Как найти число на нужном месте
Член арифметической прогрессии представляет собой число на определённом месте в последовательности с постоянным шагом. В ряду 3, 7, 11, 15 к каждому числу прибавляют 4. Восьмое число равно 31: от первого места до восьмого нужно сделать семь прибавлений. Калькулятор находит такое значение по первому числу, шагу и номеру.
Буквой a обозначают значение, а нижним индексом его место: a₁ означает первое число, a₈ восьмое. Номер и значение легко перепутать: в приведённом ряду номер равен 8, а само число равно 31. Номер всегда целый и положительный, тогда как значение может быть отрицательным, нулевым или дробным.
Постоянный шаг называют разностью прогрессии и обозначают d. Его находят, вычитая из следующего числа предыдущее. Для 3, 7, 11 получаются одинаковые разности 7 − 3 = 4 и 11 − 7 = 4. Если известен весь ряд, сравните разности всех соседних членов. Два совпавших перехода ещё не подтверждают правило для остальных.
Почему в формуле стоит n − 1
Первое число уже известно. Чтобы получить второе, прибавляем d один раз; чтобы получить третье, два раза. Между первым и n-м местом всегда на один промежуток меньше, чем мест. Поэтому формула нужного члена выглядит так:
Здесь a₁ задаёт начало, d величину каждого изменения, n номер искомого члена. При a₁ = 3, d = 4 и n = 8 получаем 3 + 7 × 4 = 31. Запись 3 + 8 × 4 дала бы 35, то есть уже девятое число. Это типичная ошибка: посчитать переход к первому месту, хотя мы уже на нём стоим.
Формула позволяет сразу перейти к далёкому номеру. Выписывать сотню промежуточных чисел не требуется. Но правило постоянного шага должно действовать на всём пути: если после десятого значения шаг изменился, одной подстановкой нельзя продолжить прежнюю прогрессию до двадцатого.
Начало и шаг вводите в одинаковых единицах. Если a₁ задано в метрах, d тоже должно быть в метрах. У номера n единиц длины или времени нет: он считает места. Разность может иметь любой знак. При положительной значения растут, при отрицательной уменьшаются, при нулевой все совпадают с первым.
Где нужен отдельный член прогрессии
В прикладной задаче сначала назовите одну запись последовательности: ряд кресел, остаток после операции, длину детали или показание. Тогда становится понятно, что считать первым членом и какое место занимает искомая величина.
Места в определённом ряду
В первом ряду небольшого зала 18 мест, каждый следующий длиннее на 3 места. Для двенадцатого ряда вводим a₁ = 18, d = 3, n = 12. Расчёт 18 + 11 × 3 даёт 51 место. Это вместимость одного ряда, поэтому заказывать по этому числу билеты на весь зал нельзя.
Для общей вместимости нужно сложить все ряды. Эту следующую задачу решает калькулятор суммы арифметической прогрессии. Если часть кресел снимают под проход, начальная модель описывает только ряды с тем же правилом прибавления.
Остаток после нескольких действий
В рулоне 120 м ленты. После каждого отреза её становится на 7 м меньше. Нужно узнать остаток после восьми отрезов. Если исходные 120 м считать первым членом, остаток после первого отреза будет вторым, а после восьмого девятым. Поэтому a₁ = 120, d = −7, n = 9 и результат равен 64 м.
Прямая проверка даёт то же: 120 − 8 × 7 = 64. Ввод n = 8 показал бы 71 м, остаток только после семи отрезов. Для физической задачи также проверяйте смысл ответа: отрицательная длина означает, что нужное количество целых отрезов из рулона получить нельзя.
Дробный шаг при изготовлении деталей
Первую декоративную рейку делают длиной 1,25 м, каждую следующую длиннее на 15 см. Переводим шаг в метры: d = 0,15. Для девятой рейки n = 9, поэтому 1,25 + 8 × 0,15 = 2,45 м. Можно считать и в сантиметрах: 125 + 8 × 15 = 245 см.
Обе записи описывают одну деталь. Ошибочная подстановка d = 15 рядом с первым значением 1,25 дала бы 121,25 м. Числа вычислены правильно, но единицы перепутаны. При подготовке размеров сначала выберите одну меру для всего ряда, а припуск на обработку учитывайте отдельно.
Переход через ноль
В учебной модели первое показание равно −11, а каждое следующее больше на 3. Восьмое показание равно −11 + 7 × 3 = 10. Проверочный ряд: −11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10. Отрицательное начало не мешает последовательности расти и стать положительной.
Обратите внимание: нуля в этом ряду нет. Числа перешли с −2 сразу к 1. Рост через ноль и наличие нулевого члена являются разными условиями. Если модель описывает отметки на шкале, между ними могут лежать значения, которые никогда не окажутся отдельными отметками.
Продолжение от известного промежуточного числа
Известно, что пятый член равен 17, а шаг равен 4. Нужно найти одиннадцатый. Между пятым и одиннадцатым местом шесть переходов, поэтому 17 + 6 × 4 = 41. Начинать отсчёт заново и делать десять переходов от 17 было бы ошибкой.
Для ввода через первый член восстановите начало: a₁ = 17 − 4 × 4 = 1. Теперь a₁ = 1, d = 4, n = 11 дают те же 41. В общем случае от известного aₖ до aₙ нужно прибавить (n − k)d. Разность индексов прямо считает пройденные промежутки.
Первое значение не ниже нужного
Числовой ряд начинается с 12 и растёт шагом 7. Нужно впервые получить не меньше 80. Десятый член равен 12 + 9 × 7 = 75, одиннадцатый равен 12 + 10 × 7 = 82. Ответом будет одиннадцатое место и значение 82. Ровно 80 последовательность не содержит.
Для положительного шага сначала вычисляют (80 − 12) / 7, затем число переходов округляют вверх и прибавляют единицу. Здесь получается десять переходов. Такое округление разрешено условием «не меньше». Если задача требует точного равенства 80, округлять найденный номер нельзя: равенство не выполнится.
Как проверить найденное значение
Самая быстрая проверка использует обратное действие. Вычтите начало из ответа и разделите на ненулевой шаг. Должно получиться n − 1. Для восьмого члена 31 из начального примера (31 − 3) / 4 = 7. Ещё можно найти соседнее число: оно должно отличаться ровно на d.
Сравните знак изменения с условием. При n больше 1 положительный шаг даёт число больше первого, отрицательный меньше, нулевой оставляет его прежним. При больших номерах ошибка в шаге накапливается: если ошибиться в d на 0,01, сотый член изменится на 99 × 0,01 = 0,99. Округляйте исходный шаг только настолько, насколько допускает задача.
Постоянная прибавка и постоянный процент дают разные ряды. Прибавление 10 к 100 даёт 100, 110, 120. Рост на 10% даёт 100, 110, 121: абсолютная прибавка меняется. Отличие полезно проверить до ввода по разбору арифметической и геометрической прогрессий.
Если в условии известны сумма, конец или количество вместо первого члена и шага, откройте общий калькулятор арифметической прогрессии. Он позволяет выбрать другой набор данных. Не подставляйте известную сумму в поле отдельного члена: эти величины описывают разные вещи.
Вопросы о номере и значении члена
Нумерация зависит от того, какое состояние объявили первым. А для восстановления неизвестных параметров важно не только количество известных чисел, но и их места в последовательности.
Как найти член, если нумерация начинается с нуля?
При известном a₀ формула принимает вид aₙ = a₀ + nd. Например, a₀ = 5 и d = 2 дают a₄ = 13. В калькуляторе отсчёт начинается с первого места: либо введите начало 5 и номер 5, либо найдите a₁ = 7 и оставьте номер 4. Оба способа дают 13.
Что получается при n = 1?
Первый член совпадает с введённым началом при любом известном шаге: множитель n − 1 равен нулю. Например, начало −7 и шаг 12 дают a₁ = −7. По одному этому значению нельзя восстановить шаг, потому что между членами ещё не было ни одного перехода.
Можно ли найти первый член по двум несоседним?
Да, если известны их номера. Пусть a₃ = 14, а a₈ = 39. Между ними пять переходов, поэтому d = (39 − 14) / 5 = 5. От третьего члена до первого два шага назад: a₁ = 14 − 2 × 5 = 4. Проверка: восьмой член равен 4 + 7 × 5 = 39.
Как найти средний из трёх последовательных членов?
Сложите крайние и разделите на 2. У трёх последовательных членов 8, x, 20 середина равна (8 + 20) / 2 = 14. Полученные разности 14 − 8 и 20 − 14 одинаковы и равны 6. Правило работает и для более далёких членов, если их номера равноудалены от искомого.
Каждый второй член тоже образует арифметическую прогрессию?
Да. Если брать первое, третье, пятое и следующие нечётные места, новый шаг равен 2d. Например, из 2, 5, 8, 11, 14 получится 2, 8, 14 с шагом 6. При выборе каждого третьего члена шаг станет 3d. Новый порядковый номер нужно отличать от номера в исходном ряду.
Может ли один и тот же член встретиться дважды?
При ненулевом шаге одинаковые значения на разных местах невозможны: ряд строго растёт или строго убывает. При d = 0 все члены одинаковы, и заданному значению соответствует любое допустимое место. Например, для начала 6 и нулевого шага и второй, и сотый члены равны 6.
Как записать последовательность в обратном порядке?
Для конечного списка возьмите последний член как новое начало и поменяйте знак шага. Ряд 4, 9, 14, 19 после разворота станет 19, 14, 9, 4. Новые параметры: a₁ = 19, d = −5 и n = 4. Числа сохраняются, но их места меняются.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор арифметической прогрессии. Выберите известные параметры и найдите член, разность, количество или сумму прогрессии.
- Калькулятор суммы арифметической прогрессии. Укажите начало, шаг и количество, чтобы сложить члены прогрессии.
- Калькулятор количества членов прогрессии. Введите начало, шаг и последнее значение, чтобы найти число членов.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Введите целые части, числители и знаменатели, чтобы получить решение.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.