Калькулятор закона Малюса

Пропускание системы	25 %

Сколько света проходит через поляризатор

Два поляризационных фильтра с разным поворотом осей ослабляют проходящий свет

При угле 60° идеальный поляризатор пропускает четверть интенсивности линейно поляризованного света. Если до фильтра было 100 Вт/м², после него останется 25 Вт/м². Поворот на 45° оставляет половину, а взаимно перпендикулярные направления при 90° полностью перекрывают такой свет в идеальной модели.

Поляризация описывает направление колебаний электрического поля световой волны. У линейно поляризованного света оно постоянно, у неполяризованного меняется случайно. Поляризатор пропускает одну составляющую поля, заданную его осью. Поэтому результат зависит от взаимного поворота направлений, даже когда яркость источника и положение самого луча не меняются.

Калькулятор решает две задачи: прохождение уже поляризованного света через один фильтр и прохождение неполяризованного света через два фильтра подряд. Во втором случае первый фильтр подготавливает линейную поляризацию, а второй, который называют анализатором, меняет пропускание при повороте.

Закон носит имя французского физика Этьена Луи Малюса, который исследовал поляризацию отражённого света в начале XIX века. Его имя в названии обозначает конкретную зависимость интенсивности от поворота анализатора: по ней можно сравнить положения фильтра ещё до измерения.

Формула закона Малюса

Для линейно поляризованного света интенсивность после идеального анализатора равна:

\displaystyle I=I_0\cos^2\theta

Здесь I₀ означает интенсивность перед анализатором, I после него, а θ угол между направлением поляризации входящего света и пропускающей осью фильтра. Интенсивности измеряют в одинаковых единицах; в форме используются ватты на квадратный метр. Угол вводится в градусах.

Квадрат косинуса появляется потому, что проекция амплитуды электрического поля уменьшается в cos θ раз, а интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. При 60° амплитуда становится вдвое меньше, но интенсивность уменьшается вчетверо. Подставить один косинус вместо его квадрата значит получить неверную оценку мощности.

Для неполяризованного света сначала учитывается потеря половины интенсивности в первом идеальном фильтре:

\displaystyle I=\frac{I_0}{2}\cos^2\theta

В этой формуле I₀ относится к свету до всей пары, а угол измеряется между осями двух фильтров. При параллельных осях проходит 50% исходной интенсивности. Второй фильтр уже не забирает ещё половину автоматически: свет после первого имеет определённое направление.

Как выбрать исходные данные

Сначала определите, где измерена интенсивность. Если датчик стоит перед первым поляризатором и источник неполяризованный, выбирайте соответствующий режим с двумя фильтрами. Если измерение выполнено уже после первого фильтра, полученное значение можно ввести как линейно поляризованный вход перед одним анализатором. Делить его на два повторно не нужно.

Угол здесь не показывает наклон стекла относительно луча. Даже при неизменном направлении луча можно вращать фильтр вокруг него и менять пропускание. Наклон луча к границе двух сред относится к другой задаче, которую решает калькулятор закона Снеллиуса.

Интенсивность в Вт/м² характеризует мощность, приходящуюся на площадь. Величина 1 мВт/см² равна 10 Вт/м²: милливатт в тысячу раз меньше ватта, а квадратный сантиметр в десять тысяч раз меньше квадратного метра. Люксы напрямую подставлять нельзя, поскольку они дополнительно учитывают чувствительность человеческого зрения к разным длинам волн.

Примеры с фильтрами и измерителем света

Проверка анализатора на учебной установке. Линейно поляризованный пучок имеет интенсивность 100 Вт/м². При повороте анализатора на 60° получаем 100 × 0,25 = 25 Вт/м². Если датчик показывает около 50 Вт/м², проверьте отсчёт угла и настройки измерения: половине исходного света в этой модели соответствует 45°, а не 60°.

Два фильтра перед неполяризованным источником. Начальная интенсивность равна 100 Вт/м², оси развёрнуты на 60°. Первый фильтр оставляет 50 Вт/м², второй пропускает четверть от этого значения. На выходе получается 12,5 Вт/м², или 12,5% исходного света. Для той же геометрии результат вдвое меньше, чем у уже поляризованного входа.

Измеритель показывает милливатты на квадратный сантиметр. Пусть перед анализатором измерено 2 мВт/см² линейно поляризованного света. Введите 20 Вт/м² и угол 30°. Пропускание 75% даёт 15 Вт/м², то есть 1,5 мВт/см². Перевод единиц до расчёта позволяет сравнить ответ с показанием прибора без ошибки в десять раз.

Нужно ослабить свет в десять раз. Для поляризованного входа 80 Вт/м² требуется выход 8 Вт/м². Доля пропускания равна 8 / 80 = 0,1, поэтому угол arccos √0,1 составляет примерно 71,565°. При таком повороте калькулятор покажет около 8 Вт/м². Ослабление на 90% оставляет 10%, а не 90% света.

Проверка почти скрещённых фильтров. Для поляризованного входа 200 Вт/м² и угла 89° выход составит примерно 0,0609 Вт/м². При ровно 90° идеальный результат нулевой. Всего один градус отклонения даёт измеримый остаток, поэтому небольшое ненулевое показание ещё не доказывает плохое качество фильтра.

Источник выключен. При 0 Вт/м² и угле 45° выход тоже равен нулю. При этом коэффициент пропускания одного анализатора остаётся 50%: он описывает выбранную геометрию. Это не доля фактически измеренных фотонов при выключенном источнике, а характеристика настройки системы.

Где идеальная модель расходится с опытом

Реальный фильтр может поглощать часть разрешённой поляризации, отражать свет на поверхностях и немного пропускать запрещённую составляющую. Поэтому максимум часто оказывается ниже расчёта, а минимум выше нуля. Эти потери нельзя исправить произвольным поворотом ползунка: для точного опыта нужны характеристики фильтра и измерение тёмного сигнала датчика.

Сначала измерьте фон при перекрытом пучке, затем максимум при параллельных направлениях. Сравнивайте последующие показания с максимумом после вычитания фона. Такое отношение помогает проверить форму зависимости cos²θ, даже если абсолютные потери оптики заранее неизвестны. Автоматическое изменение чувствительности прибора на время сравнения лучше отключить.

Поляризация может возникать при отражении. Особую геометрию границы прозрачных сред определяет калькулятор угла Брюстера. Она отвечает на вопрос о происхождении поляризованного отражённого света; закон Малюса затем описывает, сколько такого света пройдёт через анализатор.

Вопросы о поляризации света

При последовательном прохождении фильтров нужно каждый раз брать интенсивность после предыдущего. Для другого типа поляризации или другого способа измерения одной пары «интенсивность и угол» может быть недостаточно.

Почему при повороте на 180° свет снова проходит?

Ось линейного поляризатора не различает противоположные направления. Поэтому cos²(θ + 180°) = cos²θ. Для расчёта можно привести угол к меньшему углу между осями от 0 до 90°: например, поворот 120° даёт такое же пропускание, как 60°.

Что произойдёт, если между скрещёнными фильтрами поставить третий под 45°?

Для неполяризованного входа и осей 0°, 45°, 90° первый фильтр оставит половину света, второй половину от остатка и третий ещё половину. Итог равен I₀/8. Из 100 Вт/м² получится 12,5 Вт/м², хотя два крайних фильтра без среднего в идеальной модели не пропускали бы свет.

Можно ли вводить угол в радианах?

В форме используются градусы. Умножьте радианы на 180/π перед вводом. Например, π/3 радиана соответствует 60°. Если вместо этого ввести число 1,047, калькулятор воспримет его как угол чуть больше одного градуса и покажет почти полное пропускание поляризованного света.

Работает ли эта формула для круговой поляризации?

У круговой поляризации направление электрического поля вращается. Идеальный линейный анализатор пропускает половину её интенсивности независимо от поворота. Режим неполяризованного света в этой форме включает два фильтра, поэтому его нельзя использовать как расчёт одного анализатора для круговой поляризации.

Можно ли считать мощность вместо интенсивности?

Для одинакового сечения пучка до и после фильтра мощность изменяется в той же пропорции. Например, 4 мВт линейно поляризованного света при 60° превращаются в 1 мВт. Но единица крупного ответа в форме остаётся Вт/м², поэтому для мощности используйте показанный процент пропускания.

Подходит ли закон Малюса для частично поляризованного света?

Одного угла недостаточно: нужно знать степень и характер поляризации. Например, если из 100 Вт/м² половина приходится на линейно поляризованную часть, а половина на неполяризованную, скрещённый с первой частью идеальный анализатор всё равно пропустит 25 Вт/м² от второй. Обычная формула для полностью линейного входа дала бы неверный ноль.

Можно ли измерять интенсивность по яркости фотографии?

Число яркости пикселя обычно не пропорционально мощности света: на него влияют экспозиция, обработка и нелинейная тональная кривая. Для опыта нужен линейный отклик, фиксированные настройки и отсутствие пересвета. Изменение картинки на глаз позволяет увидеть поляризацию, но само по себе не проверяет численные проценты.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.