Делители числа

Исходное n	360
Сумма делителей	1 170

Какие числа являются делителями n

Одинаковые плитки образуют несколько прямоугольных раскладок

Положительный делитель натурального числа n делит его без остатка. Для 12 такими числами будут 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Калькулятор выводит полный список по возрастанию, считает его длину τ(n) и складывает все элементы в точную сумму σ(n). Если делитель не подходит точно, калькулятор деления с остатком покажет целое частное и оставшуюся часть. Единица и само число входят в список всегда.

Количество делителей можно записать как сумму единиц по всем делителям:

\displaystyle \tau(n)=d(n)=\sum_{q\mid n}1

Здесь q пробегает все положительные делители n. В справочнике NIST Digital Library of Mathematical Functions, раздел 27.2 эта функция обозначена d(n). На русскоязычных страницах часто используют τ(n), чтобы не путать название функции с отдельным делителем.

Сумма делителей учитывает те же числа, но вместо единиц складывает сами значения:

\displaystyle \sigma(n)=\sum_{q\mid n}q

Для 12 получаем τ(12) = 6 и σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Эти показатели отвечают на разные вопросы: τ сообщает, сколько существует вариантов деления без остатка, а σ показывает общий размер всех делителей.

Как калькулятор находит пары делителей

Каждому делителю q соответствует парный делитель n / q. У числа 36 пары выглядят так: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6. Поэтому достаточно проверять кандидатов, пока q не станет больше n / q. Всё, что находится выше квадратного корня, уже появилось как вторая половина пары.

Для полного квадрата центральная пара совпадает. Число 49 делится на 7, а 49 / 7 тоже равно 7. Калькулятор добавляет семёрку один раз, поэтому список равен 1, 7, 49, а τ(49) = 3. Дублирование квадратного корня дало бы неверные количество и сумму.

После перебора меньшие и большие элементы объединяются и сортируются. Сумма складывается как целое число произвольной длины, поэтому большие значения не теряют последние цифры из-за округления. Верхняя граница ввода равна 1 000 000 000 000. В худшем случае проверяется не более миллиона кандидатов, поскольку квадратный корень из 10¹² равен 10⁶.

Примеры, по которым легко проверить результат

🧱 Одна плитка. Число 1 имеет единственный положительный делитель 1. Поэтому τ(1) = 1 и σ(1) = 1. Это особый случай: у единицы нет пары из двух разных множителей.

🔹 Простое число 13. Оно делится только на 1 и 13. Получаем τ(13) = 2 и σ(13) = 14. Если у натурального числа больше единицы найдено ровно два делителя, оно является простым.

📦 Двенадцать предметов. Список 1, 2, 3, 4, 6, 12 показывает все размеры одинаковых групп без остатка. Например, 12 предметов можно разложить по 3 в четыре группы или по 4 в три группы. Количество делителей равно 6, сумма равна 28.

◻️ Квадрат 36. Делители равны 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36. Их девять, а сумма составляет 91. Число делителей нечётное, потому что центральный делитель 6 не получает отдельного близнеца.

🗂 Число 360. У него 24 положительных делителя, а их сумма равна 1 170. Большое количество вариантов удобно при подборе прямоугольной сетки, числа одинаковых пакетов или шага, который должен делить общий объём без остатка.

🧪 Число 49. Калькулятор вернёт 1, 7 и 49. Получаем τ(49) = 3 и σ(49) = 57. Этот пример быстро обнаруживает ошибку, при которой квадратный корень добавили дважды.

Что можно понять по количеству и сумме

Два делителя означают простое число, но только если n больше 1. Три делителя бывают у квадрата простого числа: например, у 49 список состоит из 1, 7 и 49. Нечётное значение τ(n) вообще возможно только у полного квадрата. Все остальные делители разбиваются на разные пары, поэтому их количество чётное. Количество чисел, взаимно простых с n, рассчитывает отдельная функция Эйлера φ(n).

Сумма σ(n) помогает классифицировать число по собственным делителям, то есть по всем делителям кроме n. Если σ(n) - n равно n, число называют совершенным. Для 6 сумма всех делителей равна 12, а собственные делители 1, 2 и 3 дают ровно 6. Если собственная сумма меньше числа, оно недостаточное, если больше, избыточное. Например, 12 избыточно: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Список полезен и для разложения. Если найден делитель между 1 и n, число составное. Но полный список не заменяет разложение на простые множители: у 360 есть 24 делителя, а его простая факторизация короче, 2³ × 3² × 5. Связанные произведения простых чисел можно изучить в калькуляторе праймориала.

Границы и типичные ошибки ввода

Калькулятор принимает натуральные числа от 1 до 1 000 000 000 000. Ноль не входит в область: каждое ненулевое целое делит 0, поэтому конечного списка положительных делителей у него нет. Дроби тоже не подходят, так как τ(n) и σ(n) здесь определены для натурального целого аргумента.

Отрицательный знак форма не принимает. Для отрицательного целого числа можно изучать делители его модуля и затем добавлять отрицательные пары, но этот инструмент показывает только стандартный список положительных делителей. Разрядные пробелы служат оформлением: значение 1 000 читается как одна тысяча, а не как несколько чисел.

Вопросы о делителях числа

Ответы уточняют пограничные значения, связь с простыми числами и свойства пар, которые помогают проверить список без повторного полного перебора.

Является ли 1 делителем любого натурального числа?

Да. Для любого натурального n выполняется n ÷ 1 = n без остатка, поэтому единица всегда стоит первой в списке положительных делителей.

Почему само число тоже входит в список?

Любое натуральное n делится на себя с частным 1. Поэтому последний положительный делитель всегда равен n.

Сколько делителей у простого числа?

Ровно два: 1 и само число. Единица не является простым числом, потому что у неё только один положительный делитель.

Почему у полного квадрата нечётное количество делителей?

Все делители обычно образуют разные пары q и n / q. У полного квадрата одна пара совпадает в квадратном корне, поэтому центральный элемент остаётся без второго отдельного элемента.

Что такое собственные делители?

Это положительные делители числа без самого числа. У 12 собственные делители равны 1, 2, 3, 4 и 6, их сумма составляет 16.

Чему равна сумма делителей простого числа p?

Она равна p + 1, потому что положительных делителей только два: 1 и p. Например, σ(13) = 14.

Есть ли конечный список делителей у нуля?

Нет. Любое ненулевое целое число делит 0 без остатка, поэтому положительных делителей бесконечно много. Калькулятор начинает диапазон с 1.

Можно ли найти отрицательные делители?

У каждого положительного делителя целого числа есть отрицательная пара. Этот калькулятор следует стандартному определению функций τ(n) и σ(n) и выводит только положительные делители натурального n.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.