Совершенное, избыточное или недостаточное число

Сумма собственных делителей	28
Разница с числом n	0

Как сумма собственных делителей описывает число

Центральная геометрическая масса уравновешена меньшими делителями на чашах весов

Собственные делители натурального n делят его без остатка, но само n в этот набор не входит. Для 12 получаем 1, 2, 3, 4 и 6. Их сумма равна 16, что больше 12. Поэтому число 12 называют избыточным. Классификация строится на одном сравнении, но показывает, насколько «вес» всех меньших делителей соотносится с самим числом.

Если сумма равна n, число совершенное. Если сумма больше n, число избыточное. Если сумма меньше n, число недостаточное. Сама сумма обозначается s(n). Она связана с обычной функцией суммы всех положительных делителей σ(n): достаточно вычесть само n.

\displaystyle s(n)=\sum_{\substack{d\mid n\\d<n}}d=\sigma(n)-n

В справочнике NIST DLMF, раздел 27.2 функция σ задана как сумма степеней делителей. При степени 1 это обычная сумма делителей. Калькулятор сразу собирает только собственные делители, поэтому отдельно вычитать n из видимого списка не нужно.

Как найти делители без перебора до n

Делители образуют пары. Если d делит n, то n / d тоже делит n. Для 28 пары такие: 1 и 28, 2 и 14, 4 и 7. Само 28 исключается, остаются 1, 2, 4, 7 и 14. Их сумма равна 28. Найдя меньшую сторону каждой пары, калькулятор сразу получает большую.

Перебор идёт, пока d не станет больше n / d. После этой точки начинаются зеркальные пары, которые уже учтены. У полного квадра центральная пара совпадает. Например, у 36 делитель 6 нельзя добавлять дважды. В худшем случае для 10¹² достаточно проверить кандидаты до 10⁶.

У числа 1 нет положительных делителей, меньших его. Поэтому список пуст, его сумма равна 0, а разница s(1) - 1 равна −1. Единица получает вердикт «недостаточное». Это важный граничный случай, который нельзя подменять списком из одной единицы.

Примеры совершенных, избыточных и недостаточных чисел

▫️ Единица 1. Собственных делителей нет, пустая сумма равна 0. Поскольку 0 < 1, число недостаточное. Этот пример проверяет, что калькулятор не включает само n в сумму.

⚖️ Число 6. Собственные делители 1, 2 и 3 дают 1 + 2 + 3 = 6. Сумма равна исходному числу, поэтому 6 совершенное. Разница равна 0, и чаши арифметических «весов» совпадают.

📝 Число 8. Собственные делители 1, 2 и 4 складываются в 7. Не хватает одной единицы, поэтому разница равна −1, а 8 недостаточное. Знак минус в деталях показывает, насколько сумма меньше n.

📦 Число 12. Делители 1, 2, 3, 4 и 6 дают сумму 16. Она превышает 12 на 4, значит, число избыточное. Это наименьшее избыточное число, на котором удобно проверить положительную разницу.

🎯 Число 28. Список 1, 2, 4, 7 и 14 даёт ровно 28. Это второе совершенное число после 6. Пример проверяет сразу несколько пар делителей и точное равенство суммы исходному n.

🧪 Число 20. Собственные делители 1, 2, 4, 5 и 10 складываются в 22. Число избыточное с разницей +2. Сравнение с 12 показывает, что класс не задаёт одну фиксированную величину избытка.

Как интерпретировать разницу

Разница s(n) - n даёт не только класс, но и расстояние до равенства. Ноль означает совершенное число. Положительная разница показывает избыток, отрицательная дефицит. Сравнивать разницы между числами разного масштаба нужно осторожно: разница 10 для n = 12 и для n = 1 000 означает разную относительную долю.

Любое простое число p недостаточное, потому что его единственный собственный положительный делитель равен 1. Для p > 2 разница равна 1 - p. Это полезная быстрая проверка. Если нужен прямой ответ «простое или составное», а не классификация по сумме, подходит калькулятор простых чисел.

Полный список положительных делителей включает само n и поэтому даёт σ(n), а не s(n). Чтобы перейти от одной суммы к другой, достаточно вычесть n. Другой связанный показатель, функция Эйлера, считает не делители, а положительные числа, взаимно простые с n.

Границы и типичные ошибки

Калькулятор принимает натуральные числа от 1 до 1 000 000 000 000. Ноль, минус и дробная часть отклоняются. Все делители и сумма хранятся как целые числа, так что округления нет. Разрядные пробелы в поле помогают читать большое n и не меняют его значение.

Частая ошибка при ручном счёте состоит в том, чтобы добавить само n. Тогда сумма увеличивается ровно на n, и недостаточное число может превратиться в ложно избыточное. Вторая ошибка возникает на полном квадрате, когда квадратный корень добавляют дважды. Калькулятор исключает оба дубля.

Вопросы о совершенных и соседних классах чисел

Ответы разделяют полные и собственные списки делителей, объясняют граничные случаи и показывают, как быстро проверить класс числа без повторного перебора.

Что такое собственный делитель?

Это положительный делитель числа, который меньше самого числа. Для 12 собственные делители равны 1, 2, 3, 4 и 6; само 12 исключается.

Почему число 1 недостаточное?

У 1 нет положительных делителей меньше 1. Пустая сумма равна 0, а 0 меньше 1, поэтому классификация однозначна.

Все ли простые числа недостаточные?

Да. У простого p единственный собственный положительный делитель равен 1. Для любого p > 1 выполняется 1 < p.

Чем s(n) отличается от σ(n)?

Функция σ(n) складывает все положительные делители, включая n. Функция s(n) исключает n, поэтому s(n) = σ(n) - n.

Может ли число быть одновременно совершенным и избыточным?

Нет. Три класса заданы взаимоисключающими условиями s(n) = n, s(n) > n и s(n) < n. Для одной и той же суммы выполняется ровно одно из них.

Является ли каждое кратное совершенного числа совершенным?

Нет. Например, 6 совершенное, а его удвоение 12 избыточное: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, что больше 12.

Можно ли классифицировать отрицательное число?

В стандартной классификации совершенных, избыточных и недостаточных чисел n должно быть натуральным. Калькулятор поэтому не принимает минус.

Как проверить вердикт вручную?

Выпишите все пары делителей до квадратного корня, уберите само n и сложите оставшиеся числа. Сравните сумму с n; знак разности даст нужный класс.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.