Калькулятор тонкой линзы

Увеличение	-0,5
Изображение	Действительное, перевёрнутое

Где получится изображение предмета

Учебная линза создаёт перевёрнутое изображение предмета на небольшом экране

Тонкая линза меняет направление света и может создать изображение предмета на другой стороне или видимое мнимое изображение со стороны самого предмета. Для собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см и предмета на расстоянии 30 см изображение получится в 15 см за линзой. Оно будет перевёрнутым и вдвое меньше предмета.

Калькулятор находит положение изображения и линейное увеличение по двум известным величинам. Оба входных расстояния задаются в сантиметрах. Фокусное расстояние положительно для собирающей линзы и отрицательно для рассеивающей. Расстояние до реального предмета всегда положительно. Знак результата определяет сторону изображения, а не ошибку измерения.

Формула линзы и правила знаков

Обозначим фокусное расстояние буквой f, расстояние до предмета буквой a, расстояние до изображения буквой b. В приближении тонкой линзы они связаны отношением:

\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},\qquad b=\frac{fa}{a-f}

Все расстояния отсчитываются от оптического центра линзы. Положительное b означает действительное изображение на стороне, противоположной предмету: лучи действительно сходятся, и там можно поставить экран. Отрицательное b означает мнимое изображение со стороны предмета: в этой точке пересекаются продолжения выходящих лучей. Сам экран в таком месте изображение не поймает.

Линейное увеличение M показывает отношение высоты изображения к высоте предмета с учётом ориентации:

\displaystyle M=-\frac{b}{a}

При отрицательном M изображение перевёрнуто, при положительном прямое. Размер сравнивают по модулю: |M| = 0,5 означает половину исходной высоты, |M| = 2 двойную высоту. Увеличение безразмерно. Это не значение в процентах и не фокусное расстояние, поэтому единица см рядом с ним не ставится.

Шесть положений предмета

Пример 1. Изображение небольшого рисунка. Фокусное расстояние равно 10 см, рисунок высотой 4 см находится в 30 см от линзы. Получаем b = 15 см и M = −0,5. Экран ставят в 15 см с другой стороны линзы, а высота перевёрнутого изображения будет 2 см. От предмета до экрана в этой прямой схеме 45 см, а не 15: в результате показана только часть пути после линзы.

Пример 2. Предмет в двойном фокусе. Для той же линзы предмет расположен в 20 см, то есть на расстоянии 2f. Изображение тоже окажется в 20 см за линзой, увеличение M = −1. Предмет высотой 3 см даст перевёрнутое изображение высотой 3 см. Равный размер не означает прямую ориентацию: минус остаётся существенной частью ответа.

Пример 3. Увеличенная проекция. Подвинем предмет к линзе до 15 см при f = 10 см. Изображение отодвинется до 30 см, M = −2. Для предмета высотой 2 см высота изображения составит 4 см. Если экран оставить на прежних 15 см, он окажется не в рассчитанной плоскости изображения. Сдвиг предмета требует нового положения экрана.

Пример 4. Предмет внутри фокуса. При f = 10 см и a = 5 см результат b = −10 см, M = 2. Изображение мнимое, прямое и увеличенное. Такую ситуацию используют для объяснения действия лупы. Число −10 обозначает положение видимого изображения со стороны предмета; оно не предлагает поставить экран в отрицательное расстояние и получить проекцию.

Пример 5. Рассеивающая линза. Вводим f = −10 см, предмет находится в 30 см. Получаются b = −7,5 см и M = 0,25. Изображение мнимое, прямое, вчетверо меньше предмета. Оно находится между линзой и её фокусом со стороны предмета. Замена −10 на +10 описала бы другой тип линзы и дала бы другой результат, даже при неизменном положении предмета.

Пример 6. Точно в фокусе и чуть рядом. Для f = 10 см и a = 10 см калькулятор показывает «Изображение на бесконечности»: после линзы лучи от одной точки предмета параллельны, конечного b нет. При a = 10,1 см уже получается конечное b = 1010 см, или 10,1 м, M = −100. Разница входов всего 0,1 см даёт очень далёкое изображение, поэтому близость к фокусу нельзя автоматически считать совпадением.

Почему малый сдвиг иногда сильно меняет ответ

В знаменателе формулы стоит a − f. Когда предмет близок к положительному фокусу, эта разность мала, поэтому расстояние до изображения и модуль увеличения велики. Если предмет подходит к фокусу снаружи, действительное изображение удаляется. Если он подходит изнутри, удаляется мнимое изображение. При переходе через фокус меняется знак b, а не появляется отрицательная длина обычного отрезка.

По этой причине около фокуса особенно важны точность расстояния и знание самого f. Шесть значащих цифр в ответе не превращают приблизительно измеренные 10 см в точное значение. Для очень больших и малых чисел применяется научная запись. Непредставимый численный результат даёт ошибку; символ бесконечности используется только при точном равенстве входных расстояний в выбранной модели.

Для далёкого предмета действительное изображение собирающей линзы располагается близко к фокальной плоскости. Но близко не означает точно в ней при любом конечном a. Например, при f = 10 см и a = 1000 см изображение находится примерно в 10,1010 см. Для точной настройки положение нужно считать по данным задачи, а не просто приравнивать b к f.

Что упрощает модель тонкой линзы

Модель рассматривает лучи, идущие близко к оптической оси под небольшими углами. Это называют параксиальным приближением. Толщина линзы мала для рассматриваемой геометрии, а среда с обеих сторон одинакова. Реальная толстая линза или объектив из нескольких элементов требуют отсчёта от соответствующих главных плоскостей, которые не обязательно совпадают с внешней поверхностью корпуса.

Формула положения не определяет яркость, цветовые искажения или качество изображения. Изменение направления луча на границе сред отдельно описывает закон Снеллиуса. Для фотографической зоны допустимой резкости используют калькулятор глубины резкости, где важны дополнительные параметры. Если нужно оценить охват сцены объективом и размером кадра, подходит расчёт поля зрения.

Здесь рассматривается один реальный предмет перед одной тонкой линзой. Мнимый предмет, создаваемый предыдущим элементом сложной системы, не вводится как отрицательное a. Для последовательности линз нужно проследить промежуточные изображения и выбрать подходящую систему знаков: подстановка всей сборки как одной линзы без её параметров не решает эту задачу.

Вопросы об изображении в линзе

Эти ответы помогают подготовить единицы и понять, какие свойства реального опыта ещё не определяются двумя расстояниями.

Можно ли взять фокусное расстояние в миллиметрах?

Перед вводом переведите его в сантиметры: 50 мм равны 5 см. Второе расстояние тоже задаётся в сантиметрах. Например, f = 5 см и a = 15 см дают b = 7,5 см. Если только одно поле оставить в миллиметрах, вычисление будет относиться к другой геометрии.

Почему нельзя ввести отрицательное расстояние до предмета?

Эта страница рассчитана на реальный предмет перед линзой, для него a положительно. Отрицательное расстояние может появляться в других задачах с мнимым предметом, когда лучи уже сходятся из-за предыдущего оптического элемента. Такой случай требует другого контракта исходных данных, поэтому здесь отвергается.

Как найти общее расстояние между предметом и экраном?

Для действительного изображения на противоположной стороне сложите a и положительное b. При a = 15 см и b = 30 см получается 45 см. Для мнимого изображения правило про экран неприменимо: оно не является точкой реального схождения лучей.

Как подготовить фокусное расстояние по оптической силе?

Если оптическая сила D дана в диоптриях, f в метрах равно 1/D, а в сантиметрах 100/D. Например, +5 дптр соответствуют +20 см, −5 дптр соответствуют −20 см. Сохраните знак и используйте данные конкретной линзы в нужной окружающей среде.

Если закрыть половину линзы, исчезнет половина изображения?

В обычной схеме формирования изображения каждая точка предмета посылает лучи через разные части линзы. Поэтому частичное закрытие обычно уменьшает количество проходящего света, сохраняя полное изображение. На практике могут дополнительно измениться распределение освещённости и дифракционные эффекты; двух расстояний для их оценки недостаточно.

Подойдёт ли прежнее f после погружения линзы в воду?

Не обязательно. Фокусное расстояние зависит от показателя преломления материала относительно окружающей среды. Значение, измеренное в воздухе, нельзя без проверки переносить в воду. Для этой формы нужно заранее определить f в одинаковой среде с обеих сторон линзы.

Разные цвета всегда имеют одно положение изображения?

У реального материала показатель преломления может зависеть от длины волны, поэтому фокусные расстояния для разных цветов могут различаться. Это одна из причин хроматических искажений. Формула использует одно заданное f и не рассчитывает спектр; для сравнения цветов нужны отдельные достоверные фокусные расстояния.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.