Треугольники классифицируют по двум признакам: длинам сторон и величинам углов. По сторонам они бывают равносторонними, равнобедренными и разносторонними, по углам: остроугольными, прямоугольными и тупоугольными. Поэтому один треугольник получает сразу две характеристики. Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 одновременно разносторонний и прямоугольный.
Дальше вы узнаете, что можно понять о фигуре из одного названия, как определить её вид без транспортира и где существует треугольник сразу с тремя прямыми углами.
В статье вы узнаете:
У обычного треугольника есть сразу два ответа на вопрос «какой он»: по сторонам и по углам. Эти характеристики дополняют друг друга. Например, равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.
Равносторонний треугольник. Все три стороны равны. Равны и все три угла, поэтому каждый составляет 60°. У такого треугольника три оси симметрии, а любая высота одновременно служит медианой и биссектрисой.
Равнобедренный треугольник. Две стороны равны и называются боковыми, третья служит основанием. Углы напротив равных сторон тоже равны. Высота, проведённая из вершины к основанию, делит основание и угол при вершине пополам.
Разносторонний треугольник. Все три стороны имеют разную длину. Его углы тоже различаются: напротив самой длинной стороны лежит самый большой угол, напротив самой короткой стороны самый маленький.
Важно. В школьной классификации равносторонний и равнобедренный треугольники обычно перечисляют как разные виды. В математической литературе равнобедренный треугольник могут определять как фигуру, у которой равны как минимум две стороны. Тогда равносторонний становится частным случаем равнобедренного. Свойства фигур не меняются, меняется только граница термина [Wolfram MathWorld].
Остроугольный треугольник. Все три угла меньше 90°. Любой равносторонний треугольник относится к этому виду, потому что его углы равны 60°. Если встретите такой треугольник не в тетради, а в виде металлической детали, об него и правда можно порезаться. Правда, виноват будет острый край, а не геометрическая классификация.
Прямоугольный треугольник. Один угол равен 90°. Две стороны рядом с ним называются катетами, а сторона напротив прямого угла гипотенузой. Гипотенуза всегда длиннее каждого катета.
Тупоугольный треугольник. Один угол больше 90°, два остальных угла острые. Двух прямых или двух тупых углов быть не может: сумма трёх углов плоского треугольника равна 180° [OpenStax, Contemporary Mathematics].
При школьном разделении на три вида по сторонам получается семь сочетаний.
Равносторонний бывает только остроугольным. Три равные стороны дают три угла по 60°, поэтому прямоугольный или тупоугольный вариант на плоскости построить нельзя.
Равнобедренный бывает остроугольным, прямоугольным и тупоугольным. Например, стороны 5, 5 и 6 дают остроугольный треугольник, 5, 5 и 5√2 прямоугольный, а 5, 5 и 8 тупоугольный.
Разносторонний тоже бывает любого из трёх угловых видов. Стороны 4, 5 и 6 дают остроугольный треугольник, 3, 4 и 5 прямоугольный, а 2, 3 и 4 тупоугольный.
Если углы уже измерены, классификация закончена. Если известны только стороны, оба названия всё равно можно получить за четыре шага.
Если вы знаете длины трёх сторон, транспортир не понадобится. Вы сможете определить оба вида треугольника: сначала упорядочить значения и проверить существование фигуры, затем сравнить стороны и их квадраты.
Шаг 1. Расположите стороны по возрастанию. Обозначьте их как a ≤ b ≤ c. Буква c будет соответствовать самой длинной стороне и самому большому углу напротив неё.
Шаг 2. Проверьте, существует ли треугольник. Сумма двух коротких сторон должна быть больше длинной: a + b > c. Из отрезков длиной 2, 3 и 6 треугольник не сложится, потому что 2 + 3 < 6. При равенстве a + b = c вершины окажутся на одной прямой. Это вырожденная фигура без площади внутри.
Шаг 3. Определите вид по сторонам. Три равных значения дают равносторонний треугольник, два равных равнобедренный, три разных разносторонний.
Шаг 4. Сравните квадраты сторон. Вид по углам определяется тремя условиями:
Правило следует из теоремы косинусов. Для угла γ напротив самой длинной стороны c она записывается так:
Здесь a, b и c обозначают стороны, а γ обозначает самый большой угол. Если числитель равен нулю, косинус тоже равен нулю, а угол составляет 90°. Положительный косинус соответствует острому углу, отрицательный тупому [OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e].
Стороны 3, 4 и 5. Все значения различаются, значит, треугольник разносторонний. Равенство 5² = 3² + 4² выполняется, потому что 25 = 9 + 16. Треугольник прямоугольный.
Стороны 5, 5 и 8. Две стороны равны, значит, треугольник равнобедренный. Здесь 8² > 5² + 5², потому что 64 > 50. Треугольник тупоугольный.
Стороны 5, 5 и 5. Треугольник равносторонний. Здесь 5² < 5² + 5², потому что 25 < 50. Все его углы острые.
Если стороны получены измерением, помните о погрешности. При почти равных значениях c² и a² + b² округление может изменить классификацию. Для школьной задачи используйте заданные числа, а для реального объекта сравните возможную разницу с точностью рулетки или другого инструмента.
Те же три стороны позволяют найти площадь без высоты и углов. Для этого используется формула Герона. Если нужен только результат, можно сразу рассчитать площадь треугольника по трём сторонам, основанию и высоте либо двум сторонам и углу между ними.
Название треугольника здесь не школьная бюрократия, а короткая шпаргалка. Слово «прямоугольный» сообщает один угол и самую длинную сторону. Слово «равнобедренный» сообщает о равных сторонах, равных углах и оси симметрии. Благодаря этому часть значений можно вывести без новых измерений.
Прямоугольный треугольник помогает находить расстояния. Если два катета равны 3 и 4, гипотенуза равна 5, потому что 3² + 4² = 5². Та же логика работает для экрана, комнаты или прямоугольного участка: достаточно измерить длину и ширину, чтобы рассчитать диагональ прямоугольника.
Равнобедренный треугольник раскрывает углы и симметрию. Пусть угол между равными сторонами составляет 40°. Два угла при основании равны, а их сумма составляет 140°. Значит, каждый равен 70°. Высота к основанию одновременно делит основание и верхний угол пополам.
Равностороннему треугольнику достаточно одной стороны. Если сторона равна 6 см, остальные стороны тоже равны 6 см, периметр составляет 18 см, каждый угол равен 60°, высота равна 3√3 см, а площадь 9√3 см². Вместо нескольких измерений понадобилось одно число.
Треугольные рамы сохраняют форму. Квадратную раму с шарнирными соединениями можно перекосить в ромб, не меняя длины сторон. Треугольную придётся деформировать или повредить. Поэтому треугольники используют в фермах мостов, кранов и Международной космической станции. В учебном материале NASA ученики сравнивают квадратную и треугольную рамы, затем испытывают собранные фермы грузом [NASA, Engineering Design: Trusses].
Треугольник при этом не является «самой прочной фигурой» при любых условиях. Геометрия даёт раме жёсткость, то есть способность сохранять форму. Реальная прочность зависит от материала, соединений, размеров и направления нагрузки.
Компьютерная графика тоже собирается из треугольников. Три неколлинеарные точки однозначно задают плоскость, поэтому треугольниками удобно разбивать поверхность персонажа, автомобиля или игрового ландшафта. В OpenGL базовые примитивы включают треугольники, треугольные полосы и веера, а четырёхугольник обычно растеризуется как пара треугольников [Khronos OpenGL Wiki].
Все эти свойства относятся к треугольникам из прямых отрезков на плоскости. Стоит заменить плоскость сферой, стороны дугами или само слово географическим названием, и школьные правила перестают работать буквально.
Дальше слово «треугольник» обозначает разные сущности. Сферический треугольник относится к другой геометрии. Треугольник Рёло является кривой. Треугольник Пенроуза работает как иллюзия. Бермудский треугольник и «Треугольник печали» используют знакомую форму в названии.
Треугольник с тремя прямыми углами. На плоскости он невозможен, зато строится на сфере. Поставим первую вершину на Северном полюсе, две другие на экваторе с разницей долгот 90°. Соединим полюс с каждой точкой по меридианам, а точки между собой по экватору. Получатся три прямых угла и сумма 270°.
Никакого обмана: просто плоскость незаметно сменилась сферой. Правило о сумме 180° относится к евклидовой плоскости. На сфере стороны проводят по дугам больших окружностей, а сумма углов превышает 180° и зависит от размера фигуры [NRICH, Pythagoras on a Sphere].
Треугольник с круглыми сторонами. Треугольник Рёло строится из трёх одинаковых дуг, центры которых находятся в вершинах равностороннего треугольника. Расстояние между двумя параллельными опорными линиями остаётся одинаковым при любом повороте. Проще говоря, у фигуры постоянная ширина, как у круга.
Треугольник Рёло может вращаться внутри квадрата. На этом принципе работают специальные свёрла, которые делают почти квадратные отверстия с закруглёнными углами [Wolfram MathWorld]. К школьной классификации фигура не относится: её граница состоит из дуг, а не из трёх отрезков.
Треугольник, который существует только с правильного ракурса. Треугольник Пенроуза выглядит как три балки, соединённые в замкнутую объёмную конструкцию. Каждый отдельный угол кажется нормальным, но все три нельзя соединить в реальном пространстве именно так, как показывает плоский рисунок.
Лайонел и Роджер Пенроузы опубликовали знакомую версию фигуры в 1958 году. Ранее похожий объект независимо нарисовал шведский художник Оскар Реутерсвард. Физическую модель можно собрать так, чтобы она казалась невозможным треугольником с одной выбранной точки [Science Museum Group].
Треугольник без официальных границ. Бермудским треугольником называют область в западной части Северной Атлантики, где якобы особенно часто исчезают корабли и самолёты. Совет США по географическим названиям не признаёт это название официальным и не ведёт отдельного файла по области.
NOAA объясняет происшествия погодой, Гольфстримом, мелководьем, сложной навигацией и человеческими ошибками. Ведомство не нашло доказательств того, что загадочные исчезновения происходят здесь чаще, чем в других крупных и загруженных районах океана [NOAA, Bermuda Triangle].
Треугольник печали. Так называется фильм шведского режиссёра Рубена Эстлунда. Выражение пришло из эстетической медицины и обозначает морщину между бровями. В Швеции её называют «морщиной беспокойства». Режиссёр использовал образ как символ времени, в котором внешний вид может заботить людей сильнее внутреннего состояния [Festival de Cannes, 2022].
Что хочется сказать в конце. Возьмите рулетку и измерьте три стороны треугольной детали, полки или рамы. Сначала расположите числа по возрастанию и проверьте, что a + b > c. Затем сравните равенство сторон и квадраты c² и a² + b². Так один реальный предмет получит сразу два точных названия, а его площадь можно будет рассчитать без высоты.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.