Калькулятор разности арифметической прогрессии

Сумма первых n членов	136

Разность показывает изменение за один шаг

Человек сравнивает одинаковые блоки, добавляемые к растущим башенкам

Разность арифметической прогрессии показывает, сколько прибавляют к каждому числу, чтобы получить следующее. У ряда 3, 7, 11, 15 разность равна 4. Если известны только первый член, последний член и количество чисел, нужно общее изменение разделить на количество промежутков между ними.

Слово «член» здесь означает одно число на своём месте в последовательности. Четвёртый член ряда 3, 7, 11, 15 равен 15: четыре обозначает его номер, пятнадцать его значение. Разность обычно записывают буквой d. Она может быть положительной, отрицательной или нулевой, а сами числа могут быть целыми и дробными.

Калькулятор восстанавливает постоянный шаг по двум крайним значениям и числу членов между ними включительно. Это полезно, когда нужно заполнить пропуски в учебном ряду, равномерно расставить отметки или узнать прибавку между соседними рядами мест. При этом условие постоянного шага должно быть задано: по одним концам произвольного списка его внутреннее устройство не определить.

Почему в формуле стоит n − 1

Между четырьмя числами только три перехода: от первого ко второму, от второго к третьему и от третьего к четвёртому. Представьте четыре фонарных столба. Промежутков между ними три, сколько бы ни хотелось поделить длину на четыре. Та же ошибка возникает при подсчёте делений на линейке.

Если первый член обозначить a₁, последний aₙ, а количество членов n, разность находится так:

d=\frac{a_n-a_1}{n-1}

Числитель показывает полное изменение от начала до конца. Знаменатель показывает, на сколько одинаковых шагов оно приходится. Например, от 3 до 31 за восемь членов нужно пройти семь промежутков. Поэтому d = (31 − 3) / (8 − 1) = 28 / 7 = 4. После семи прибавлений четвёрки к тройке получится 31.

Формула работает при n больше 1. Если член всего один, промежутков нет, а разность узнать нельзя. Последовательности, начинающиеся с 7, могут дальше идти как 7, 9, 11 или как 7, 4, 1. Единственное известное число подходит обеим, хотя шаги разные.

При одинаковых концах и нескольких членах шаг равен нулю. При разных концах знак ответа показывает направление: положительный d ведёт вверх по числовой прямой, отрицательный вниз. Брать модуль разницы между крайними числами нельзя, иначе убывающий ряд превратится в возрастающий.

Как найти шаг в разных задачах

Перед вводом решите, что считается одним членом: отметка, ряд кресел, длина детали или значение шкалы. Все значения должны быть в одной единице. Количество включает оба конца, если первый и последний элементы входят в задачу.

Места в рядах небольшого зала

В первом ряду 12 мест, в девятом 36, а каждый следующий ряд длиннее предыдущего на одинаковое число мест. Между первым и девятым рядами восемь переходов. Получаем d = (36 − 12) / 8 = 3 места. Значит, ряды начинаются с 12, 15, 18, 21 места и заканчиваются 36.

Проверка: 12 + 8 × 3 = 36. Здесь целочисленность имеет практический смысл: половину кресла добавить нельзя. Если расчёт дал бы дробный шаг, пришлось бы менять исходные условия или отказаться от одинаковой прибавки. Формула сама по себе не превращает дробное количество предметов в допустимое.

Убывающие длины деталей

Для макета нужны шесть планок: первая длиной 30 см, шестая 10 см, разница соседних длин постоянная. d = (10 − 30) / 5 = −4 см. Получается ряд 30, 26, 22, 18, 14, 10 см. Минус означает, что каждая следующая планка короче на четыре сантиметра.

Если записать только 4, это будет величина уменьшения, но не разность самой последовательности. При вводе данных в другой расчёт знак нужно сохранить. И ещё: такой ряд задаёт длины готовых деталей, поэтому расход материала с учётом пропила рассчитывается отдельно.

Дробные отметки шкалы

На шкале нужно поставить шесть равномерных подписанных отметок от 1,2 до 3,7. Общая разница равна 2,5, промежутков пять. d = 2,5 / 5 = 0,5. Подписи будут 1,2; 1,7; 2,2; 2,7; 3,2; 3,7. Дробное начало не мешает получить простой десятичный шаг.

Если меру изменить, шаг изменится вместе с ней. При переходе от метров к сантиметрам значения и d умножаются на 100, количество отметок сохраняется. Поэтому перед расчётом 1,2 м и 370 см сначала нужно привести к одной единице, иначе красивый ответ будет относиться к бессмысленному набору чисел.

Ряд, который проходит через ноль

Первый член равен −8, седьмой равен 10. Полное изменение равно 10 − (−8) = 18. Делим на шесть промежутков и получаем d = 3. Ряд выглядит так: −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10. При переходе через ноль правило прибавления не меняется.

Сам ноль в этот ряд не попал: после −2 сразу идёт 1. Нахождение между крайними значениями ещё не делает число членом прогрессии. Чтобы проверить конкретное значение, нужен расчёт его номера в прогрессии, причём номер должен получиться целым.

Одинаковые значения на всём участке

Первый и пятый уровни равны 18, а последовательность по условию арифметическая. d = (18 − 18) / 4 = 0. Все пять значений равны 18. Нулевая разность является нормальным результатом: на каждом переходе прибавляется ноль.

Такой вывод разрешён именно условием о постоянном шаге. Произвольный ряд 18, 20, 12, 19, 18 тоже начинается и заканчивается одинаково, но не является арифметической прогрессией. Крайние измерения реального процесса не доказывают, что между ними ничего не менялось.

Известны четвёртый и одиннадцатый члены

В задаче даны a₄ = 17 и a₁₁ = 45. Между ними 11 − 4 = 7 переходов, поэтому d = (45 − 17) / 7 = 4. Для расчёта через крайние значения можно взять этот участок как отдельную прогрессию: первый член 17, последний 45, количество 11 − 4 + 1 = 8.

Исходный первый член находится обратным движением: от четвёртого до первого три шага, значит, a₁ = 17 − 3 × 4 = 5. Проверка одиннадцатого: 5 + 10 × 4 = 45. Не вводите число 11 как длину участка от четвёртого до одиннадцатого: в нём восемь членов.

Как проверить найденную разность

Подставьте результат в формулу последнего члена. Нужно получить исходный конец ряда:

a_n=a_1+(n-1)d

Если известны промежуточные члены, проверьте и их. Для каждого соседнего перехода должно получаться одно и то же d. Совпадение только крайних значений подтверждает решение при заданном условии прогрессии, но не проверяет неизвестные промежуточные данные.

При фиксированных концах большее число членов означает меньший по модулю шаг. Между 0 и 12 четыре члена дают d = 4, а семь членов дают d = 2. Вы добавили точки внутри того же отрезка, поэтому расстояние между соседними точками сократилось. Чтобы восстановить весь ряд или его сумму по другим данным, используйте общий калькулятор арифметической прогрессии.

Округляйте окончательный ответ, а промежуточный шаг по возможности сохраняйте точным. Если d равно 1/3, три шага дают ровно 1. Замена шага на 0,33 даст 0,99. Калькулятор показывает до восьми десятичных знаков, поэтому последний видимый знак не следует считать точным измерением реального объекта.

Вопросы о разности прогрессии

Разность можно восстановить и по другим сведениям: соседним членам, их номерам или сумме. Главное, чтобы данных хватало и каждое число означало именно тот параметр, который нужен формуле.

Как найти разность по двум соседним членам?

Вычтите предыдущий член из следующего: d = a₂ − a₁. Если подряд идут 9 и 5, разность равна −4. Порядок важен: обратное вычитание даст шаг движения в противоположную сторону.

Как записать формулу для двух произвольных членов?

Если известны aₖ и aₘ, причём m больше k, используйте d = (aₘ − aₖ) / (m − k). Разность номеров считает переходы между выбранными членами. Между a₂ и a₆ четыре перехода, хотя сам участок содержит пять чисел.

Можно ли найти разность по сумме и количеству членов?

Без дополнительных данных нельзя. Ряды 1, 2, 3 и 0, 2, 4 имеют по три члена и сумму 6, но разности равны 1 и 2. Если дополнительно известен первый член, сначала найдите последний: aₙ = 2Sₙ / n − a₁, затем разность при n больше 1.

Что будет с разностью, если прибавить одно число ко всем членам?

Она сохранится. После прибавления 10 ряд 2, 5, 8 превратится в 12, 15, 18; в обоих случаях d = 3. Одинаковое смещение всех значений меняет начало последовательности, но не расстояния между соседями.

Что будет, если умножить все члены на отрицательное число?

Разность умножится на то же число. У ряда 1, 4, 7 шаг равен 3. После умножения на −2 получится −2, −8, −14 с шагом −6. Направление изменения при этом поменяется на противоположное.

Как вставить между двумя числами несколько членов прогрессии?

Если между концами нужно вставить k новых чисел, всего получится k + 2 члена и k + 1 промежуток. Между 2 и 14 для трёх вставленных чисел шаг равен (14 − 2) / 4 = 3. Получится 2, 5, 8, 11, 14.

Постоянный процент роста задаёт постоянную разность?

Обычно нет: одинаковый процент берётся от меняющейся основы. После двух увеличений числа 100 на 10% получатся 110 и 121, а прибавки составят 10 и 11. Арифметическая прогрессия требует одной и той же прибавки в единицах, например каждый раз плюс 10.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.