Калькулятор арифметической прогрессии

Первый член a₁	3
Разность d	4
Количество n	8
Сумма Sₙ	136

Как рассчитать арифметическую прогрессию

Архитектор проверяет ряды кресел разной вместимости в зрительном зале

Арифметическая прогрессия является последовательностью, в которой к каждому члену прибавляют одну и ту же разность d. При положительном d значения растут равными шагами, при отрицательном уменьшаются, а при d = 0 остаются постоянными. Это простая модель для рядов кресел, ступенчатых планов, регулярного увеличения нагрузки и любых конечных наборов, где меняется не процент, а одинаковое количество.

Главная формула связывает первый член a₁, разность d, номер n и член aₙ:

\displaystyle a_n=a_1+(n-1)d

Сумма первых n членов находится через крайние значения:

\displaystyle S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)

Калькулятор решает формулы в обе стороны. Сначала выберите строку «Что известно», затем введите три величины из условия. Доступны семь однозначных наборов: a₁, d и n; a₁, aₙ и n; d, aₙ и n; a₁, d и aₙ; а также три набора с известной суммой Sₙ. Результат показывает найденный параметр, остальные величины и первые восемь членов для проверки.

Формулы и обозначения соответствуют стандартному определению конечной арифметической последовательности и её суммы, приведённому в учебнике OpenStax College Algebra. Номер n здесь всегда является натуральным числом: первого, второго или следующего члена с дробным номером не существует.

Как выбрать известные параметры

a₁, d и n. Это основной режим. Он подходит, когда известны начало последовательности, одинаковый шаг и количество членов. Калькулятор найдёт aₙ и Sₙ. Если в условии сказано «каждый следующий ряд на 4 места больше», число 4 является разностью d.

a₁, aₙ и n. Используйте этот набор, если известны оба края конечной последовательности и число членов. Разность равна (aₙ - a₁) / (n - 1), а сумма равна среднему крайних значений, умноженному на n.

d, aₙ и n. Этот режим восстанавливает начало по последнему члену: a₁ = aₙ - (n - 1)d. Он удобен, когда известны итоговый уровень и число одинаковых изменений до него.

a₁, d и aₙ. Калькулятор ищет количество членов. Ответ допустим только тогда, когда выражение (aₙ - a₁) / d + 1 даёт положительное целое число. Например, последовательность 4, 7, 10 не содержит число 11, поэтому для него натурального номера не будет.

Наборы с Sₙ. Если известны сумма, n и ещё одна величина, можно восстановить оба края и разность. При n = 1 сумма равна единственному члену, но разность по одному значению определить нельзя. Калькулятор не придумывает d и сообщает о неоднозначности.

Практические примеры

🎭 Ряды в зале. В первом ряду 18 кресел, в каждом следующем на 2 больше, всего 20 рядов. Введите a₁ = 18, d = 2 и n = 20. Последний ряд содержит 56 кресел, а общая вместимость равна 740 местам. Умножение 20 на простое среднее 37 даёт ту же сумму.

🏋️ Снижение повторов. Спортсмен начинает с 30 повторов и в каждом следующем подходе делает на 2 меньше. Для 10 подходов a₁ = 30, d = -2 и n = 10. Десятый подход содержит 12 повторов, всего получится 210. Отрицательная разность здесь не ошибка, а направление изменения.

💰 Ступенчатые накопления. В первый месяц откладывают 1000 рублей, затем ежемесячно увеличивают взнос на 500 рублей. За 12 месяцев последний взнос составит 6500 рублей, а общая сумма 45 000 рублей. Это арифметическая модель, потому что добавляется постоянная сумма, а не постоянный процент.

📚 Поиск шага. Первый результат равен 7, десятый равен 52. При a₁ = 7, aₙ = 52 и n = 10 калькулятор получает d = 5. Сумма десяти членов равна 295, а раскрывающийся список начинается так: 7; 12; 17; 22.

🪜 Поиск количества ступеней. Высоты условных отметок образуют ряд 4, 7, 10 и далее до 31. Для a₁ = 4, d = 3 и aₙ = 31 получается n = 10 и Sₙ = 175. Если заменить последний член на 32, калькулятор сообщит, что он не попадает в эту прогрессию.

🧾 Восстановление по сумме. Известно, что a₁ = 5, n = 8 и Sₙ = 124. Среднее значение равно 124 / 8 = 15,5, поэтому aₙ = 2 × 15,5 - 5 = 26. Разность составляет (26 - 5) / 7 = 3, и последовательность начинается с 5, 8, 11, 14.

Как проверить ответ и избежать ошибок

После расчёта раскройте первые члены. У арифметической прогрессии разность любой соседней пары должна совпадать: a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = d. Если знаки или десятичные дроби введены неправильно, ошибка обычно становится заметна уже на первых трёх значениях.

Сумму удобно проверять попарно. Первый и последний члены дают a₁ + aₙ, второй и предпоследний дают ту же величину. Поэтому среднее арифметическое крайних значений можно умножить на число членов. Для 20 рядов от 18 до 56 среднее равно 37, а 37 × 20 = 740.

Не путайте арифметическую прогрессию с геометрической прогрессией. При одинаковой прибавке используется d; при одинаковом множителе используется q. Ряд 3, 6, 9, 12 является арифметическим с d = 3. Ряд 3, 6, 12, 24 является геометрическим с q = 2.

Частный ряд 2, 4, 6 и далее лежит в основе калькулятора суммы чётных чисел. Последовательность чисел Фибоначчи, напротив, не является арифметической: новый член получается сложением двух предыдущих, а разность постоянно меняется.

Вопросы об арифметической прогрессии

Короткие ответы поясняют обозначения, отрицательный шаг, поиск количества членов и случаи, когда данных недостаточно.

Что такое разность арифметической прогрессии?

Разность d является постоянным числом, которое прибавляют к предыдущему члену. Её можно найти как a₂ - a₁ или как (aₙ - a₁) / (n - 1), если известны крайние члены и их количество.

Может ли разность d быть отрицательной или нулевой?

Да. При отрицательном d последовательность убывает, при d = 0 все её члены равны a₁. Нулевой шаг не позволяет определить n только по одинаковым a₁ и aₙ, потому что подходящих номеров бесконечно много.

Как найти n-й член арифметической прогрессии?

Используйте формулу aₙ = a₁ + (n - 1)d. Из номера вычитают единицу, потому что от первого до n-го члена выполняется n - 1 переходов.

Как найти сумму первых n членов?

Умножьте количество членов на среднее первого и последнего: Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2. Если последний член неизвестен, сначала найдите его по a₁, d и n.

Почему количество n должно быть целым?

Номер обозначает место члена в дискретной последовательности. Между пятым и шестым членом нет члена с номером 5,5, поэтому допустимы только натуральные n.

Можно ли определить прогрессию по двум числам?

Два соседних члена задают разность, но для суммы нужен ещё номер последнего члена или количество элементов. Если номера двух известных членов не указаны, одна и та же пара может относиться к разным участкам последовательности.

Что означает Sₙ?

Sₙ является суммой первых n членов: a₁ + a₂ + ... + aₙ. Это не отдельный член прогрессии, а итог сложения конечного отрезка последовательности.

Почему калькулятор пишет, что aₙ не попадает в прогрессию?

При известных a₁ и d последний член должен достигаться за целое неотрицательное число шагов. Если (aₙ - a₁) / d + 1 не является натуральным числом, такого номера n нет.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.