Что показывает математическое ожидание
Математическое ожидание проще понимать как средний итог множества одинаковых попыток. Оно не обещает, что такой результат выпадет в следующий раз, и даже может быть числом, которое нельзя получить за одну попытку.
Например, в игре с шансом 50% дают 10 очков, а иначе 0. Примерно за 100 игр получится 50 выигрышей и 500 очков, в среднем по 5 очков за игру. Хотя ровно 5 очков не выпадает никогда, математическое ожидание равно 5. Чтобы посчитать его онлайн, внесите каждый возможный результат и его вероятность в отдельную строку.
В расчёте вероятность работает как вес результата. Калькулятор умножает каждый возможный исход на его вероятность и складывает полученные части: чем чаще ожидается исход, тем сильнее он влияет на общий ответ.
Здесь xᵢ обозначает числовое значение исхода, pᵢ его вероятность, а сумма всех pᵢ должна быть равна 1, или 100%. В каждой строке калькулятора укажите один исход и его вероятность. Если вариантов больше, добавьте нужное количество строк.
Вероятность можно записать долей 0,4, процентом 40%, целым числом 40 или простой дробью 2/5. Все четыре записи означают одно и то же. Числа от 0 до 1 калькулятор читает как доли, а числа больше 1 и до 100 читает как проценты.
Какие строки образуют корректное распределение
Каждая строка должна описывать один возможный числовой результат. События должны быть взаимно исключающими: за одну попытку происходит ровно один из перечисленных исходов. Вместе строки должны покрывать все варианты, поэтому вероятности складываются в 100%.
OpenStax формулирует два условия дискретного распределения: каждая вероятность находится между 0 и 1 включительно, а их сумма равна 1. Калькулятор проверяет оба условия и не нормализует ошибочную сумму автоматически.
Нулевую вероятность вводить можно: такая строка не влияет на результат. Одинаковое значение исхода тоже может встречаться несколько раз. Например, 10 с вероятностями 20% и 30% равносильно одной строке 10 с вероятностью 50%. Объединение делает список короче, но не меняет E(X).
Отрицательные исходы нужны для убытков, штрафов и потерь. Если билет стоит 100 рублей, проигрыш удобно записать как −100, а не как 0. Иначе расчёт покажет ожидаемую выплату, но не ожидаемый чистый результат.
Дисперсия и стандартное отклонение
Одного среднего недостаточно, чтобы описать неопределённость. Калькулятор дополнительно находит дисперсию и стандартное отклонение. Сначала из каждого исхода вычитается математическое ожидание, затем разность возводится в квадрат и умножается на вероятность:
Дисперсия измеряется в квадрате исходной единицы. Если исходы указаны в рублях, единица дисперсии формально равна рублям в квадрате. Стандартное отклонение возвращается к рублям и поэтому проще для содержательного сравнения разброса.
Формулы математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения приведены в курсе OpenStax о дискретных случайных величинах. Здесь используется дисперсия заданного распределения. Делить сумму квадратов на n − 1, как в оценке выборочной дисперсии, не нужно.
Примеры расчёта математического ожидания
Три денежных исхода. Возможны −100 рублей с вероятностью 40%, 0 с вероятностью 30% и 200 рублей с вероятностью 30%. Получаем E(X) = −100 × 0,4 + 0 × 0,3 + 200 × 0,3 = 20 рублей. Дисперсия равна 15 600, стандартное отклонение примерно 124,9 рубля.
Честный шестигранный кубик. Исходы равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, вероятность каждого можно записать как 1/6. Их сумма равна 1, E(X) = 3,5, дисперсия равна 35/12, или примерно 2,9167, а стандартное отклонение примерно 1,7078.
Два результата. Значение 10 наступает с вероятностью 25%, значение 20 с вероятностью 75%. Математическое ожидание равно 10 × 0,25 + 20 × 0,75 = 17,5. Дисперсия равна 18,75, стандартное отклонение примерно 4,3301.
Редкий крупный результат. Ноль имеет вероятность 99%, а 100 вероятность 1%. E(X) равно 1, хотя исхода 1 в списке нет. Дисперсия равна 99, стандартное отклонение примерно 9,9499. Этот пример показывает, почему слово «ожидаемое» нельзя читать как прогноз одной попытки.
Одинаковое среднее, разный риск. У величины A исходы −1 и 1 равновероятны, поэтому E(A) = 0 и σ = 1. У величины B равновероятны −100 и 100: E(B) тоже равно 0, но σ = 100. Средние совпали, но возможный размах последствий различается.
Достоверный исход. Если значение 42 имеет вероятность 100%, то E(X) = 42, а дисперсия и стандартное отклонение равны нулю. Неопределённости в таком распределении нет.
Неполный список вероятностей. Для вероятностей 50% и 40% сумма равна 90%. Калькулятор приостановит основной расчёт и спокойно покажет текущую сумму: так видно, что не хватает исхода с вероятностью 10% либо одна из введённых вероятностей неверна.
Как правильно читать результат
Математическое ожидание имеет ту же единицу, что и исходы. Если строки описывают чистую прибыль за одну игру в рублях, E(X) тоже измеряется в рублях на игру. Если исходы являются количеством заявок за день, результат относится к заявкам за день.
Значение E(X) не обязано встречаться в одной попытке. У честного кубика невозможно выбросить 3,5, но среднее большого числа бросков приближается к 3,5. Небольшая серия может заметно отклоняться от него, особенно при редких крупных исходах.
Положительное ожидание не гарантирует прибыль конкретному человеку. Оно не сообщает, сколько попыток потребуется для приближения среднего, хватит ли запаса денег пережить серию потерь и насколько надёжны сами вероятности. Для решения сравнивайте E(X) со стандартным отклонением, размером возможного убытка и качеством исходных оценок.
Если вместо вероятностей у вас есть произвольные веса, нужен обычный взвешенный расчёт. Например, часы предметов и оценки можно обработать в калькуляторе среднего взвешенного балла: его веса не обязаны складываться в 100%. Для перевода расстояния от среднего в единицы разброса служит калькулятор Z-оценки.
Ошибки, которые меняют смысл задачи
Не складывайте вероятности пересекающихся событий как отдельные строки. Например, «выпало чётное число» и «выпало число больше трёх» могут произойти одновременно. Для распределения кубика нужны шесть отдельных значений либо другие непересекающиеся группы с однозначным числовым исходом.
Не округляйте повторяющуюся дробь слишком рано. Шесть вероятностей по 16,67% дают 100,02%, а не 100%. Для честного кубика проще ввести 1/6 в каждой строке. Калькулятор допускает только микроскопическую вычислительную погрешность, но не исправляет заметное расхождение.
Проверяйте, что исходы выражают одну и ту же величину. Нельзя в одном списке смешать валовую выплату, чистую прибыль и стоимость приза. Сначала приведите каждый сценарий к общей денежной или физической величине, затем назначьте вероятность.
Вопросы о математическом ожидании
Ответы поясняют форматы вероятностей, отрицательные исходы и ограничения долгосрочного среднего.
Почему вероятности должны давать ровно 100%?
Строки описывают полное распределение одной случайной величины. Если сумма меньше 100%, какой-то исход пропущен; если больше, вероятности ошибочны или события пересекаются.
Какие форматы вероятности можно вводить?
Поддерживаются доли от 0 до 1, проценты со знаком %, целые проценты без знака и простые дроби: 0,4, 40%, 40 и 2/5 равны.
Можно ли вводить отрицательные исходы?
Да. Отрицательное число удобно использовать для чистого убытка, положительное для прибыли, ноль для результата без изменения. Вероятность при этом остаётся неотрицательной.
Почему E(X) может отсутствовать среди исходов?
Это взвешенное среднее, а не выбранный сценарий. Например, ожидание честного кубика равно 3,5, хотя на гранях есть только целые числа от 1 до 6.
Гарантирует ли положительное ожидание выигрыш?
Нет. Оно описывает среднее при большом числе повторений с неизменными вероятностями. Отдельная попытка и даже длинная серия могут закончиться убытком.
Можно ли повторять одинаковый исход в нескольких строках?
Да. Калькулятор учтёт каждую вероятность. Для удобства одинаковые значения можно объединить и сложить их вероятности, результат не изменится.
Что делать, если события могут произойти одновременно?
Преобразуйте их в непересекающиеся итоговые сценарии. Каждая попытка должна соответствовать ровно одной строке с одним числовым значением.
Чем матожидание отличается от взвешенного среднего?
Формула похожа, но веса матожидания являются вероятностями полного распределения и складываются в 1. У обычного взвешенного среднего веса могут быть часами, объёмами или коэффициентами важности.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор стандартного отклонения. Вставьте список чисел и найдите среднее, дисперсию и стандартное отклонение.
- Бросить монетку онлайн. С помощью данной формы вы можете подбросить монетку онлайн любое количество раз.
- Калькулятор среднего взвешенного балла. Рассчитайте на онлайн-калькуляторе средний взвешенный балл для диплома или аттестата.
- Обычный калькулятор. Просто посчитайте чего вы там хотели.
- Рандомайзер: генератор случайных чисел. Выберите случайное число в нужном диапазоне для любых целей, в частности для розыгрышей и онлайн-лотерей в соцсетях.
- Калькулятор корней. Найдите правильное решение корней n-степени, включая квадратные и кубические.
- Калькулятор дробей. Выполните сложение, умножение, сокращение обыкновенных дробей.
- Калькулятор квадратных уравнений. Решите квадратные уравнения с помощью специальных формул, через дискриминант и по теореме Виета. Все способы решения сопровождаются примерами.
- Калькулятор дискриминанта. Введите коэффициенты a, b и c: получите дискриминант и число действительных корней.
- Калькулятор сложного процента. Рассчитайте на инвесткалькуляторе сумму, полученную в результате применения сложного процента с реинвестированием, регулярным пополнением, капитализацией и с примерами.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.