Калькулятор частоты отсечки волновода

Следующая отсечка TE20	13,1143 ГГц
Длина волны TE10	39,7071 мм
Режим	Только TE10

Какие частоты проходят по прямоугольному волноводу

Полый прямоугольный металлический волновод с фланцем и штангенциркуль на лабораторном столе

У полого прямоугольного волновода есть нижняя частотная граница распространения основной волны. Для внутреннего сечения 22,86 × 10,16 мм она составляет около 6,55714 ГГц. На 10 ГГц по такому каналу может распространяться основная мода TE10, а на 6 ГГц частота уже ниже её отсечки. Пустая металлическая трубка оказывается частотно избирательной даже без отдельных катушек и конденсаторов.

Мода означает определённое распределение электромагнитного поля по сечению канала. Разным распределениям соответствуют разные частоты отсечки. Калькулятор находит нижнюю границу TE10, ближайшую следующую границу и длину волны TE10 вдоль канала на заданной частоте. По этим числам можно проверить геометрию учебного образца или понять, какие режимы допускает выбранное сечение.

Расчёт относится к прямому однородному прямоугольному воздушному волноводу с идеальными проводящими стенками. Воздух здесь приближён вакуумом: относительные электрическая и магнитная проницаемости приняты равными 1. Потери, изгибы, разъёмы и переходы в модель не входят. Теоретическая область одной моды не равна паспортному рабочему диапазону конкретного изделия.

Размеры нужно брать внутри канала

Широкая стенка a и узкая стенка b задаются в миллиметрах. Это размеры свободного внутреннего прямоугольника между металлическими поверхностями. Толщина стенок, фланец и наружное покрытие в них не входят. Если штангенциркуль охватывает корпус снаружи, перед расчётом нужно отдельно определить размеры полости.

Оба размера должны быть положительными, причём a строго больше b. При случайно переставленных значениях достаточно поменять их местами. Для квадрата TE10 и TE01 имеют одинаковую нижнюю отсечку: обычного интервала, в котором разрешена только одна из этих двух мод, уже нет. Поэтому квадратная геометрия в форме не принимается.

Частота задаётся в гигагерцах: 1 ГГц равен 10⁹ Гц. Если прибор показывает 10000 МГц, в поле нужно ввести 10. Положительная частота ниже отсечки является допустимым условием задачи. Форма сохранит рассчитанные границы и сообщит о режиме, но не подставит фиктивную нулевую длину волны.

Основная и следующая частоты отсечки

f_{c10}=\frac{c}{2a},\qquad f_{c20}=\frac{c}{a},\qquad f_{c01}=\frac{c}{2b}

В этих формулах размеры выражаются в метрах, c = 299792458 м/с, а результат получается в герцах. Для миллиметров и гигагерц первая формула превращается в 149,896229/a. Индексы 10, 20 и 01 обозначают различающиеся поперечные распределения поля; они не являются номерами частотных каналов.

Для a > b основной является TE10. Следующей окажется TE20 или TE01, смотря какая из двух границ ниже. Если b меньше a/2, сначала открывается TE20. Если b больше a/2, сначала открывается TE01. При b = a/2 обе имеют одинаковую отсечку. Такая проверка не позволяет ошибочно считать удвоенную частоту TE10 универсальной верхней границей для любого прямоугольника.

f_{c10}<f<\min(f_{c20},f_{c01})

Это строгий интервал распространения только одной моды. На самой частоте отсечки продольная постоянная распространения соответствующей моды равна нулю. Над верхней границей высшие моды уже допускаются геометрией, однако их фактическое возбуждение зависит от источника и устройства переходов. Сообщение о возможности таких мод не утверждает, что они обязательно присутствуют с заметной мощностью.

Связь отсечек с широкой и узкой стенками разобрана в учебных материалах MIT и USPAS о волноводах. Там же хорошо видна причина ограничения: при уменьшении частоты продольное распространение сменяется затуханием поля вдоль канала.

Почему длина волны внутри больше

\lambda_g=\frac{c/f}{\sqrt{1-(f_{c10}/f)^2}},\qquad f>f_{c10}

Свободная длина волны λ0 равна c/f. Внутри волновода длина λg описывает изменение фазы вдоль его оси. При приближении к отсечке сверху знаменатель уменьшается, а λg растёт. На самой границе конечной длины бегущей волны эта формула не даёт; ниже границы продольная зависимость поля становится затухающей.

При расчёте свободного излучения используются другие условия. Например, расстояние дальней зоны антенны оценивают по свободной длине волны и размеру раскрыва. Подставлять туда λg из внутреннего канала нельзя. Геометрические размеры волновода и расстояние до приёмной антенны решают разные задачи.

Проверка сечения и рабочей частоты

Настроить стенд на 10 ГГц. Для a = 22,86 мм и b = 10,16 мм получаем fc10 = 6,55714 ГГц, следующую отсечку TE20 = 13,1143 ГГц и λg = 39,7071 мм. Частота находится внутри одномодового интервала. Это позволяет выбрать исходную модель поля; пригодность реальных переходов на 10 ГГц всё равно проверяется по их характеристикам.

Переключить тот же генератор на 6 ГГц. Размеры не изменились, поэтому обе границы остались прежними. Теперь рабочая частота ниже 6,55714 ГГц: TE10 не является распространяющейся модой. Увеличение мощности генератора не меняет геометрическую отсечку. Пытаться исправить такую ситуацию только настройкой уровня сигнала бессмысленно.

Разметить четверть длины волны. На 10 ГГц свободная λ0 составляет 29,9792 мм, а в первом волноводе λg составляет 39,7071 мм. Их четверти равны примерно 7,49481 и 9,92678 мм. Для продольного фазового расстояния внутри канала разница существенна: использование свободной λ0 сократит выбранный участок примерно на 2,43 мм.

Расширить только узкую сторону. Сечение 30 × 10 мм на 8 ГГц имеет fc10 = 4,99654 ГГц и следующую границу TE20 = 9,99308 ГГц. После изменения сечения на 30 × 20 мм основная отсечка сохраняется, но TE01 открывается уже при 7,49481 ГГц. Теперь 8 ГГц допускают высшие моды. Увеличение площади канала не сохраняет его одномодовую полосу.

Увеличить весь макет вдвое. Переход от 22,86 × 10,16 к 45,72 × 20,32 мм уменьшает обе ближайшие отсечки вдвое: до 3,27857 и 6,55714 ГГц. Частота 10 ГГц, подходившая для единственной распространяющейся моды малого образца, оказывается выше верхней границы большого. Простое масштабирование металла требует пересмотра частоты эксперимента.

Не перепутать наружный размер с внутренним. У условной трубы наружная ширина 24 мм, толщина каждой боковой стенки 2 мм, внутренняя ширина 20 мм. Подстановка 24 даст fc10 = 6,24568 ГГц вместо правильных 7,49481 ГГц. На 7 ГГц ошибочный расчёт обещал бы распространение основной моды, хотя настоящая геометрия ещё находится ниже отсечки.

Что остаётся за пределами идеальной модели

Стены реального канала имеют конечную проводимость. Глубина скин-слоя помогает оценить проникновение поля в металл, но сама по себе не даёт затухание волновода в децибелах на метр. Для потерь нужны также распределение токов, геометрия и свойства поверхности.

В коаксиальной TEM-линии присутствует центральный проводник; её модель нельзя заменить расчётом полой трубы тех же наружных размеров. Аналогично, одно число частоты отсечки не определяет волновое сопротивление всех мод, допустимую мощность или качество согласования перехода. Вывод с шестью значащими цифрами удобен для сверки формул, но не повышает точность измеренного сечения.

Заполнение, скорость и возбуждение мод

Изменение материала внутри канала или формы сечения меняет исходную задачу. Длина прямого участка и способ его возбуждения тоже влияют на измерения, хотя не входят в формулу геометрической отсечки.

Можно ли рассчитать квадратный волновод?

Для квадрата со стороной a частоты отсечки TE10 и TE01 совпадают и равны c/(2a). Эти моды вырождены по частоте: выделить только одну из них можно условиями возбуждения, но не отдельной частотной полосой. Форма рассчитана на прямоугольник a > b и потому отклоняет равные размеры.

Что изменится при заполнении диэлектриком?

При полном однородном заполнении идеальной средой скорость c заменяется на c/√(εrμr). Например, при заданных εr = 4 и μr = 1 все отсечки уменьшатся вдвое. Частичное заполнение, слои и частотная зависимость свойств требуют другой модели; вводить для них изменённые размеры воздушного канала неправильно.

Зависит ли отсечка от длины трубы?

Для однородного волновода отсечка определяется поперечным сечением. Удлинение прямого участка не меняет её, но увеличивает накопленную фазу и реальные потери. Закрытый с двух концов объём уже является резонатором: его собственные частоты зависят также от длины и условий на торцах.

Почему высшая мода может не появиться выше своей отсечки?

Частота выше отсечки разрешает распространение, но не задаёт амплитуду возбуждения. Симметрия источника и распределение поля на входе могут слабо связываться с конкретной модой. Изгиб, препятствие или переход способны изменить такое распределение. Поэтому результат отмечает возможность высших мод, а их состав устанавливают отдельным расчётом или измерением.

Означает ли большая длина волны скорость выше скорости света?

Фазовая скорость TE10 в идеальном воздушном волноводе действительно превышает c. Это скорость движения поверхности одинаковой фазы, а не скорость передачи информации. Групповая скорость в этой модели меньше c; произведение фазовой и групповой скоростей равно c². Противоречия ограничению скорости передачи сигнала нет.

Можно ли заменить круглый канал прямоугольником той же площади?

Нет. Частоты отсечки определяются решением уравнений поля с конкретными граничными условиями. У круглого волновода другой набор мод и коэффициенты, связанные с функциями Бесселя. Равная площадь сечения не обеспечивает равную нижнюю отсечку или одинаковую одномодовую полосу.

Почему через короткий участок ниже отсечки всё же измеряется сигнал?

Ниже отсечки поле вдоль однородного канала затухает, а не исчезает мгновенно у входа. В конечном коротком участке возможна связь между его концами через затухающее поле. Измеренная передача зависит от длины и переходов; её нельзя получить из одного значения fc10. Этот калькулятор не рассчитывает такую связь или экранирование.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.