы пройти тот же путь за то же время. Поэтому каждый режим движения влияет на результат столько, сколько он длился.

В примере выше машина ехала 60 км/ч один час и 30 км/ч два часа. Быстрый режим занял треть всей поездки, медленный две трети. Скорости можно усреднить с этими весами:

60 × 1/3 + 30 × 2/3 = 40 км/ч

Теперь изменим условие. Пусть машина едет один час со скоростью 60 км/ч и один час со скоростью 30 км/ч. За первый час она пройдёт 60 км, за второй 30 км. Всего получится 90 км за 2 часа, то есть 45 км/ч. Обычное среднее сработало, потому что обе скорости действовали одинаковое время.

Среднее двух скоростей можно считать как (v₁ + v₂) ÷ 2, когда обе скорости сохранялись равное время. Для равных расстояний такой способ обычно даёт завышенный ответ.

Для нескольких участков действует та же логика. Каждую скорость умножают на время движения с ней, складывают пройденные расстояния и делят на общее время:

vˉ=v1t1+v2t2+…+vntnt1+t2+…+tn\displaystyle \bar v=\frac{v_1t_1+v_2t_2+\ldots+v_nt_n}{t_1+t_2+\ldots+t_n}

Здесь v обозначает скорость на участке, t время этого участка, а черта над v среднюю скорость всей поездки. Формула работает, когда скорости записаны в одинаковых единицах, а время каждого участка посчитано одинаково.

Весь путь нужно делить на всё время

Самый надёжный способ не требует угадывать веса. Сложите длины всех участков, сложите их время и разделите первое на второе.

vˉ=S1+S2+…+Snt1+t2+…+tn\displaystyle \bar v=\frac{S_1+S_2+\ldots+S_n}{t_1+t_2+\ldots+t_n}

S обозначает пройденное расстояние, t время, а n количество участков. Если путь записан в километрах, а время в часах, результат получится в километрах в час.

Допустим, поездка состоит из трёх частей:

  • 30 км за 30 минут
  • 20 км за 40 минут
  • 10 км за 20 минут

Общий путь равен 60 км. Общее время равно 90 минутам, или 1,5 часа. Средняя скорость составляет 60 ÷ 1,5 = 40 км/ч.

Считать среднее из трёх скоростей здесь дольше и опаснее. На участках получились 60, 30 и 30 км/ч. Их обычное среднее равно 40 км/ч только по удачному совпадению. Стоит изменить длительность одного участка, и совпадение исчезнет.

Если известны общий путь и полное время, их можно сразу ввести в калькулятор средней скорости. Калькулятор покажет результат в километрах в час и метрах в секунду.

Для двух равных расстояний работает гармоническое среднее

Поездка туда и обратно часто состоит из двух одинаковых расстояний. Если в одну сторону машина ехала со скоростью v1, а обратно со скоростью v2, среднюю скорость можно найти одной короткой формулой:

vˉ=2v1v2v1+v2\displaystyle \bar v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

Такое значение называют гармоническим средним. Для 60 и 30 км/ч получаем 2 × 60 × 30 ÷ (60 + 30) = 40 км/ч.

Формула выглядит необычно, но внутри всё тот же полный путь, делённый на полное время. Возьмём длину каждого плеча за S. Весь путь равен 2S. Время туда равно S ÷ v1, время обратно равно S ÷ v2. После подстановки расстояние S сокращается, и остаётся формула выше.

Гармоническое среднее сильнее тянется к меньшей скорости. При 90 км/ч в одну сторону и 30 км/ч обратно результат равен 45 км/ч, а не 60. Медленная половина пути занимает в три раза больше времени, поэтому она сильнее меняет итог.

Формула 2v₁v₂ ÷ (v₁ + v₂) подходит именно для двух равных расстояний. Если один участок длиннее другого, вернитесь к общему правилу: весь путь разделить на всё время.

Светофор тоже тратит время поездки

Машина может проехать 60 км за один час, а затем простоять 30 минут. Если считать весь путь от старта до финиша, средняя скорость равна 60 км ÷ 1,5 часа = 40 км/ч. Во время стоянки скорость была нулевой, но часы продолжали идти.

Отсюда появляются два разных показателя. Средняя скорость движения учитывает только время, когда машина ехала. Средняя скорость поездки включает светофоры, заправку, пробку и остановку на кофе. Оба числа могут быть рассчитаны правильно, просто они отвечают на разные вопросы.

Для планирования прибытия полезнее полное время. Именно оно показывает, сколько часов заняла дорога в реальности. Средняя без остановок нужна, когда хочется оценить сам режим движения. Перед сравнением показаний проверьте, исключает ли приложение стоянки.

Похожая разница возникает у бегуна. Часы могут остановить тренировочный таймер на переходе или во время отдыха. Тогда средний темп активности окажется быстрее среднего темпа от выхода из дома до возвращения.

Ещё одна частая ошибка связана с единицами. Два часа и 30 минут равны 2,5 часа, а не 2,30. Скорость 72 км/ч равна 20 м/с. Если в задаче смешались километры в час и метры в секунду, сначала используйте перевод км/ч в м/с. Международное бюро мер и весов указывает метр в секунду как единицу скорости в СИ и приводит 25 м/с и 90 км/ч как одинаковое значение скорости. [BIPM, SI Brochure]

Три шага защищают от неправильного среднего

Сначала найдите весь путь. Сложите расстояния всех участков. Для поездки туда и обратно учитывайте обе стороны, даже если финиш совпадает со стартом.

Затем найдите всё время. Сложите часы и минуты движения. Добавьте остановки, если нужен результат от старта до финиша.

Разделите путь на время и проверьте границы. Средняя скорость не может оказаться выше самой большой скорости на участках или ниже самой маленькой, если остановок не было. При остановках итог может стать ниже любой скорости движения.

Обычное среднее двух чисел подходит только после вопроса: одинаковое ли время действовало каждое значение? Если да, можно складывать и делить на два. Если даны равные расстояния или разные длительности, считайте весь путь и всё время. Эта короткая привычка спасает больше задач, чем попытка запомнить отдельную хитрую формулу.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовСредняя скорость: почему нельзя просто усреднить два значения