Что показывает числовая апертура
Числовая апертура показывает, насколько широкий пучок света объектив принимает от точки предмета с учётом окружающей среды. Её обозначают NA. Для объектива в воздухе с полууглом светового конуса 30° получается NA = 0,5. При длине волны 550 нм расчётный предел различения двух точек составляет 0,671 мкм по критерию Рэлея.
Представьте две близкие светящиеся точки под микроскопом. Объектив собирает от каждой расходящиеся лучи. Чем шире принятый конус, тем меньше дифракционное размытие в идеальной системе. Поэтому для сравнения способности различать мелкие детали полезна апертура, а одного увеличения «40×» недостаточно.
Как найти апертуру по углу
Расчёт объединяет две величины: показатель преломления среды перед объективом и синус половины светового конуса:
Здесь n характеризует среду между предметом и передней линзой, а θ задаёт угол между оптической осью и крайним принимаемым лучом. Обе величины в произведении безразмерные, поэтому у NA нет единицы измерения. Угол вводится в градусах.
Если на чертеже отмечен весь конус от одного крайнего луча до другого, разделите этот угол пополам. Конус 60° требует ввода 30°. Подстановка 60° вместо 30° в воздухе даст 0,866 вместо 0,5: ошибка составит примерно 73%. Такой промах заметно изменит и оценку разрешения.
Шкала угла нелинейна. При переходе с 30° к 60° синус растёт с 0,5 до 0,866, хотя сам угол удваивается. При приближении к 90° синус приближается к единице. Поэтому увеличение уже широкого конуса даёт всё меньшую прибавку апертуры.
Как выбрать показатель среды
Для учебного расчёта объектива в воздухе обычно принимают n = 1. Если пространство перед объективом заполнено иммерсионной жидкостью, вводят её показатель для выбранной длины волны. Иммерсией называют оптический контакт через жидкость между препаратом и предназначенным для этого объективом.
Не подставляйте показатель стекла линзы: поле относится к пространству перед ней. Например, при условном n = 1,5 и том же полуугле 30° получится NA = 0,75. Замена среды в этом сравнении увеличила апертуру в полтора раза, потому что геометрия конуса оставалась прежней.
Когда луч пересекает границу двух сред, его направление меняется. Если исходная схема задаёт угол с другой стороны границы, сначала найдите нужный угол через калькулятор закона Снеллиуса. В апертурную формулу должны попасть показатель и угол, относящиеся к одной и той же среде.
Что означает разрешение по Рэлею
Разрешение здесь выражено минимальным расстоянием между двумя точками в плоскости предмета. Меньшее число означает возможность различить более близкие точки в принятой модели. Для круглой идеальной апертуры используется критерий Рэлея:
λ обозначает длину волны в вакууме, d расстояние между точками. Критерий соответствует положению, при котором центр дифракционного пятна одной точки совпадает с первым тёмным кольцом другой. Это условная граница различения двух одинаковых некогерентных точечных источников, то есть источников без фиксированной связи фаз.
Калькулятор принимает нанометры и выдаёт микрометры: 1000 нм составляют 1 мкм. Например, 550 нм равны 0,55 мкм, поэтому при NA = 0,5 вычисление выглядит как 0,61 × 0,55 / 0,5 = 0,671 мкм. Это расстояние на препарате. Диаметр пятна на фотоматрице по числу диафрагмы рассчитывает калькулятор дифракционного предела.
Длина волны влияет только на дополнительный результат этой формы. Если заменить 550 нм на 450 нм при прежних среде и угле, NA останется прежней, а расстояние Рэлея уменьшится. Уменьшение λ на 10% уменьшает расчётное d ровно на 10%.
Примеры для воздуха, иммерсии и разных цветов
В примерах ниже длина волны задана в вакууме, угол измерен от оси, а расстояние относится к предмету. Каждый набор можно повторить в трёх полях формы и сравнить с соседним, меняя один параметр.
Воздух, 30° и 550 нм. Введите 1, 30 и 550. Синус 30° равен 0,5, поэтому NA = 1 × 0,5 = 0,5. Расстояние Рэлея составляет 0,671 мкм, полный угол конуса 60°. Это стартовый пример для проверки единиц: ответ 671 нм означает ровно то же расстояние.
Среда с показателем 1,5, 30° и 550 нм. Измените только первое поле. Получится NA = 0,75 и d ≈ 0,447333 мкм. Различимое расстояние уменьшилось в полтора раза. Результат описывает сравнение двух заданных оптических условий; он не обещает, что сухой объектив станет иммерсионным после добавления жидкости.
Воздух, 60° и 550 нм. Верните показатель 1 и увеличьте полуугол до 60°. Теперь NA ≈ 0,866025, а d ≈ 0,387402 мкм. Полный конус составляет 120°. По сравнению с первым примером расстояние сократилось примерно на 42%, хотя полуугол вырос на 100%.
Воздух, 30° и 450 нм. Верните полуугол 30° и выберите более короткую волну. NA снова равна 0,5, а d = 0,549 мкм. Если вместо этого ввести 650 нм, получится 0,793 мкм. Разница двух оценок составляет 0,244 мкм при совершенно одинаковой апертуре.
Среда с показателем 1,5, 60° и 550 нм. Введите эти три числа одновременно. NA ≈ 1,299038, d ≈ 0,258268 мкм. Ответ выше единицы корректен: предел для заданной среды равен 1,5. Ошибкой было бы обрезать результат на отметке 1 только потому, что у синуса такой максимум.
Предельный полуугол 90° в воздухе. При 1, 90 и 550 получаются NA = 1 и d = 0,3355 мкм. Полный угол равен 180°. Это математическая граница модели, а не обещание достижимых характеристик обычного объектива. Значение 0° даёт нулевую апертуру, поэтому конечного разрешения по этой формуле уже нет.
Как сравнивать объективы по результату
Сначала оставьте одну длину волны для обоих вариантов. Иначе сравнение смешает свойства объектива с изменением света. Затем сопоставьте NA и расстояние d: удвоенная апертура при постоянной λ даёт вдвое меньшее расстояние. Например, переход от 0,4 к 0,8 при 550 нм меняет оценку с 0,83875 до 0,419375 мкм.
Далее проверьте, относится ли каждый угол к рабочей среде объектива. Нельзя сравнивать угол в воздухе с углом внутри жидкости, сохранив для обоих n = 1. При заданной геометрии произведение n sin θ прямо покажет последствия такой подмены.
Для настоящего изображения существенны также освещение, контраст препарата, фокусировка и оптические искажения. Число Рэлея служит ориентиром идеальной модели. Оно не определяет осевое разрешение, глубину резкости или гарантированно видимый размер любой структуры.
Вопросы об апертуре микроскопа
Маркировку объектива, угол на схеме и расстояние между точками легко перепутать. Для проверки полезно уточнить, к какой стороне оптической системы относятся числа и какой критерий разрешения выбран.
Что означает запись 40×/0,65 на объективе?
В такой записи 40× обозначает увеличение объектива, а 0,65 его числовую апертуру. Для оценки по Рэлею при 550 нм используйте именно 0,65: получится около 0,516 мкм. Первое число не подставляют вместо NA.
Как найти полуугол, если NA уже известна?
Разделите NA на показатель среды и найдите арксинус: θ = arcsin(NA/n). Например, NA = 0,5 в воздухе даёт 30°. Отношение должно быть не больше единицы. Если NA = 1,2, а n = 1, такой угол в принятой модели невозможен.
Можно ли принять половину диаметра линзы за апертуру?
Радиус линзы измеряется в миллиметрах, а числовая апертура безразмерна. Чтобы перейти от геометрии к NA, нужен угол принятого светового конуса со стороны предмета. Одного диаметра без положения предмета и устройства оптики для этого недостаточно.
Почему формула Аббе даёт другое разрешение?
Оценка λ/(2NA) использует коэффициент 0,5, а выбранный здесь критерий Рэлея для пары точек использует 0,61. При 550 нм и NA = 0,5 это соответственно 0,55 и 0,671 мкм. Различаются критерии и условия задачи, поэтому результаты не нужно усреднять.
Нужно ли делить длину волны на показатель иммерсии?
В этой форме вводят длину волны в вакууме. Показатель среды уже участвует в NA = n sin θ. Если дополнительно заменить введённую λ на λ/n, разрешение окажется ошибочно улучшено ещё в n раз.
Поможет ли более сильный окуляр уменьшить рассчитанное расстояние?
При прежних NA и длине волны результат останется тем же: увеличение окуляра не входит в формулу. Оно делает изображение крупнее для наблюдателя, но само по себе не уменьшает дифракционное размытие в плоскости предмета.
Почему увеличение полуугла с 80° до 90° почти не меняет NA?
Синус 80° уже равен примерно 0,9848, а синус 90° равен 1. При постоянной среде прибавка апертуры составляет только около 1,54%. Угловая шкала возле предела сильно отличается от линейного изменения самого угла.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор дифракционного предела. Сравните диск Эйри с размером пикселя при выбранной диафрагме.
- Калькулятор тонкой линзы. Введите фокусное расстояние и расстояние до предмета.
- Калькулятор по закону Снеллиуса. Введите показатели двух сред и угол падения к нормали.
- Калькулятор перевода в тонны. Иногда может потребовать перевести одну единицу веса в другую, например, в тонны. И для этой цели очень пригодится специальный калькулятор.
- Калькулятор объема трубы. Рассчитайте онлайн объем трубы в куб. м. или литрах в зависимости от диаметра и длины трубопровода.
- Калькулятор мощности тока. Рассчитайте онлайн мощность электрического тока в ваттах (Вт) в зависимости от силы тока, напряжения и сопротивления.
- Калькулятор средней скорости. Введите расстояние и время, чтобы найти среднюю скорость движения.
- Калькулятор коэффициента трения. Рассчитайте коэффициент трения по углу наклона или через массу силу трения.
- Калькулятор закона Ома. Рассчитайте сопротивление, силу тока и напряжение в зависимости от известных параметров.
- Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.