Формула Герона

Формула Герона находит площадь треугольника по трём сторонам. Сначала нужно проверить, что такой треугольник существует, а затем вычислить полупериметр.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

Формула Герона

Формула особенно удобна, когда высота неизвестна: например, у треугольного участка измерили только три края. Но три любых числа ещё не обязательно образуют треугольник.

В статье вы узнаете:

Герон записал способ найти площадь без высоты

Герон Александрийский - греческий математик и инженер, работавший в Александрии примерно в I веке нашей эры. Он описывал автоматы, механизмы, способы измерения и геометрические задачи.

В его труде «Метрика» записано правило для площади треугольника по трём сторонам. Сегодня его называют формулой Герона.

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а p - половина их суммы. Тогда:

p=a+b+c2\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}
S=p(p−a)(p−b)(p−c)\displaystyle S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Формула не просит измерять углы или высоту. Достаточно трёх сторон. Калькулятор площади треугольника применяет это правило в режиме расчёта по трём сторонам.

Однако до подстановки нужно сделать одну короткую проверку.

Сумма любых двух сторон должна быть больше третьей

Попробуйте соединить отрезки длиной 2, 3 и 6 см. Два коротких вместе дают только 5 см и не дотягиваются до концов длинного. Треугольник не замкнётся.

Для настоящего треугольника одновременно выполняются три неравенства:

a+b>c,a+c>b,b+c>a\displaystyle a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a

Обычно достаточно найти самую длинную сторону и проверить, что две остальные в сумме больше неё. Если это верно, два других неравенства автоматически выполняются для положительных длин.

При равенстве, например 2 + 3 = 5, фигура распрямляется в отрезок. Её площадь равна нулю. Если сумма меньше, треугольника вообще нет.

Формула Герона замечает проблему сама: один множитель под корнем становится нулём или отрицательным. Но лучше проверить условие заранее и не принимать математическую ошибку за площадь.

Полупериметр собирает три проверки в одну запись

Периметр - сумма всех сторон. Полупериметр p - ровно половина этой суммы. Он нужен не ради сокращения одного длинного выражения.

Посмотрим на один множитель формулы:

p−a=b+c−a2\displaystyle p-a=\frac{b+c-a}{2}

Число b + c − a показывает, насколько две стороны b и c длиннее стороны a. Пока этот запас положительный, они могут встретиться и замкнуть треугольник. Если запас равен нулю, треугольник распрямляется.

Точно так же p − b и p − c связаны с двумя другими неравенствами треугольника. Поэтому под корнем стоят сразу четыре длины: половина всего периметра и три половины «запасов».

Это удобный смысл полупериметра: он одним числом связывает общий размер треугольника и то, насколько каждая сторона короче суммы двух остальных.

Все четыре множителя измеряются в единицах длины. Их произведение имеет четвёртую степень длины, а квадратный корень возвращает квадратную единицу - именно то, что нужно площади.

Для сторон 7, 8 и 9 площадь равна примерно 26,83

Сначала проверяем существование. Самая длинная сторона равна 9, а 7 + 8 = 15. Сумма больше 9, значит треугольник существует.

Находим полупериметр:

p=7+8+92=12\displaystyle p=\frac{7+8+9}{2}=12

Теперь вычисляем три разности: p − 7 = 5, p − 8 = 4, p − 9 = 3. Подставляем:

S=12×5×4×3=720=125≈26,83\displaystyle S=\sqrt{12\times5\times4\times3}=\sqrt{720}=12\sqrt5\approx26{,}83

Если стороны были указаны в сантиметрах, ответ равен 26,83 см². Если в метрах - 26,83 м².

Не округляйте полупериметр и разности раньше времени. В этом примере они целые, но при сторонах 4,2; 5,1 и 6,3 см получатся десятичные числа. Сохраняйте их в калькуляторе и округляйте только финальную площадь.

Другие формулы и способы разбирать составные контуры собраны в статье «Как найти площадь фигуры».

Формула Герона получается из высоты и теоремы косинусов

Возьмём угол A между сторонами b и c. Через этот угол обычная формула площади выглядит так:

S=bcsin⁡A2\displaystyle S=\frac{bc\sin A}{2}

Но угол нам неизвестен. Теорема косинусов выражает его через три стороны:

cos⁡A=b2+c2−a22bc\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

Так как sin²A = 1 − cos²A, можно избавиться от угла. После подстановки и умножения на 16 получается:

16S2=4b2c2−(b2+c2−a2)2\displaystyle 16S^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

Справа стоит разность квадратов. Она раскладывается на четыре понятных множителя:

16S2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)\displaystyle 16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

Теперь заменим суммы через p: a + b + c = 2p, −a + b + c = 2(p − a) и так далее. Справа появляется 16p(p − a)(p − b)(p − c). Сокращаем 16 и извлекаем корень - получаем формулу Герона. Площадь неотрицательна, поэтому здесь выбирают неотрицательное значение. Разбор знаков √ и ± показывает, почему второе решение уравнения для S² не становится отрицательной площадью.

Почти плоский треугольник усиливает ошибку измерения

Пусть две стороны в сумме лишь немного больше третьей. Треугольник получается очень узким, его площадь близка к нулю. Тогда ошибка линейки в несколько миллиметров может заметно изменить результат.

Например, стороны 5, 5 и 9,99 образуют треугольник, а 5, 5 и 10 - уже вырожденный отрезок. Эти наборы почти не различаются на глаз, но геометрически находятся по разные стороны границы.

Для реального участка измерьте каждую сторону несколько раз. Не показывайте в ответе больше знаков, чем позволяет точность рулетки. Формула может выдать 12,483917 м², но при измерениях до сантиметра такая точность является выдуманной.

Если доступна высота, полезно проверить ответ второй формулой S = ah ÷ 2. Большое расхождение означает ошибку в измерении, единицах или вводе.

Главный вывод. Формула Герона действительно находит площадь только по трём сторонам, но сначала стороны должны образовать треугольник. Полупериметр связывает общий размер фигуры с тремя неравенствами, а точность ответа ограничена точностью измерений.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётовФормула Герона