Возрастающий факториал

Что означает возрастающий факториал

Геометрические фишки растут ступенями и собираются в один результат

Возрастающий факториал берёт целое число x и перемножает n последовательных чисел, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Для x = 5 и n = 4 получается цепочка 5 × 6 × 7 × 8 = 1680. Число x задаёт первый множитель, а порядок n сообщает, сколько множителей войдёт в произведение.

Эта операция встречается в комбинаторике, степенных рядах и формулах специальных функций. Она похожа на обычный факториал, но начинает цепочку с произвольного x и движется вверх. Обычный 5! перемножает числа от 5 до 1, а возрастающий факториал 5 порядка 4 идёт от 5 до 8.

Формула и обозначения

Однозначная запись использует черту над порядком:

x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)

В специальных функциях ту же операцию часто обозначают символом Похгаммера (x)_n. Но скобочная запись неоднозначна: в некоторых книгах по комбинаторике (x)_n используют для убывающего произведения. Если обозначение встретилось без определения, лучше проверить первый раскрытый пример. Черта сверху означает движение вверх, черта снизу означает движение вниз.

Порядок n должен быть неотрицательным целым числом. При n = 0 множителей нет, и результат равен 1. Это соглашение о пустом произведении сохраняет рекурсию:

x^{\overline{n+1}}=x^{\overline{n}}(x+n),\qquad x^{\overline{0}}=1

Калькулятор принимает x от -1 000 000 до 1 000 000 и n от 0 до 5000. Ответ вычисляется прямым целочисленным умножением, поэтому в нём нет округления. Пробелы разделяют длинную запись на группы для чтения, а число цифр показано отдельной строкой.

Как знак и ноль меняют результат

При положительном x все множители положительны, поэтому результат тоже положительный. При отрицательном x сначала идут отрицательные числа. Если цепочка доходит до нуля, всё произведение становится нулём. Например, возрастающий факториал числа -3 порядка 5 содержит -3, -2, -1, 0 и 1.

Если отрицательная цепочка заканчивается до нуля, знак зависит от количества множителей. Нечётное число отрицательных множителей даёт отрицательный ответ, чётное положительный. Так, для -5 и порядка 3 получаем (-5) × (-4) × (-3) = -60, а множитель -2 при порядке 4 меняет результат на 120.

Нулевой порядок важнее значения x: даже при x = 0 результат равен 1. А при n больше нуля и x = 0 первый множитель уже равен нулю, поэтому ответ будет 0.

Примеры расчёта

5 порядка 4 даёт 1680. Выписываем четыре последовательных множителя: 5 × 6 × 7 × 8. После умножения получаем 1680.

-5 порядка 3 даёт -60. Произведение (-5) × (-4) × (-3) содержит три отрицательных множителя, поэтому итоговый знак отрицательный.

-3 порядка 5 даёт 0. Цепочка -3 × -2 × -1 × 0 × 1 пересекает ноль. Остальные множители уже не могут изменить нулевой ответ.

11 порядка 0 даёт 1. Пустое произведение не содержит множителей. То же правило действует для любого x, включая x = 0.

1 порядка 5 даёт 120. Получаем 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 5!. Поэтому возрастающий факториал единицы порядка n совпадает с обычным n!.

2 порядка 6 даёт 5040. Цепочка 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 совпадает с 7! без первого множителя 1, поэтому значение остаётся равным 5040.

Связь с обычным и убывающим факториалом

Для положительного целого x возрастающее произведение можно выразить через два обычных факториала:

x^{\overline{n}}=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!},\qquad x\ge 1

Например, 4 порядка 3 равно 4 × 5 × 6 = 6! / 3! = 120. Формула удобна для преобразований, но прямое произведение проще проверять по множителям и не требует деления больших чисел.

Парная операция идёт в другую сторону. Убывающий факториал начинает с того же x, но каждый следующий множитель уменьшает на единицу. Поэтому 5 порядка 4 даёт 1680 при движении вверх и 120 при движении вниз. У двойного факториала другая механика: он тоже убывает, но пропускает каждое второе число.

Как проверить длинный ответ

Для n не больше 30 калькулятор раскрывает список множителей и полное равенство. Это удобный предел для визуальной проверки. При большем порядке цепочка занимает слишком много места, поэтому остаются точный результат и количество его цифр.

Большой ответ лучше проверять рекурсией. Сначала вычислите x порядка n, затем умножьте его на x + n. Получится значение порядка n + 1. Для положительного x можно дополнительно сверить отношение факториалов. Если цепочка отрицательного x включает ноль, результат должен быть ровно нулевым.

Ещё одна проверка следует из комбинаторики. Для положительных x и n значение x порядка n равно n! × C(x + n - 1, n), где C обозначает число сочетаний. Например, 3 порядка 4 равно 3 × 4 × 5 × 6 = 360. Одновременно 4! × C(6, 4) = 24 × 15 = 360. Такое равенство связывает возрастающее произведение с выбором объектов, когда повторения разрешены.

Вопросы о возрастающем факториале

Эти случаи помогают прочитать неоднозначное обозначение, правильно обработать нулевой порядок и понять, когда произведение обязательно обращается в ноль.

Чем возрастающий факториал отличается от обычного?

Обычный n! перемножает целые числа от n вниз до 1. Возрастающий факториал начинает с произвольного x, берёт ровно n множителей и увеличивает каждый следующий на единицу.

Что означает символ Похгаммера (x)ₙ?

Чаще всего так обозначают возрастающий факториал x(x + 1)…(x + n - 1). Но в разных разделах математики скобочная запись бывает неоднозначной, поэтому надёжнее проверить определение или использовать черту над n.

Почему при n = 0 результат равен 1?

При нулевом порядке множителей нет. Пустое произведение принимают равным 1, чтобы рекурсия для следующего порядка работала без отдельного исключения.

Когда результат равен нулю?

При n > 0 результат равен нулю, если последовательность x, x + 1, …, x + n - 1 содержит 0. Например, для x = -3 это произойдёт при n не меньше 4.

Можно ли вводить отрицательное x?

Да. Калькулятор принимает целое x до -1 000 000. Пока цепочка не дошла до нуля, знак определяется чётностью количества отрицательных множителей; после появления нуля всё произведение равно 0.

Можно ли вводить дробный порядок n?

Нет. Здесь порядок означает количество множителей, поэтому он должен быть целым числом от 0 до 5000. Дробные продолжения специальных функций требуют другого определения.

Округляется ли длинный результат?

Нет. Все множители и итог хранятся как целые числа BigInt. Пробелы добавляются только для чтения, а при копировании сохраняется точная непрерывная запись со знаком.

Почему множители скрываются после n = 30?

При большом порядке раскрытая цепочка становится труднее читать, чем сам ответ. До 30 калькулятор показывает полное равенство, а выше оставляет точный результат и число цифр.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.