Арифметическая и геометрическая прогрессии: в чём разница
Арифметическая прогрессия меняется на одинаковое число, геометрическая - в одинаковое число раз. Поэтому первая растёт ровно, а вторая разгоняется.
Разницу проще всего услышать в двух фразах. «Каждый месяц прибавляем 1000 рублей» описывает арифметическую прогрессию. «Каждый месяц увеличиваем сумму в два раза» описывает геометрическую. В начале ряды могут выглядеть похоже, но через несколько шагов приводят к совсем разным числам.
В статье вы узнаете:
Арифметическая прогрессия каждый раз прибавляет одно число
Арифметическая прогрессия строит ряд одинаковыми прибавками. Число 3, которое прибавляют в каждом переходе ряда 2, 5, 8, 11, называют разностью прогрессии.
Представьте лестницу с одинаковыми ступенями. Каждая новая ступень выше предыдущей на одну и ту же высоту. Если первая находится на отметке 2, а шаг равен 3, отметки будут 2, 5, 8, 11 и так далее.
Для n-го члена используют короткую формулу:
Здесь a₁ обозначает первое число, d - постоянную прибавку, n - номер нужного числа. Выражение n - 1 появляется потому, что от первого члена до пятого нужно сделать четыре перехода.
Такой ряд подходит для расписания с одинаковым интервалом, накоплений с фиксированной ежемесячной добавкой и рядов мест, где в каждом следующем ряду на два кресла больше. Его график идёт по прямой: за десять шагов прибавка срабатывает десять раз, за сто шагов сто раз.
Геометрическая прогрессия каждый раз умножает на одно число
Геометрическая прогрессия строит ряд одинаковыми умножениями. Число 3, на которое умножают каждый предыдущий член ряда 2, 6, 18, 54, называют знаменателем прогрессии.
Здесь лучше представить снежный ком. Новый слой зависит от уже набранного размера. Чем больше ком, тем больше снега он может собрать за следующий одинаковый участок пути. Поэтому прибавка всё время меняется: сначала +4, потом +12, затем +36.
Формула n-го члена тоже показывает повторяющееся действие:
b₁ обозначает первое число, q - постоянный множитель. Степень n - 1 считает, сколько умножений уже произошло.
Такая модель подходит для сложных процентов, удвоения клеток, многократного уменьшения остатка на одну и ту же долю и передачи сообщения, когда каждый участник зовёт ещё двух. Если q больше 1, рост ускоряется. Если q находится между 0 и 1, значения каждый раз уменьшаются в одинаковую долю.
Одинаковый старт скрывает огромную разницу в конце
Пусть два ряда начинаются со 100. В первом к числу каждый раз прибавляют 100. Во втором число каждый раз умножают на 2.
Арифметический ряд: 100, 200, 300, 400, 500. Десятый член равен 1000, а сумма первых десяти равна 5500.
Геометрический ряд: 100, 200, 400, 800, 1600. Десятый член равен 51 200, а сумма первых десяти равна 102 300.
После первого шага оба ряда показывали 200. Это и сбивает с толку. Одинаковый результат в одной точке ещё не означает одинаковый закон. Нужно спросить, что сохраняется между соседними значениями: разность или отношение.
Быстрая проверка: вычитайте соседние числа. Одинаковые ответы указывают на арифметическую прогрессию. Затем делите следующее число на предыдущее. Одинаковые отношения указывают на геометрическую.
У ряда 4, 7, 10, 13 разности равны 3, а отношения разные. У ряда 4, 12, 36, 108 отношения равны 3, а разности разные.
История Гаусса объясняет сумму без длинного сложения
Арифметические и геометрические ряды появились задолго до современной школьной записи. У них нет одного автора. Но самую известную историю об арифметической прогрессии связывают с немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом.
По школьному рассказу учитель попросил сложить числа от 1 до 100. Юный Гаусс заметил пары: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98. Каждая даёт 101, а всего получается 50 пар. Значит, сумма равна 50 × 101 = 5050. Биография Гаусса в архиве истории математики Сент-Эндрюс приводит именно эту версию истории. [MacTutor, биография Гаусса]
Важен здесь не образ вундеркинда, а приём. Первый и последний члены арифметической прогрессии дают ту же сумму, что второй и предпоследний. Поэтому среднее первого и последнего можно умножить на количество членов.
В геометрической прогрессии такой пары нет: значения растут несимметрично. Её сумма выводится через умножение всего ряда на q и вычитание исходного ряда. Одинаково звучащее слово «сумма» скрывает два разных механизма.
В условии ищите действие, а не слово «рост»
Фиксированная прибавка ведёт к арифметической прогрессии: ещё 500 рублей, ещё 3 метра, ещё 2 места. Фиксированная доля или множитель ведёт к геометрической: плюс 10% к текущему значению, половина остатка, удвоение количества.
Фраза «увеличивается на 20» означает прибавление числа 20. Фраза «увеличивается на 20%» означает умножение текущего значения на 1,2. Через один шаг разница может показаться небольшой, но затем проценты применяются уже к новой базе.
Если механизм определён, отдельные инструменты помогут не перепутать обозначения: калькулятор арифметической прогрессии работает с постоянной разностью d, а калькулятор геометрической прогрессии с постоянным множителем q. Оба раскрывают первые члены, поэтому результат можно проверить глазами.
Итог простой. Арифметическая прогрессия отвечает на вопрос «сколько прибавляем каждый раз?», геометрическая - «во сколько раз меняем каждый раз?». Сначала найдите это действие, и только потом выбирайте формулу.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.