Сравнение дробей

Как сравнить две дроби крест-накрест

Для дробей a/b и c/d с положительными знаменателями сравните два целых произведения: a × d и c × b. Если первое произведение больше, то больше первая дробь; если меньше, больше вторая; равные произведения означают равные дроби. Например, для 3/4 и 2/3 получаем 3 × 3 = 9 и 2 × 4 = 8, поэтому 3/4 > 2/3.

a/b ? c/d → сравнить a × d и c × b

Переход к десятичным числам не нужен. Это особенно важно для дробей с бесконечной периодической записью и для целых чисел длиннее безопасного диапазона JavaScript. Калькулятор хранит поля строками, переводит их в BigInt и сравнивает точные перекрёстные произведения.

Знаменатели должны быть положительными. Тогда их произведение тоже положительно, а умножение обеих частей сравнения на b × d не переворачивает знак неравенства. Нулевой знаменатель запрещён, потому что деление на ноль не задаёт дробь.

Почему перекрёстное умножение работает

Дробь a/b можно привести к знаменателю b × d, умножив её числитель и знаменатель на d. Получается a × d / b × d. Вторая дробь превращается в c × b / d × b. Знаменатели становятся одинаковыми, поэтому остаётся сравнить числители a × d и c × b.

Метод сохраняет точность и для отрицательных числителей. Отрицательная дробь всегда меньше положительной, что сразу проявляется в произведениях. Если обе дроби отрицательные, больше та, чей модуль меньше. Например, −2/3 больше −3/4, потому что −2 × 4 = −8, а −3 × 3 = −9.

Равенство произведений показывает эквивалентные дроби, даже если они записаны разными числами. Для 1/2 и 2/4 обе проверки дают 4. Сокращать дроби перед сравнением полезно для чтения, но математически не обязательно.

Учебный курс OpenStax Prealgebra 2e объясняет эквивалентные дроби через умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Перекрёстная проверка использует то же свойство и приводит обе записи к общему знаменателю. Для сложения, вычитания, умножения и деления предназначен отдельный калькулятор действий с дробями; эта страница отвечает только на вопрос «какая больше».

Как читать знак на практических примерах

🥛 Три четверти и две трети стакана. Перекрёстные произведения равны 9 и 8. Значит, 3/4 > 2/3. Разница невелика, но первая порция всё равно больше, и округление обеих до 0,7 могло бы скрыть это.

📐 Одна вторая и две четверти. Получаем 1 × 4 = 4 и 2 × 2 = 4. Поэтому 1/2 = 2/4. Количество долей различается, но обе записи занимают одну и ту же точку на числовой прямой.

🌡️ Минус одна вторая и одна третья. Произведения равны −3 и 2. Отрицательное число меньше положительного, поэтому −1/2 < 1/3. Здесь не нужно оценивать модули: знак уже определяет порядок.

🍰 Пять шестых и четыре пятых. Слева получается 25, справа 24. Значит, 5/6 > 4/5. Дроби близки, и сравнение «на глаз» легко подменяет точный результат ощущением от числителей.

📦 Ноль с разными знаменателями. Для 0/7 и 0/3 оба перекрёстных произведения равны нулю. Получаем 0/7 = 0/3. Знаменатель показывает размер доли, но ноль взятых долей всё равно остаётся нулём.

🔬 Дроби за пределами обычного числа. Сравним 10000000000000000001/2 и 5000000000000000000/1. Произведения равны 10000000000000000001 и 10000000000000000000. Первое больше всего на единицу, поэтому первая дробь больше. Обычное десятичное округление могло бы стереть эту разницу.

Когда можно сравнить дроби ещё быстрее

При одинаковых положительных знаменателях достаточно сравнить числители. Например, 7/11 > 5/11. При одинаковых положительных числителях среди положительных дробей больше та, у которой знаменатель меньше: 3/4 > 3/5. Перекрёстный метод всё равно даст тот же ответ и удобен как универсальная проверка.

Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби. Для 2 1/3 числитель равен 2 × 3 + 1 = 7, поэтому запись становится 7/3. Знаменатель при таком преобразовании сохраняется. Обратное правило и проверка объяснены на странице преобразования неправильной дроби.

Десятичная форма удобна, когда рядом находятся измерения вроде 0,75 литра, но она может потребовать округления. Если нужен именно такой формат, используйте перевод дроби в десятичное число. Для точного сравнения обыкновенных дробей оставляйте целые числители и знаменатели.

Каждое поле принимает до 60 цифр, поэтому произведение может содержать до 120 цифр. BigInt сохраняет их без округления. Ограничение длины защищает форму от случайной вставки огромного текста, но не меняет математический метод.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

• Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
• Неправильная дробь в смешанное число. Введите целые числитель и положительный знаменатель. Калькулятор выделит целую часть и сократит дробный остаток.
• Возведение дроби в степень. Возведите онлайн любую дробь (десятичную и обыкновенную) в любую степень.
• Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
• Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
• Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
• Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
• Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
• Калькулятор сложного процента. Рассчитайте на инвесткалькуляторе сумму, полученную в результате применения сложного процента с реинвестированием, регулярным пополнением, капитализацией и с примерами.
• Инженерный калькулятор. Посчитайте сложные примеры на продвинутом калькуляторе.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.