Калькулятор геометрической прогрессии

Первый член b₁	3
Знаменатель q	2
Количество n	5
Сумма Sₙ	93

Как рассчитать геометрическую прогрессию

Лаборант сравнивает несколько чашек с быстро растущим количеством колоний

Геометрическая прогрессия является последовательностью, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии. Такая модель описывает повторяющийся рост или уменьшение в одинаковое число раз: удвоение количества, ежегодное сохранение одной доли стоимости, размножение колоний и чередование знаков при отрицательном q.

Если известны первый член b₁, знаменатель q и номер n, нужный член находится по формуле:

\displaystyle b_n=b_1q^{n-1}

Сумма первых n членов конечной прогрессии при q ≠ 1 равна:

\displaystyle S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}

При q = 1 все члены равны b₁, поэтому Sₙ = nb₁. Калькулятор считает именно конечную сумму. Формула бесконечной убывающей прогрессии решает другую задачу и требует условия |q| < 1.

В строке «Что известно» доступны пять наборов данных. Калькулятор умеет находить bₙ и Sₙ по b₁, q и n; восстанавливать b₁; искать q по двум крайним членам; определять n; а также находить b₁ по q, n и сумме. Первые члены раскрываются под результатом и позволяют проверить умножение на q.

Определение, формула n-го члена и формула конечной суммы соответствуют разделу о геометрических последовательностях в OpenStax College Algebra. В школьных задачах первый член часто считают ненулевым, но калькулятор также аккуратно разбирает расширенные конечные случаи q = 0.

Как выбрать набор данных

b₁, q и n. Это основной режим для прямого расчёта. Калькулятор последовательно умножает на q, показывает bₙ и суммирует первые n членов. Отрицательные b₁ и q разрешены.

q, bₙ и n. Первый член находится обратным делением: b₁ = bₙ / q^(n - 1). При q = 0 и n больше 1 последний член всегда равен нулю, поэтому по нему нельзя восстановить единственный b₁.

b₁, bₙ и n. В этом режиме решается уравнение q^(n - 1) = bₙ / b₁. Иногда действительных ответов два. Например, из b₁ = 2, b₃ = 18 и n = 3 следует q² = 9, поэтому q может равняться 3 или -3. Калькулятор покажет обе последовательности и разные суммы.

b₁, q и bₙ. Количество членов определяется только тогда, когда последний член действительно достигается при натуральном n. При q = 1 последовательность постоянна, а при q = -1 она чередует два значения, поэтому совпавший bₙ может встречаться много раз. В таких случаях единственного n нет.

q, n и Sₙ. Калькулятор сначала считает сумму прогрессии с b₁ = 1, затем делит заданную Sₙ на полученный коэффициент. Если q = -1 и n чётно, пары 1 и -1 взаимно уничтожаются. Нулевая сумма тогда подходит любому b₁ и не задаёт его однозначно.

Практические примеры

🧫 Рост колонии. Пусть в первой пробе условно 1 колония, а на каждом этапе количество утраивается. При b₁ = 1, q = 3 и n = 6 шестой член равен 243, а сумма первых шести уровней 364. В раскрытом ряду видны 1; 3; 9; 27; 81; 243.

📉 Снижение стоимости. Оборудование стоит 1 000 000 рублей, а после каждого года сохраняет 85% предыдущей оценки. Для пяти значений b₁ = 1 000 000, q = 0,85 и n = 5. Пятое значение равно 522 006,25 рубля, сумма пяти годовых оценок равна 3 708 631,25 рубля. Это модель, а не прогноз рыночной цены.

💾 Удвоение объёма. Первый блок занимает 100 единиц, каждый следующий в 2 раза больше, всего 8 блоков. Тогда b₈ = 12 800, а S₈ = 25 500. Геометрический рост быстро отрывается от арифметического: прибавление постоянных 100 дало бы совсем другой итог.

🔁 Отрицательный знаменатель. Для b₁ = 3, q = -2 и n = 5 ряд имеет вид 3; -6; 12; -24; 48. Последний член положителен, сумма равна 33. Знак меняется на каждом переходе, а модуль удваивается.

🧩 Два возможных q. При b₁ = 2, b₃ = 18 и n = 3 калькулятор возвращает q = -3 или q = 3. Первый вариант даёт 2; -6; 18 и сумму 14. Второй даёт 2; 6; 18 и сумму 26. Одни крайние члены не всегда определяют середину однозначно.

🔎 Поиск номера. В последовательности с b₁ = 5 и q = 2 нужно найти номер члена 160. Отношение 160 / 5 равно 32, то есть 2 в пятой степени. Выполнено пять переходов, поэтому n = 6, а сумма от 5 до 160 равна 315.

0️⃣ Нулевой знаменатель. Для b₁ = 7, q = 0 и n = 4 последовательность равна 7; 0; 0; 0. Последний член равен нулю, сумма равна 7. Если известны только q = 0, bₙ = 0 и n = 4, первый член восстановить нельзя: подойдёт любое число.

Отрицательные значения, ноль и точность

При положительном q знак всех ненулевых членов совпадает со знаком b₁. При отрицательном q знак чередуется. Если степень n - 1 чётная, bₙ имеет знак b₁; если нечётная, противоположный. Эта проверка помогает заметить неверно переписанный номер или знак.

При |q| больше 1 модули растут, при 0 < |q| < 1 уменьшаются, при |q| = 1 не меняются. Это описание относится к модулю. Ряд с q = -0,5 одновременно уменьшается по модулю и чередует положительные и отрицательные значения.

Очень большие q и n быстро выходят за пределы обычных чисел JavaScript. Калькулятор ограничивает n значением 10 000 и останавливает расчёт, если промежуточные значения становятся бесконечными. Это честнее, чем выводить округлённую строку, которая выглядит точной, но уже не является числом.

Не путайте этот механизм с арифметической прогрессией: там каждый раз прибавляют d, здесь умножают на q. При поиске n используются степени и логарифмы, но итог всё равно проверяется прямой подстановкой, чтобы получить натуральный номер. Наглядный пример бесконечного уменьшения расстояний разобран в материале об Ахиллесе и черепахе.

Вопросы о геометрической прогрессии

Ответы поясняют знаменатель, конечную сумму, отрицательные значения и неоднозначные обратные задачи.

Что такое знаменатель геометрической прогрессии?

Знаменатель q является постоянным множителем: bₙ = bₙ₋₁q. Если два соседних ненулевых члена известны, q находится их делением, например q = b₂ / b₁.

Как найти n-й член геометрической прогрессии?

Используйте формулу bₙ = b₁q^(n - 1). Показатель n - 1 равен количеству умножений от первого члена до нужного.

Как найти сумму первых n членов?

При q ≠ 1 используйте Sₙ = b₁(1 - qⁿ) / (1 - q). При q = 1 все члены равны, поэтому сумма равна nb₁.

Может ли q быть отрицательным?

Да. При отрицательном q знаки ненулевых членов чередуются. Модуль при этом умножается на |q|, поэтому последовательность может расти или уменьшаться по модулю.

Что происходит при q = 0?

Первый член остаётся b₁, а все последующие равны нулю. Поэтому для n больше 1 сумма равна b₁, но по нулевому последнему члену нельзя восстановить единственный b₁ или n.

Почему калькулятор иногда показывает два значения q?

Если степень n - 1 чётная, положительное отношение bₙ / b₁ может иметь два действительных корня: положительный и отрицательный. Они дают одинаковые крайние члены, но разные промежуточные значения и суммы.

Считает ли калькулятор сумму бесконечной прогрессии?

Нет, интерфейс считает конечные первые n членов. Бесконечная сумма существует только при |q| < 1 и требует отдельной постановки без конечного номера n.

Почему bₙ не попадает в прогрессию?

Для заданных b₁ и q отношение bₙ / b₁ должно быть целой неотрицательной степенью q с правильным знаком. Если вычисленный показатель нецелый или знак не совпадает, натурального номера n нет.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.