Калькулятор плоского конденсатора

Ёмкость по площади пластин и зазору

Две параллельные металлические пластины с тонкой изолирующей прослойкой на учебном держателе

Две пластины с площадью перекрытия 100 см² и зазором 1 мм образуют в вакууме конденсатор ёмкостью около 88,5419 пФ. Если зазор полностью заполнен однородным диэлектриком с относительной проницаемостью 4, результат увеличивается до 354,168 пФ. Площадь и расстояние остаются прежними; меняется материал между пластинами.

Калькулятор описывает одну пару параллельных проводящих пластин. Введите площадь перекрытия в квадратных сантиметрах, расстояние между поверхностями в миллиметрах и относительную проницаемость диэлектрика. Модель предполагает однородное заполнение всего зазора, линейное статическое поведение материала и малые краевые эффекты.

Ёмкость показывает отношение модуля заряда на одной пластине к напряжению между пластинами: C = Q/U. Она измеряется в фарадах, а здесь результат показан в пикофарадах. Это характеристика геометрии и среды, а не количество заряда, которое уже находится на пластинах. Для определения самого заряда понадобится напряжение.

Какие размеры и проницаемость вводить

Берите площадь одной обращённой к другой пластине поверхности в пределах их перекрытия. Две одинаковые пластины по 100 см² не дают A = 200 см². Для прямоугольника площадь равна произведению сторон, для круга πr². Площадь должна быть положительной. Если одна пластина частично сдвинута, учитывайте оставшуюся общую область.

Зазор измеряют от поверхности одной металлической пластины до обращённой к ней поверхности другой. Толщину самого металла к нему не прибавляют. Например, расстояние 200 мкм соответствует 0,2 мм. Если тонкая изоляционная плёнка полностью заполняет пространство, её толщина равна этому зазору. Воздушные прослойки требуют отдельной модели нескольких слоёв.

Относительная проницаемость εr безразмерна. Вакуум имеет εr = 1; для воздуха в учебных расчётах часто принимают приближённо 1. Для материала берите значение, относящееся к рассматриваемым условиям. Числа 2, 3 или 3,2 в примерах ниже заданы условием и не являются справочником свойств конкретных веществ.

В этой версии εr должна быть не меньше 1: выбран обычный линейный диэлектрик в статической модели. Площадь и зазор строго положительны. Нулевой зазор не означает нулевую ёмкость: при соприкосновении проводников исходная модель двух разделённых пластин перестаёт описывать устройство.

Формула и перевод в пикофарады

\displaystyle C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{A}{d}

В формуле СИ площадь A выражается в м², расстояние d в метрах, ёмкость C в фарадах. Электрическая постоянная ε0 составляет приблизительно 8,85418782·10⁻¹² Ф/м. Увеличение площади увеличивает ёмкость, а увеличение расстояния уменьшает её. При неизменных остальных данных эти зависимости линейная и обратно пропорциональная соответственно.

Один квадратный сантиметр равен 10⁻⁴ м², один миллиметр равен 10⁻³ м, один пикофарад равен 10⁻¹² Ф. Для чисел из формы получается C = 0,885418782·εr·A/d в пФ. Например, 100 см² превращаются в 0,01 м², 1 мм в 0,001 м; их отношение в СИ равно 10 м. После умножения на ε0 и перевода в пФ получается 88,5419.

Размеры, перекрытие и выбор диэлектрика

Пример 1. Площадь известна по сторонам. Пластины размером 6×4 см полностью перекрываются. Площадь одной поверхности равна 24 см². Для вакуумного зазора 1,2 мм введите A = 24, d = 1,2 и εr = 1. Ответ составляет 17,7084 пФ. Подстановка суммы двух площадей 48 см² ошибочно удвоила бы результат.

Пример 2. Полное заполнение зазора. При A = 100 см² и d = 1 мм воздушное приближение εr = 1 даёт 88,5419 пФ. Материал с заданной εr = 3,2, полностью заполняющий тот же зазор, даёт 283,334 пФ. Отношение ёмкостей равно 3,2. Этот множитель неприменим без изменений, если часть пространства осталась воздушной.

Пример 3. Уменьшение расстояния. Для площади 40 см², εr = 2 и зазора 0,6 мм получаем 118,056 пФ. При уменьшении зазора до 0,3 мм ёмкость возрастает до 236,112 пФ. Она удвоилась, хотя количество металлических пластин не изменилось. В обоих состояниях предполагается, что диэлектрик полностью занимает новый зазор.

Пример 4. Сдвиг одной пластины. При полном перекрытии пластин 5×8 см площадь равна 40 см². Для d = 0,5 мм и εr = 1 ёмкость составляет 70,8335 пФ. После сдвига общая область стала 5×4 см, то есть 20 см². Расчёт даёт 35,4168 пФ. Размеры самих пластин прежние; уменьшилась именно площадь перекрытия.

Пример 5. Небольшая поверхность и тонкая прослойка. Условная модель имеет A = 2 см², толщину полностью заполняющего диэлектрика 200 мкм и εr = 3. В поле расстояния нужны 0,2 мм. Получается 26,5626 пФ. Ввод числа 200 без перевода означал бы зазор в тысячу раз больше и дал бы ёмкость в тысячу раз меньше.

Пример 6. Проверка площади под заданную ёмкость. Для требуемых 50 пФ, d = 1 мм и εr = 2 из формулы получается A ≈ 28,2352267 см². Квадратная область такой площади имеет сторону около 5,31368 см. Подстановка найденной площади возвращает примерно 50 пФ. Это геометрический расчёт идеальной модели; он не определяет допустимое напряжение.

Когда нужна поправка к простой модели

Зазор должен быть значительно меньше размеров области перекрытия. Тогда большая часть поля близка к однородной, а вклад краёв относительно мал. Для большой щели, узких пластин или малого перекрытия простая формула может заметно отличаться от фактической ёмкости. Универсальной краевой поправки по одному A и d нет.

Непараллельные поверхности и неоднородное заполнение тоже не описываются единственным зазором и одной εr. При измерении нужно учитывать геометрию всего устройства. Шесть значащих цифр ответа позволяют сверять вычисления, но не устраняют допуски размеров. Малые ненулевые результаты показаны в научной записи; непредставимый итог вызывает ошибку вместо бесконечности или ложного нуля.

Что можно узнать по найденной ёмкости

При известном напряжении энергия конденсатора равна CU²/2. Для расчёта в СИ пикофарады переводятся в фарады. Ёмкость сама по себе не задаёт ни напряжение, ни запас энергии.

Время заряда через сопротивление зависит также от сопротивления и выбранного уровня заряда. На переменном токе ёмкостное реактивное сопротивление зависит от частоты. Эти задачи используют уже найденную C, но отвечают на другие вопросы о цепи.

Прослойки, измерения и соединение пластин

Несколько материалов или пар пластин требуют учитывать их расположение. Одинаковая доля диэлектрика не всегда означает одинаковую ёмкость.

Как учитывать воздушную прослойку вдоль зазора?

Слои вдоль поля рассматривают как последовательные ёмкости. При общей площади и пренебрежении краями C = ε0A/(d1/εr1 + d2/εr2), где размеры выражены в СИ. Если половину толщины занимает воздух, половину материал с εr = 3, эффективная проницаемость равна 1,5. Подстановка 3 для всего зазора завысила бы ёмкость вдвое.

А если диэлектрик занимает только половину площади?

При одинаковом зазоре участки рядом можно приближённо рассматривать как параллельные ёмкости, пренебрегая полями на границе участков. Если половина площади заполнена воздухом, а половина материалом с εr = 3, эффективный множитель равен 2. Это другое расположение, чем два слоя вдоль поля: там при тех же долях получалось 1,5.

При вставке диэлектрика сохраняется заряд или напряжение?

Это зависит от соединения. Если идеальный источник остаётся подключён, он поддерживает напряжение, а заряд меняется вместе с C. Например, рост C с 20 до 60 пФ при 12 В меняет заряд с 240 до 720 пКл. Если источник отключён и утечки нет, заряд сохраняется; те же 240 пКл при 60 пФ дают 4 В.

Можно ли найти зазор по измеренной ёмкости?

При известных A и εr в той же модели d = ε0εrA/C. Например, 100 пФ при площади 10 см² и εr = 2 соответствуют примерно 0,177084 мм. Если неизвестны и зазор, и проницаемость, одного измерения C недостаточно: разные пары этих параметров могут давать одинаковую ёмкость.

Как учитывать пакет из нескольких пластин?

Нужно знать соединение. Если пять одинаковых пластин поочерёдно подключены к двум выводам, четыре одинаковых зазора работают параллельно. При 30 пФ на один зазор общая ёмкость составит 120 пФ. Не умножайте автоматически на число пластин: оно отличается от числа зазоров, а другое соединение меняет результат.

Насколько важна погрешность зазора?

При фиксированных площади и проницаемости C обратно пропорциональна d. Вместо заданных 0,5 мм фактические 0,49 мм увеличат ответ примерно на 2,04%, а 0,51 мм уменьшат на 1,96%. Одинаковая абсолютная погрешность особенно заметна при тонком зазоре. Дополнительные цифры εr не исправляют ошибку измерения расстояния.

Имеет ли значение форма при одинаковой площади?

В простой формуле участвует только A, но краевые эффекты зависят от формы. Квадрат 10×10 см и прямоугольник 1×100 см имеют площадь 100 см², однако периметры равны 40 и 202 см. При зазоре 2 мм отношение зазора к короткой стороне у них различается в десять раз. Поэтому равенство расчётной ёмкости не гарантирует одинаковой точности приближения.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.