Калькулятор последовательности Коллатца

Максимальное число	9 232
Чисел в последовательности	112

Как строится последовательность Коллатца

Человек рассматривает путь из блоков, который сначала поднимается, а затем спускается

Последовательность Коллатца получается из положительного целого числа по двум правилам: чётное делим на два, нечётное умножаем на три и прибавляем единицу. Затем повторяем действие с новым числом. Например, из 6 получается цепочка 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Здесь восемь переходов и девять чисел: исходная шестёрка ещё не является результатом шага.

Калькулятор показывает число шагов до первой единицы и самое большое значение на пути. В подробностях можно открыть график и весь ряд. Так проще проверить домашнее задание, найти ошибку в собственном алгоритме или сравнить два старта. Для каждого перехода важна чётность текущего числа, а не исходного.

Обозначим текущее число через aₖ, а следующее через aₖ₊₁. Индекс k считает уже выполненные переходы, поэтому у исходного числа индекс равен нулю:

\displaystyle a_{k+1}=\begin{cases}a_k/2,&a_k\text{ чётное},\\3a_k+1,&a_k\text{ нечётное}.\end{cases}

Если продолжить после единицы, появится цикл 1, 4, 2, 1. В этом инструменте расчёт заканчивается на первом достижении 1. Три дальнейших перехода не включаются в ответ, иначе одну и ту же цепочку можно было бы продлевать бесконечно.

Что проверить на простых и неожиданных примерах

Число побольше не обязательно даёт более длинный путь. Для начала полезно проверить короткую цепочку вручную, затем сравнить соседние значения. Эти опыты отвечают на разные вопросы: правильно ли применено правило, как считаются шаги и можно ли угадать поведение по одному стартовому числу.

🔎 Ручная проверка для 6. Первый переход даёт 3, второй 10, третий 5. На следующем шаге получается 16, после чего остаются деления: 8, 4, 2, 1. Максимум равен 16, шагов восемь. Если у вас получилось семь, проверьте переход от 3 к 10: умножение и прибавление вместе составляют один шаг, но деление следующей десятки уже другой.

🏁 Старт сразу с единицы. Введите 1. Ответ: ноль шагов, максимум 1, один член последовательности. Цель уже достигнута до первого действия. Это полезная проверка программы: цикл, который обязательно выполняется хотя бы один раз, может ошибочно показать три шага и максимум 4.

🪜 Степень двойки. Число 1024 равно 2¹⁰. Оно делится пополам десять раз и достигает 1 без единого подъёма: 1024, 512, 256 и дальше до 2, 1. Максимум остаётся равным старту. Здесь ответ можно получить заранее по показателю степени, поэтому пример годится для независимой проверки счётчика.

😮 Соседние 26 и 27. Из 26 до единицы всего десять шагов, максимум 40. Из 27 уже 111 шагов, а максимум достигает 9232. Прибавили единицу на входе, получили совсем другую прогулку. Умножать известное число шагов пропорционально начальному числу нельзя: на каждом повороте меняется последовательность чётных и нечётных значений.

🔗 Общий хвост у 3 и 6. Шестёрка сразу превращается в тройку, поэтому весь оставшийся путь совпадает с последовательностью для 3. У тройки семь шагов, у шестёрки восемь, а максимум у обеих равен 16. Если два расчёта встретились в одном числе, дальше они обязаны совпасть: следующее значение определяется однозначно.

💻 Большой ответ без округления. Возьмите 562 949 953 421 312, то есть 2⁴⁹. Путь содержит ровно 49 делений и 50 членов; пик совпадает с началом. Такой ввод проверяет чтение длинного числа и точный вывод. Для произвольного старта промежуточные значения могут оказаться намного выше исходного, поэтому округление даже одного нечётного числа способно испортить весь последующий путь.

Как читать график и максимум

Горизонтальная ось показывает шаг, вертикальная значение числа после этого шага. Точка с номером 0 является исходным числом. Чтобы узнать точное значение, наведите указатель на график или коснитесь его. При управлении клавиатурой переведите фокус на график и используйте стрелки; Home и End выбирают начало и конец.

Обычная шкала помогает увидеть абсолютный размер подъёма. Для 27 пик 9232 настолько велик, что последние значения рядом с ним почти сливаются с нижней линией. Это особенность масштаба, а не исчезновение шагов. Полный ряд по-прежнему содержит 112 чисел и заканчивается на 1.

Логарифмическая шкала удобна для сравнения порядка величин. На ней одинаковое расстояние по вертикали означает одинаковое изменение в разах: от 10 до 100 такой же подъём, как от 100 до 1000. Значения при выборе точки остаются обычными целыми числами. Сам расчёт при смене шкалы не меняется.

Максимум учитывает исходное число. Если ввести 16, дальше будут только 8, 4, 2 и 1, но ответ «максимальное число» всё равно равен 16. Это отличается от максимума только среди новых результатов. Прежде чем сравнивать разные программы, согласуйте такое условие вместе с правилом подсчёта шагов.

Что утверждает гипотеза и чего не доказывает опыт

Гипотеза Коллатца утверждает, что повторение этих правил приведёт к 1 из любого положительного целого числа. Сформулировать её можно без специальной подготовки. Основная трудность скрыта в слове «любого»: натуральных чисел бесконечно много. Постановку и связи задачи рассматривает обзор Джеффри Лагариаса о проблеме 3x + 1.

Расчёт для 27 подтверждает только путь, начинающийся с 27. Проверка тысячи других стартов добавляет тысячу примеров, но сама по себе не охватывает оставшиеся числа. Чтобы получить общее доказательство, нужен аргумент для всего множества, а не просто более длинный список успешных запусков.

Обратная ошибка тоже встречается: долго растущий ряд принимают за опровержение. Однако у 27 значение поднимается до 9232 и затем всё-таки возвращается к 1. Большой пик или исчерпание времени вычисления не устанавливают, что путь будет расти вечно. Это повод продолжить исследование, а не объявить результат заранее.

Ограничения ввода и сравнение последовательностей

Начальное число вводится целиком, от 1 до 1 000 000 000 000 000. Дроби, отрицательные числа и запись вида 1e6 не подходят: вместо последней введите 1000000. Верхняя граница ограничивает работу браузера и не является математической границей гипотезы.

Для одного запуска предусмотрен предел 10 000 переходов. Если расчёт остановился на нём, показанная часть ряда ещё не означает достижения единицы. Все значения внутри вычисленной части сохраняются точно. При сравнении с другим инструментом проверяйте, не использует ли он сокращённое правило для нечётного числа и другой предел остановки.

У чисел Фибоначчи следующий член складывается из двух предыдущих. У Коллатца используется одно текущее число и выбор действия по чётности. Внешнее сходство длинных списков скрывает разные правила. Для предсказуемого умножения на один и тот же множитель подходит геометрическая прогрессия; переносить её формулу на цепочку Коллатца нельзя.

Вопросы о последовательности Коллатца

Расхождения между решениями часто возникают из-за области входных значений или разных соглашений о шаге. Проверка этих условий помогает отличить арифметическую ошибку от другой постановки задачи.

Почему нельзя начать с нуля?

При делении нуля на два снова получается ноль. Такой путь никогда не попадёт в 1, но он не опровергает гипотезу: та сформулирована для положительных целых чисел. Поэтому ноль здесь отклоняется до расчёта.

Что получится с отрицательными числами?

Те же действия можно формально продолжить на отрицательные целые, но это другая область задачи. Например, -1 превращается в -2, а затем снова в -1. Калькулятор ограничен положительными стартами, чтобы не смешивать эти циклы с исходной постановкой.

Почему в другом калькуляторе шагов меньше?

Иногда нечётный переход сразу объединяют с делением на два и применяют (3n + 1) / 2. Тогда из 3 сразу получается 5, а в полной цепочке между ними стоит 10. Оба способа обходят связанные значения, но число переходов у них разное. Здесь деление считается отдельным шагом.

Можно ли по длине ряда восстановить начальное число?

Однозначно нельзя. Например, 12 и 13 приходят к единице за девять шагов, хотя начинаются по-разному. Счётчик шагов является характеристикой пути, а не уникальным кодом стартового числа.

Что такое полное время остановки?

Так называют число переходов до первой единицы. Время здесь измеряется шагами, не секундами. В литературе отдельно рассматривают первый спуск ниже начального числа; это другой показатель. Для 6 первый спуск происходит сразу, но до 1 остаётся полный путь из восьми шагов.

Может ли после нечётного числа сразу идти нечётное?

По полному правилу нет. Если n нечётное, число 3n тоже нечётное, а после прибавления единицы становится чётным. Следующий переход обязательно будет делением на два. В сокращённой записи промежуточное чётное число иногда пропускают.

Почему последовательность называют сиракузской?

Это одно из альтернативных названий задачи, наряду с проблемой 3n + 1. Название не меняет правило, но в конкретном источнике нужно уточнять, оставляет ли автор все деления на два или записывает только нечётные члены.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.