Калькулятор члена геометрической прогрессии

Сумма первых n членов	93

Число после нескольких одинаковых умножений

Рука выбирает последнюю из сужающихся полосок бумаги

Член геометрической прогрессии показывает значение на нужном месте ряда, где каждое следующее число получают умножением предыдущего на один и тот же множитель. В последовательности 3, 6, 12, 24, 48 множитель равен 2, а пятый член равен 48. Калькулятор находит такое число без выписывания всего ряда.

Постоянный множитель называют знаменателем прогрессии и обозначают q. Здесь слово «знаменатель» означает правило перехода между соседними числами. Например, q = 0,5 каждый раз оставляет половину предыдущего значения, а q = −2 меняет знак и удваивает модуль, то есть расстояние числа от нуля.

Первое число обозначают b₁, искомое bₙ, а его номер n. Номер считает места: он целый и положительный. Само значение может быть дробным, отрицательным или нулевым. Не смешивайте эти роли: в начальном примере номер 5, ответ 48, а выполненных умножений четыре.

Как связаны номер и степень

Первое значение уже стоит в ряду. Для второго нужно один раз умножить его на q, для третьего два раза. Повторное умножение записывают степенью, поэтому формула содержит n − 1:

b_n=b_1q^{n-1}

При b₁ = 3, q = 2 и n = 5 получаем 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48. Если поставить в степень 5, получится 96, но это шестой член. Самое полезное действие перед вводом: решить, считается ли первое число исходным состоянием или результатом первого изменения.

Начало и искомый член имеют одинаковые единицы. Если первое значение дано в сантиметрах, ответ тоже получится в сантиметрах. Множитель q единиц не имеет: он сообщает, во сколько раз меняется величина. Нельзя ввести «прибавка 5 см» как q = 5, потому что калькулятор тогда будет каждый раз увеличивать длину впятеро.

Для положительного начального значения q больше 1 задаёт рост, а q между 0 и 1 уменьшение. При отрицательном начале знак сравнений меняется: например, −2, −4, −8 становятся меньше, хотя их модули растут. Поэтому правило «q больше единицы означает возрастающую прогрессию» без условия о начале неточно.

Где появляется отдельный член

Повторное масштабирование удобно описывает учебные конструкции, размеры копий и заранее заданные планы изменения. Во всех примерах множитель остаётся постоянным. Если в реальном процессе он меняется, каждое изменение придётся учитывать отдельно.

Предметы только в последнем ряду

В первом ряду узора два жетона, в каждом следующем их вдвое больше. Восьмой ряд содержит 2 × 2⁷ = 256 жетонов. Проверочный ряд количеств: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Для последнего ряда потребуется заметно больше предметов, чем для первого.

Это количество в одном ряду. Оно не показывает, сколько жетонов нужно для всего узора: предыдущие ряды тоже чем-то заполняются. Чтобы посчитать общий запас, используйте сумму геометрической прогрессии. Проверка смысла ответа здесь важнее ещё одного знака после запятой.

Длина после четырёх делений пополам

Берут полосу длиной 80 см, от неё оставляют половину, затем снова половину и повторяют это четыре раза. Исходная полоса является первым членом. После четырёх делений нужно пятое значение: b₁ = 80, q = 0,5, n = 5. Получается 80 × 0,5⁴ = 5 см.

Последовательность длин: 80, 40, 20, 10, 5 см. Ввод n = 4 дал бы 10 см, то есть результат лишь трёх делений. Когда в задаче написано «после четырёх действий», это ещё не означает, что требуется четвёртый член: сначала найдите место исходного состояния.

Размер уменьшенной копии

Сторона квадратного рисунка равна 16 см. Каждая новая копия имеет 75% линейного размера предыдущей. У четвёртой версии, если оригинал считать первой, сторона равна 16 × 0,75³ = 6,75 см. Здесь q = 0,75 означает оставшуюся долю размера.

Площадь копии меняется по другому множителю: 0,75² = 0,5625 за один переход. Поэтому нельзя сказать, что площадь тоже каждый раз уменьшается на 25%. Для размеров, площадей и объёмов одного объекта сначала выбирайте именно ту величину, которую собираетесь продолжать по ряду.

Постепенное уменьшение на одинаковый процент

В учебной модели после каждого этапа остаётся 80% предыдущего количества. В начале 100 условных единиц. После трёх этапов получаем 100 × 0,8³ = 51,2 единицы. Для калькулятора это четвёртый член: исходное состояние, первый, второй и третий результаты.

Уменьшение на 20% означает q = 1 − 20 / 100 = 0,8. Вычитание трёх раз по 20 из исходных ста дало бы 40, но в этой модели каждый следующий процент берётся от уже уменьшившегося количества. Числа потерь здесь разные: 20, 16 и 12,8.

Чередование знака при удвоении

Начало равно −3, а множитель −2. Требуется шестой член. Пять умножений дают −3 × (−2)⁵ = 96. Ряд начинается так: −3, 6, −12, 24, −48, 96. Скобки вокруг отрицательного множителя показывают, что степень относится и к знаку, и к двойке.

Нечётное число умножений на отрицательное число меняет исходный знак, чётное сохраняет. Такой ряд подходит для учебного знакопеременного сигнала или алгебраического упражнения. Для количества предметов отрицательные значения обычно не имеют прямого смысла, даже когда вычислены без ошибки.

Продолжение от известного промежуточного значения

Четвёртый член равен 54, знаменатель равен 3. Чтобы найти седьмой, нужно выполнить три умножения: 54 × 3³ = 1458. Между четвёртым и седьмым местами три перехода. Номер 7 нельзя использовать как число действий, выполненных после 54.

В форме с первым членом сначала восстановите начало: b₁ = 54 / 3³ = 2. Затем введите 2, 3 и 7: получится 2 × 3⁶ = 1458. Если q ненулевой, движение назад по ряду означает деление на q. При нулевом множителе такое восстановление требует отдельного разбора.

Проверка знака, масштаба и границ модели

Для ненулевого q ответ можно вернуть назад: разделить его на q ровно n − 1 раз. Должно получиться начало. При отрицательном q отдельно проверьте чётность степени. Пятый член содержит четыре умножения, поэтому его знак совпадает со знаком первого, а шестой содержит пять и получает противоположный знак.

Калькулятор поддерживает повторное умножение и при нулевых значениях. Нулевое начало даёт нули на всех местах. При q = 0 первый член сохраняется, а со второго все значения равны нулю. Некоторые школьные определения геометрической прогрессии требуют ненулевых членов: в такой задаче нулевые случаи могут исключаться самим условием.

У первого члена n = 1 изменений ещё нет. Он равен введённому началу при любом q, включая ноль. Чтобы понять этот случай, достаточно определения последовательности; трактовать запись 0⁰ как обычную промежуточную операцию здесь не требуется.

Если вместо множителя известны конец или сумма, выберите подходящие данные в общем калькуляторе геометрической прогрессии. Перед этим убедитесь, что изменение действительно кратное. Отличие постоянного умножения от постоянной прибавки показывает сравнение двух видов прогрессий.

При больших номерах небольшая ошибка q многократно повторяется. Не округляйте 1,005 до 1, если требуется сохранить прибавку 0,5% за этап. Показанный ответ ограничен точностью вычисления и округлением; для чисел крайнего масштаба используется экспоненциальная запись. Длинный ответ не делает исходные измерения более точными.

Для неделимых предметов отдельно проверяйте целочисленность каждого нужного результата. Например, начало 1 и множитель 1,5 дают 1; 1,5; 2,25. Это корректный числовой ряд, но не количества целых жетонов. Если после каждого шага округлять их до целого, изменится правило перехода и последующие значения придётся рассчитывать с учётом этого округления.

Вопросы о члене геометрической прогрессии

Разные способы нумерации и записи коэффициента часто описывают один процесс. Сначала приведите их к одинаковому началу отсчёта, а затем сравнивайте полученные значения.

Что означает увеличить в полтора раза?

Это умножение на 1,5, поэтому q = 1,5. При начале 8 три первых члена равны 8, 12 и 18. Увеличение в полтора раза соответствует прибавке 50% к текущему значению, а увеличение на 150% дало бы множитель 2,5.

Как считать, если исходное значение обозначено b₀?

При нумерации с нуля формула принимает вид bₙ = b₀qⁿ. Чтобы использовать эту страницу, считайте исходное значение первым и увеличьте нужный номер на единицу. Например, b₀ = 5, q = 2 и исходный индекс 3 соответствуют номеру 4 в калькуляторе: ответ 40.

Что происходит при q = 1 и q = −1?

При q = 1 все значения равны началу. При q = −1 повторяются начало и противоположное ему число: 7, −7, 7, −7. Для ненулевого начала нечётные места совпадают с первым, чётные имеют противоположный знак. Модуль значений в обоих случаях не меняется.

Может ли ряд уменьшаться, но никогда не получить ноль?

Да. При ненулевом начале и множителе между 0 и 1 любой член с конечным номером остаётся ненулевым. У ряда 1, 0,5, 0,25 и далее значения приближаются к нулю. Показанный после округления ноль не означает точного нулевого члена.

Что будет, если взять каждый второй член?

Получится последовательность с множителем q². Из 3, −6, 12, −24, 48 на нечётных местах остаются 3, 12, 48 с множителем 4. Чередование знаков исчезнет, потому что каждый новый переход включает два умножения на отрицательный q.

Можно ли получить предыдущий член делением?

Да, при q ≠ 0 предыдущий член равен текущему, делённому на q. Если текущее значение 18, а q = 3, перед ним было 6. При q = 0 нулевой результат мог получиться из любого предыдущего числа, поэтому обратное действие не определяет единственный ответ.

Совпадают ли произведения крайних членов с одинаковой суммой номеров?

Да: b₁b₅ = b₂b₄ = b₃², если эти члены образуют геометрическую прогрессию. В ряду 2, 6, 18, 54, 162 все три произведения равны 324. Это полезная проверка промежуточного значения, но равенство квадратов само по себе не определяет его знак.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.