Калькулятор по закону Снеллиуса

Как меняется направление света на границе сред

Женщина рассматривает карандаш, погружённый в стакан воды

Закон Снеллиуса связывает угол падения луча с углом его преломления и показателями двух сред. При переходе из среды с n₁ = 1 в среду с n₂ = 1,5 луч, падающий под 30° к нормали, преломляется под 19,4712°. Он поворачивает ближе к перпендикуляру. Если переход направлен обратно, тот же угол падения приводит к другому результату.

Для расчёта нужны показатели именно тех сред и условий, которые указаны в вашей задаче. Здесь нет автоматически выбранного «стекла» или «воды»: название вещества без уточнений не определяет единственное точное n. Калькулятор принимает заданные числа и показывает направление преломлённого луча либо полное внутреннее отражение.

Почему угол считают к нормали

Нормалью называют прямую, перпендикулярную границе в точке, где падает луч. Угол падения θ₁ расположен между входящим лучом и нормалью, угол преломления θ₂ между выходящим лучом и той же нормалью. Вводятся градусы от 0 до 90. Ноль означает падение поперёк поверхности, 90° соответствует предельному скользящему направлению вдоль неё.

Показатель n₁ относится к среде, из которой приходит свет; n₂ к среде, в которую он должен перейти. Эти числа безразмерны. Оптическая плотность в таком сравнении означает показатель преломления, а не массу вещества в кубическом метре. Большая массовая плотность сама по себе не подставляется вместо большего n.

\displaystyle n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

Чтобы найти угол, сначала вычисляют q = n₁ sinθ₁ / n₂, затем θ₂ = arcsin(q). Арксинус является обратной функцией синуса: он возвращает угол, синус которого равен q. Делить сам угол на отношение показателей вместо его синуса можно лишь как приближение для очень малых углов, а не как общий способ расчёта.

Когда луч проходит и когда отражается полностью

При n₂ больше n₁ луч приближается к нормали: θ₂ меньше θ₁. При n₂ меньше n₁ он отклоняется от нормали, пока преломление возможно. Если показатели совпадают, направление не меняется. Отсутствие изгиба не означает, что нужно считать угол нулевым: он остаётся равным углу падения.

При переходе из большего n в меньшее существует критический угол:

\displaystyle \theta_c=\arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right),\qquad n_1>n_2

На этой границе θ₂ достигает 90°. При ещё большем угле падения формула потребовала бы синус больше единицы. Такого действительного угла нет: возникает полное внутреннее отражение. Луч остаётся в первой среде. Это допустимый физический результат, поэтому калькулятор показывает его словами и сохраняет критический угол для сравнения.

Как использовать результат в оптической задаче

Луч входит в среду с большим показателем. При n₁ = 1, n₂ = 1,5 и θ₁ = 30° получается θ₂ = 19,4712°. Поворот к нормали составляет примерно 10,5288°. Это помогает определить направление внутри прозрачного элемента. Чтобы найти положение изображения целой линзы, потребуется её геометрия; для отдельной модели пригодится расчёт тонкой линзы.

Проверка обратного хода. Свет идёт из среды 1,5 в среду 1 и падает под 30°. Угол преломления равен 48,5904°, а критический угол 41,8103°. Луч ещё проходит, но отклоняется дальше от нормали. Простая перестановка показателей при сохранении 30° не является обращением предыдущей траектории: для её точного обращения входным углом должны стать 19,4712°.

Удержание света внутри элемента. Для пары n₁ = 1,5, n₂ = 1 задан угол 50°. Он превышает 41,8103°, поэтому преломлённого проходящего луча нет. Такой режим лежит в основе направления света посредством внутренних отражений. Из одного ответа нельзя получить потери целого световода: для них важны устройство, материал и другие условия прохождения.

Предельное направление вдоль границы. Для той же пары показателей угол падения выбран равным 41,810314895778596°. Вычисленный угол преломления составляет 90°. Это граница двух режимов, а не запас до полного отражения. Значение 41,8°, округлённое для рисунка, уже немного ниже неё. Сравнивая близкие случаи, не подменяйте полный исходный угол грубо округлённой подписью.

Согласование показателей. В учебной модели прозрачная вставка и окружающая среда имеют одинаковые n = 1,4. Луч падает под 60° и сохраняет угол 60°. На этой границе направление не меняется; увеличение обоих показателей до 1,8 также не создаст изгиба. Это показывает смысл согласования показателей, но не гарантирует незаметность любого реального предмета с поверхностями и включениями.

Проход поперёк плоской поверхности. Для n₁ = 1, n₂ = 2 и угла 0° ответ равен 0°. Геометрического поворота нет, несмотря на различие показателей. При этом скорость света во второй среде меньше. Нулевой угол не означает неизменность всех свойств волны и не является условием отсутствия отражённой части света.

Какие исходные данные требуют внимания

Показатели преломления должны относиться к выбранной длине волны и физическим условиям. Разные цвета могут иметь разные n, поэтому один набор чисел описывает один расчёт, а не всю картину прохождения белого света. Для связи длины волны с энергией отдельного фотона существует калькулятор энергии фотона. Энергия фотона и показатель среды решают разные вопросы.

Число n связано с фазовой скоростью света: v = c / n. Скорость c в вакууме можно посмотреть в переводе скорости света в км/с. Для движения импульса света в веществе могут понадобиться другие характеристики; подменять ими исходный показатель в геометрическом законе без отдельного обоснования нельзя.

Модель относится к обычной границе однородных изотропных сред. В кристалле с зависимостью свойств от направления, в поглощающей среде или в структуре с меняющимся показателем простой ответ может не описывать всю картину. Угол также не определяет долю отражённой мощности: для неё учитывают поляризацию и коэффициенты отражения.

Главный ответ округляется до шести значащих цифр. Очень маленький ненулевой угол показан научной записью, чтобы не выглядеть нулём. Большое количество знаков полезно для проверки формулы, но точность задачи ограничивают введённые показатели и измеренный угол. Возле критической границы даже небольшое изменение входных данных может заметно изменить направление или сам режим прохождения.

Вопросы об углах и свойствах света

Обратные измерения, несколько поверхностей и сравнение цветов требуют дополнительных действий. Одного угла на одной границе не всегда достаточно для описания всего оптического элемента.

Что вводить, если угол измерен от поверхности?

Вычтите его из 90°. Если луч образует с поверхностью 20°, угол к нормали равен 70°. На рисунке сначала отметьте перпендикуляр в точке встречи луча с границей. Нельзя подставлять 20° как угол падения: это другая геометрия, даже если показатели введены правильно.

Можно ли определить показатель по двум измеренным углам?

Если n₁ известно и угол преломления ненулевой, n₂=n₁sinθ₁/sinθ₂. Для n₁=1, θ₁=30° и θ₂=20° получается n₂≈1,46190. При обоих углах 0° направление не даёт такого измерения: отношение 0/0 неопределённо. Нужен опыт с ненулевыми углами и известными условиями.

Почему разные пары сред могут дать один угол?

Угол определяется отношением n₁/n₂, а не разностью. Пары 1/1,5 и 2/3 при одинаковом угле падения дают одинаковое преломление, потому что отношения равны 2/3. Но сами скорости света в каждой паре различаются, поэтому совпадение направления не делает среды одинаковыми.

Выйдет ли луч из параллельной пластины под прежним углом?

Если снаружи с обеих сторон одна среда и грани параллельны, выходящий луч параллелен входящему. Два преломления возвращают направление, но могут сместить луч в сторону. Для величины смещения нужна толщина пластины; закон одной границы сам по себе её не задаёт. При непараллельных гранях такое сохранение направления не следует.

Как сравнить преломление двух цветов?

Выполните два расчёта с показателями для соответствующих длин волн. При n₁=1 и угле 30° показатели второй среды 1,5 и 1,6 дадут соответственно 19,4712° и примерно 18,2100°. Это условные исходные данные, показывающие влияние различия n, а не таблица конкретного вещества. Цветам нельзя автоматически назначать произвольные постоянные показатели.

Меняется ли частота света при переходе?

На неподвижной границе частота сохраняется, а фазовая скорость и длина волны могут измениться. Если показатель вырос с 1 до 1,5, при неизменной частоте длина волны уменьшается в 1,5 раза. Например, условные 600 нм в первой среде станут 400 нм во второй. Это не означает превращение света в другой цвет по его частоте.

Можно ли надёжно различить режимы по округлённому критическому углу?

Возле границы лучше сравнивать исходные данные с неокруглённым расчётом и учитывать точность их измерения. Для n₁=1,5 и n₂=1 значения 41° и 42° лежат по разные стороны границы, но подпись 42° вместо 41,8103° скрывает этот промежуток. Округлённое число предназначено для чтения; оно не задаёт новую физическую границу.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.