Калькулятор размаха числового ряда

Среднее арифметическое	16,75
Медиана	15,5
Мода	13
Повторов моды	3
Минимум / максимум	9 / 25
Сумма / количество	268 / 16

Размах равен разности между крайними значениями

Карандаши разной длины лежат рядом, самый короткий и самый длинный выделены коралловым цветом

Чтобы найти размах числового ряда, вычтите самое маленькое число из самого большого. Для списка 6, 8, 9, 14 ответ равен 14 − 6 = 8. Размах показывает полную ширину наблюдавшихся значений. Если это минуты ожидания, разница между самым коротким и самым долгим ожиданием составляет 8 минут.

Калькулятор сам найдёт минимум и максимум во вставленном списке. Предварительная сортировка не требуется: числа 14, 6, 9, 8 дадут те же границы и тот же ответ. В подробностях можно посмотреть обе крайние величины и проверить, не попала ли в список случайная лишняя цифра.

Размах удобен для первого взгляда на измерения: насколько различаются результаты забегов, цены одинакового товара или длины заготовок. Но он смотрит только на два края. Сто наблюдений между ними могут измениться, а размах останется прежним. Поэтому читать его полезно вместе с самими границами и размером списка.

Формула размаха и порядок действий

Обозначим размах буквой R. Формула вычитает минимум из максимума:

\displaystyle R=x_{\max}-x_{\min}

Здесь xₘₐₓ означает наибольшее значение, xₘᵢₙ наименьшее. Например, при границах 12 и 19 получаем 19 − 12 = 7. Делить результат на количество наблюдений не нужно. Сумма чисел тоже не участвует в этом расчёте.

Для ручной проверки сначала найдите оба края, а потом выполните одно вычитание. Максимум всегда не меньше минимума, поэтому размах не бывает отрицательным. Ответ со знаком минус означает, что границы перепутаны или в арифметике допущена ошибка. Для ряда, в котором все значения одинаковы, размах равен нулю.

Единица результата совпадает с единицей исходных величин. У длин в сантиметрах размах будет в сантиметрах, у длительностей в секундах в секундах. Площадь или квадрат единицы здесь не появляется. Если цены записаны в рублях, ответ 250 означает разницу 250 рублей, а не рост на 250%.

Сам диапазон и его ширина тоже различаются. Запись «от 12 до 19» содержит две границы. Число 7 сообщает расстояние между ними. По одному размаху восстановить исходный диапазон нельзя: такую же ширину имеют интервалы от 0 до 7 и от 100 до 107.

Примеры для чисел, времени и измерений

Каждый расчёт начинается с выбора сопоставимых наблюдений. Сначала убедитесь, что все числа относятся к одной величине и приведены к одной единице. После этого останется найти края и правильно прочитать их разность.

Время ожидания без сортировки

В учебном примере посетители ждали 12, 8, 15, 11, 9 минут. Минимум равен 8, максимум 15. Размах составляет 15 − 8 = 7 минут. Самое долгое ожидание оказалось на 7 минут больше самого короткого.

Это не означает, что каждый посетитель ждал 7 минут или что обычное ожидание равно 7. В этом списке вообще нет такого результата. Чтобы описать типичную длительность, нужен показатель центра. Размах отвечает только за различие крайних случаев.

Температуры по обе стороны нуля

Пусть записаны температуры −6, −3, 0, 2, 4 °C. Наибольшая равна 4, наименьшая −6. Получаем 4 − (−6) = 10 °C. При вычитании отрицательного числа прибавляется его модуль, поэтому размах больше каждого из положительных значений в списке.

На числовой прямой это легко проверить: от −6 до нуля шесть делений, от нуля до 4 ещё четыре. Вместе десять. Даже если все температуры отрицательные, порядок тот же: для −12 и −5 максимумом будет −5, а размахом −5 − (−12) = 7 °C.

Длины с десятичными долями

Четыре учебных измерения длины равны 10,2; 10,5; 10,3; 10,4 см. Самая короткая длина 10,2 см, самая длинная 10,5 см. Размах равен 0,3 см. В миллиметрах те же измерения составят 102, 105, 103, 104, а размах будет 3 мм.

Оба ответа описывают одно расстояние. Смена единицы умножила все числа и размах на 10. Но запись одного измерения в миллиметрах среди сантиметров дала бы искусственно огромную разницу. Перед вставкой целого столбца проверьте единицы, даже если таблица выглядит аккуратно.

Одинаковые результаты

У пяти участников по 20 баллов: 20, 20, 20, 20, 20. Минимум и максимум совпадают. Размах равен 20 − 20 = 0 баллов. Ноль означает, что в этом списке наблюдаемых различий нет.

Он не говорит, что измерения точны до бесконечности или что следующие участники получат те же баллы. Если результаты заранее округлили, небольшие различия могли исчезнуть. Для одного записанного результата, например 20, размах также равен нулю, но оснований судить об изменчивости процесса ещё меньше.

Одна необычная поездка меняет весь размах

Длительности пяти поездок составили 28, 30, 31, 32, 34 минуты. Размах равен 34 − 28 = 6 минут. Добавим шестую поездку длительностью 70 минут. Теперь максимум 70, минимум всё ещё 28, а размах вырос до 42 минут.

Первые пять наблюдений не изменились, но одно событие увеличило показатель в семь раз. Не удаляйте 70 только потому, что оно мешает красивой картине. Сначала проверьте, была ли это настоящая задержка, иной маршрут или ошибка записи. Если поездка исключена по условиям задачи, сохраните причину исключения рядом с расчётом.

Одинаковый размах у разных групп

Первая группа получила результаты 0, 1, 1, 1, 10, вторая 0, 5, 5, 5, 10. В обеих минимум 0 и максимум 10, поэтому размах равен 10. Однако у первой группы большинство результатов близко к нижней границе, а у второй сосредоточено в середине.

Перенесём три внутренних результата первой группы с 1 на 9: размах снова останется 10. Значит, равенство размахов не означает одинаковое распределение, одинаковый средний результат или одинаковую долю крайних случаев. Два граничных числа не могут пересказать всю группу.

Как подготовить список и проверить ответ

Вставляйте числа без названий столбцов, единиц и поясняющих слов. Подойдут пробелы, переносы строк и точки с запятой. Десятичные значения можно писать через точку или запятую. Чтобы 1,2 и 3,4 были прочитаны как два числа, используйте запись «1,2; 3,4» или поставьте их на разных строках.

Запятая с последующим пробелом разделяет наблюдения: 1, 2 означает два числа. Запятая без пробела внутри числа задаёт дробную часть: 1,2 означает одно число. Если копируете таблицу, выбирайте только числовые ячейки. Калькулятор принимает до 10 000 значений и отмечает непонятную запись, чтобы её можно было исправить.

Пустая строка не превращается в ноль. Это важно для положительных измерений: если неизвестную длину заменить нулём, минимум станет 0 и размах вырастет без реального измерения. Настоящий ноль, напротив, нужно оставить. У ряда 0, 2, 3 размах 3, а после удаления нуля получится 1.

Настройка округления управляет показом результата, а не пересчитывает исходный ряд из округлённых значений. Для списка 1,04; 1,06 размах равен 0,02. Если заранее округлить оба наблюдения до десятых, появятся 1,0 и 1,1 с размахом 0,1. Это другая исходная информация, поэтому сохраняйте нужную точность до окончания расчёта.

Почему размер списка имеет значение

При добавлении нового наблюдения к существующему списку размах может остаться прежним или увеличиться. Уменьшиться он не может: старые минимум и максимум никуда не делись. Новое число внутри прежних границ ничего не меняет, а число за пределами сдвигает один из краёв.

Поэтому сравнение группы из трёх наблюдений с группой из трёхсот требует осторожности. Более длинное наблюдение за процессом даёт больше возможностей встретить редкий крайний случай. Это не обещает большего размаха в каждом конкретном сравнении, но мешает оценивать стабильность только по одному полученному числу.

Для практического отчёта сохраняйте рядом с размахом размер группы, минимум, максимум и одинаковый период измерений. Например, «20 поездок, от 24 до 41 минуты, размах 17 минут» сообщает больше, чем один ответ 17. При следующем сравнении будет понятно, сколько поездок и какие условия стояли за цифрой.

Чем дополнить размах

Если редкие края слишком сильно меняют картину, посмотрите квартили и межквартильный размах. Межквартильный размах измеряет расстояние между первым и третьим квартилями, то есть ширину центральной половины данных. Он отвечает на другую задачу и не должен подменять полный размах там, где нужны именно крайние значения.

Когда важны отклонения всех наблюдений от среднего, пригодится стандартное отклонение. В отличие от размаха, его расчёт использует каждое значение. Внутренние числа из примера с двумя группами повлияют на такой результат, хотя минимум и максимум останутся одинаковыми.

Чтобы сопоставить ширину и центр одного списка, можно найти среднее, медиану, моду и размах вместе. Сначала определите вопрос: нужны границы, середина, самый частый результат или общий разброс. Один показатель удобен именно потому, что отвечает на определённую часть задачи.

В справочнике NIST о мерах разброса размах определяется через минимум и максимум. Там же объясняется ограничение: промежуточные наблюдения не участвуют в расчёте. Для короткой проверки это удобно, для полного описания изменчивости списка нужны дополнительные характеристики.

Вопросы о размахе числового ряда

Формула остаётся одной и той же при повторах, смене единиц и преобразовании чисел. Изменяется то, какие границы нужно сравнивать и какой смысл имеет полученная разность.

Нужно ли считать размах по первому и последнему числу?

Можно, если первое число является минимумом, а последнее максимумом, например в ряду по возрастанию. В исходном списке крайние по позиции числа могут не быть минимумом и максимумом. Например, у ряда 5; 1; 9; 6 разность последнего и первого равна 1, но правильный размах равен 9 − 1 = 8.

Меняют ли повторы размах?

Добавление копии уже имеющегося числа не меняет минимум и максимум, поэтому размах останется прежним. У рядов 2; 8 и 2; 2; 2; 8 одинаковый размах 6. При этом количество наблюдений и другие статистические характеристики могут различаться.

Что будет с размахом, если ко всем числам прибавить 100?

Он не изменится. Минимум и максимум увеличатся на 100, а при вычитании эта прибавка сократится. Например, у 3; 9 размах 6 и у 103; 109 тоже 6. Сдвиг всего ряда меняет положение, но сохраняет расстояния между значениями.

Как изменится размах при умножении всех чисел?

Он умножится на модуль множителя. При умножении на 3 размах 5 станет 15. При умножении на −3 границы поменяются ролями, но расстояние тоже станет 15. Если умножить все числа на ноль, получится ряд из нулей с нулевым размахом.

Можно ли найти общий размах по размахам отдельных групп?

Одних размахов недостаточно. Группы с размахом 2 могут лежать рядом или далеко друг от друга. Для объединения сохраните минимум и максимум каждой группы. Затем выберите самый маленький из минимумов и самый большой из максимумов и найдите их разность.

Размах 4 означает, что между границами четыре целых числа?

Нет. Размах измеряет расстояние. Между целыми границами 3 и 7 включительно находятся пять целых чисел: 3, 4, 5, 6, 7. Размах равен 4. Количество целых значений включительно рассчитывают отдельно, прибавляя единицу к разности целых границ.

Размах показывает допустимое отклонение детали?

Сам по себе нет. Он показывает разность между самой большой и самой маленькой измеренной величиной. Для проверки допуска нужны заданные нижняя и верхняя границы. Небольшой размах не гарантирует годность: все детали могут оказаться близкими по размеру, но целиком за пределами допуска.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.