1% в месяц и 12% годовых: почему это не одно и то же

Месячная ставка 1% даёт эффективные 12,68% за год только с капитализацией.

Евгений Буянов - автор статьи, основатель проекта, преподаватель МГУ имени М.В. Ломоносова.

1% в месяц и 12% годовых: почему это не одно и то же

Дальше вы проведёте 100 000 ₽ через двенадцать начислений, переведёте эффективную годовую ставку обратно в месячную и соберёте короткую проверку для вклада, кредита или инвестиционного предложения.

В статье вы узнаете:

Процент второго месяца начисляется уже на увеличенную сумму

Начнём со 100 000 ₽ и ставки 1% за месяц. После первого начисления на счёте 101 000 ₽. Во втором месяце процент считается не от прежних 100 000 ₽, а от 101 000 ₽. Доход равен уже 1 010 ₽, итоговая сумма 102 010 ₽.

Каждый следующий месяц повторяет ту же операцию: прежний результат умножается на 1,01. За двенадцать месяцев коэффициент применяется двенадцать раз.

100 000×(1+0,01)12=112 682,50\displaystyle 100\,000\times(1+0{,}01)^{12}=112\,682{,}50

Доход равен 12 682,50 ₽, то есть 12,6825% от первоначальной суммы. Простое умножение 1% × 12 даёт 12%, потому что оно складывает двенадцать одинаковых процентов от одной базы. Капитализация каждый раз немного увеличивает эту базу.

Разница 682,50 ₽ не является подарком банка или ошибкой калькулятора. Это доход на ранее начисленный доход. Чем выше ставка и чаще капитализация, тем заметнее расхождение.

Калькулятор сложного процента показывает эту механику для ежедневной, ежемесячной, квартальной и годовой капитализации. Укажите нулевые пополнения, чтобы увидеть только влияние периодичности.

Номинальная ставка задаёт части, эффективная показывает итог

Номинальная годовая ставка задаёт ставку за период через простое деление. Если указано 12% годовых с ежемесячной капитализацией, периодическая ставка в учебной модели равна 12% ÷ 12 = 1% в месяц.

Эффективная годовая ставка показывает фактический относительный рост за год с учётом капитализации. Для 12% номинальных и двенадцати начислений она равна:

rэфф=(1+rномm)m−1\displaystyle r_{\text{эфф}}=\left(1+\frac{r_{\text{ном}}}{m}\right)^m-1

rэфф обозначает эффективную годовую ставку, rном номинальную годовую ставку в долях единицы, m количество начислений за год.

(1+0,1212)12−1≈0,126825\displaystyle \left(1+\frac{0{,}12}{12}\right)^{12}-1\approx0{,}126825

Получаем около 12,68%. Теперь видно, почему фразы «1% в месяц» и «12% годовых» остаются неполными без ещё одного условия. Нужно знать, является ли годовая ставка номинальной или эффективной и прибавляются ли проценты к сумме каждый месяц.

Официальный словарь Investor.gov отдельно отмечает: месячную доходность можно умножить на 12, чтобы выразить годовую ставку, которую часто называют APR. Такая годовая запись ещё не показывает результат сложного начисления. [Investor.gov, Annual Return]

У эффективных 12% месячный эквивалент меньше 1%

Обратная задача возникает, когда известен именно годовой итог. Допустим, предложение обещает эффективный рост 12% за год, а начисление нужно представить двенадцатью одинаковыми месячными периодами.

Простое деление дало бы 1%, но двенадцать таких начислений создали бы уже 12,68%. Поэтому извлекают корень двенадцатой степени:

rмес=(1+rгод)1/12−1\displaystyle r_{\text{мес}}=(1+r_{\text{год}})^{1/12}-1
(1+0,12)1/12−1≈0,009489\displaystyle (1+0{,}12)^{1/12}-1\approx0{,}009489

Месячный эквивалент равен примерно 0,9489%. Если каждый месяц увеличивать сумму на этот процент, через год получится ровно коэффициент 1,12.

Здесь легко перепутать направление. Из номинальных 12% получают 1% делением на 12. Из эффективных 12% получают около 0,9489% через корень. Одинаковая надпись «12% годовых» без определения допускает два разных расчёта.

Ставка и период должны говорить на одном языке. Месячный процент нельзя подставлять в годовую формулу как 0,01 на один период, если срок задан годами. Сначала приведите ставку и количество периодов к одной шкале.

Умножение на 12 правильно называет ставку, но не всегда итог

Умножать месячную ставку на 12 можно, когда нужно получить номинальную годовую запись. Один процент в месяц превращается в 12% номинальных годовых. Это полезное соглашение, если рядом явно указана периодичность начисления.

Та же операция даёт точный годовой доход при простых процентах, когда каждый месяц 1% считают от неизменных 100 000 ₽ и не прибавляют к базе. Двенадцать начислений по 1 000 ₽ дадут 12 000 ₽.

Умножение перестаёт показывать итог, когда начисленный доход начинает сам приносить доход. Тогда работает степень. Для меняющейся ставки нужна уже последовательность разных коэффициентов: месяц +0,8%, затем +1,2%, потом −0,5% нельзя честно заменить одним средним без проверки.

С пополнениями становится сложнее ещё на шаг. Деньги, внесённые в январе, участвуют почти во всех начислениях, декабрьское пополнение только в последних. Эффективная ставка описывает доходность механизма, но итоговый процент ко всем вложенным деньгам зависит от дат взносов.

Поэтому фраза «за год получилось 12,68%» относится к одной начальной сумме без снятий и пополнений при постоянном 1% в месяц. Уберите любое условие, и ответ может измениться.

Арифметическое среднее тоже не заменяет итог. Если инвестиция выросла на 10%, а затем упала на 10%, средняя месячная доходность равна нулю. Но 100 000 ₽ сначала превращаются в 110 000 ₽, затем уменьшаются до 99 000 ₽. Итог равен −1%, потому что падение считается от более крупной базы.

Для переменных результатов нужен общий коэффициент роста. Все месячные коэффициенты перемножают, а затем при необходимости извлекают корень нужной степени. Обычное среднее годится для описания ряда, но не обязано воспроизводить путь денег.

Три надписи «12%» превращают 100 000 ₽ в три суммы

Сравним три учебных предложения на один год без пополнений, снятий, налогов и комиссий. Во всех крупно написано число 12%, но уточнения различаются.

12% эффективных годовых. Это уже итоговый рост за год. Сто тысяч рублей превращаются в 112 000 ₽ независимо от того, как продукт показывает промежуточные начисления, если условия действительно гарантируют такой эффективный результат.

12% номинальных с ежеквартальной капитализацией. Каждые три месяца применяется 3%. За четыре начисления итоговый коэффициент равен 1,03⁴. На счёте получится около 112 550,88 ₽, эффективная ставка 12,55%.

12% номинальных с ежемесячной капитализацией. Каждый месяц применяется 1%. Итог равен 112 682,50 ₽, эффективная ставка около 12,68%.

Частая капитализация дала больше денег при одной номинальной ставке. Но из этого нельзя делать вечный рейтинг продуктов. Комиссия 1 000 ₽ только у более доходного варианта перевернёт разницу с квартальным, досрочное закрытие может отменить начисленный доход, а плавающая ставка изменит весь будущий ряд.

Поэтому сначала переводите рекламную цифру в итоговую сумму на одинаковую дату. После этого добавляйте условия, из-за которых деньги могут не дожить до красивого результата.

Проценты по вкладу растят баланс, кредитные считают от долга

На вкладе капитализация прибавляет начисленный доход к остатку. Следующее начисление работает с большей суммой. Для вкладчика это увеличивает итоговую доходность, если деньги не снимаются.

В обычном погашаемом кредите ситуация обратная. Каждый платёж уменьшает основной долг, поэтому следующие проценты считают от меньшего остатка. Нельзя взять 12% годовых, умножить на три года и назвать результат переплатой: база меняется после каждого платежа.

Кредитный договор добавляет ещё один показатель, полную стоимость кредита. ПСК учитывает не только процентную ставку, но и платежи, от которых зависят условия кредита. Банк России требует показывать диапазон ПСК рядом с рекламной ставкой. [Банк России, рекомендации о ставках и ПСК]

Поэтому эффективная доходность вклада и ПСК кредита решают похожую задачу приведения к годовому масштабу, но используют разные денежные потоки. Первая показывает рост сбережения, вторая цену займа с обязательными расходами.

Комиссия тоже не превращается в процент простым сложением. Если с вклада удержали фиксированную сумму, её влияние зависит от размера капитала. Если услуга по кредиту оплачена в первый день, важна не только сумма, но и дата платежа.

Калькулятор должен знать частоту капитализации

Чтобы повторить пример, откройте калькулятор сложного процента. Укажите начальную сумму 100 000 ₽, срок 1 год, ставку 12% и ежемесячную капитализацию. Пополнения оставьте нулевыми.

Калькулятор воспринимает введённые 12% как номинальную годовую ставку. Он делит её на выбранное количество начислений, применяет периодический рост и показывает эффективную ставку в подробном результате. Для нашего сценария итоговая сумма равна примерно 112 682,50 ₽.

Затем переключите капитализацию на ежегодную. Теперь 12% применятся один раз, поэтому итог составит 112 000 ₽, а эффективная ставка совпадёт с номинальной.

Если сравниваете именно банковские продукты с датами и пополнениями, используйте калькулятор вклада. Он отдельно учитывает срок в месяцах, период начисления и момент регулярного взноса.

Для одной операции без временной шкалы достаточно калькулятора процентов. Он найдёт 1% от суммы или прибавит процент, но не смоделирует двенадцать последовательных начислений. Одно нажатие «+12%» и год капитализации являются разными задачами.

Сначала приведите предложения к одному году и одному сценарию

Перед сравнением выпишите не одну ставку, а условия её превращения в деньги. Удобно пройти семь вопросов:

  1. За какой период указана ставка
  2. Является ли годовая ставка номинальной или эффективной
  3. Как часто начисляются и капитализируются проценты
  4. Можно ли снимать доход и когда вносятся пополнения
  5. Какие комиссии, услуги и налоги уменьшают результат
  6. Совпадают ли срок, сумма и денежные потоки двух вариантов
  7. Какой риск и доступ к деньгам стоят за обещанной доходностью

После этого посчитайте итоговую сумму в рублях на одинаковую дату. Процент удобен для сравнения, но именно деньги показывают, что останется на счёте или сколько уйдёт кредитору.

Инфляция отвечает на следующий вопрос: сколько покупок сохранит полученная сумма. Статья о номинальной и реальной доходности показывает, почему даже эффективные 12,68% могут означать потерю покупательной способности.

Что хочется сказать в конце. Один процент в месяц превращается в 12% только как номинальная годовая запись. При ежемесячной капитализации итог равен примерно 12,68%. Спросите, как часто меняется база, приведите все ставки к одному периоду и сравните реальные денежные потоки. После этого проценты перестают притворяться одинаковыми.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

ГлавнаяЖурнал расчётов1% в месяц и 12% годовых: почему это не одно и то же