Спирограф

Как спирограф рисует узоры

Спирограф рисует узор точкой, которая движется вместе с маленьким колесом внутри большого кольца. Перо закреплено на некотором расстоянии от центра малого колеса. Меняя размеры колёс и положение пера, можно получить плавные петли, кружево, окружность или даже отрезок. Кривую такого движения называют гипотрохоидой.

В пластиковом наборе ручку вставляют в отверстие шестерёнки и прокатывают её по внутреннему краю кольца. Здесь движение вычисляется, поэтому рука не соскользнёт на последнем круге. Готовый рисунок виден сразу. Можно менять параметры, посмотреть построение по шагам и скачать полный узор в PNG размером 1200 × 1200 пикселей.

Эта версия использует только внутреннее качение. Если колесо катится снаружи другой окружности, получается другое семейство кривых, эпитрохоиды. Для свободного движения рукой подойдёт рисовалка, а для повторения собственных мазков вокруг центра есть калейдоскоп. Спирограф же задаёт всю линию тремя числами.

За что отвечают R, r и d

R обозначает радиус большого кольца, r радиус малого колеса. Малое колесо должно помещаться внутри большого: r больше нуля и меньше R. Расстояние между их центрами равно R − r. Третий параметр d задаёт, насколько далеко от центра малого колеса находится перо. При d = 0 оно стоит точно в центре, при d = r на ободе, при d > r за его пределами.

Последний вариант удобно представить как перо на коротком рычаге. В настоящей шестерёнке отверстия обычно ограничены её телом, а математическая точка может находиться дальше. Поэтому не каждый рисунок здесь получится воспроизвести обычным покупным набором. Это расширяет выбор узоров, но не меняет формулу движения.

Размеры вводятся в одних условных единицах. Числа 100 и 40 означают отношение радиусов 2,5:1, а не размер кольца в миллиметрах на экране. Изображение автоматически вписывается в квадрат с полями. Увеличение всех трёх параметров в одинаковое число раз не меняет рисунок на экране: меняется его геометрический масштаб до вписывания.

Здесь R принимает целые значения от 20 до 120, r от 1 до R − 1, d от 0 до 120. Целочисленный выбор позволяет заранее определить, когда линия замкнётся. Цвет и толщина от 1 до 6 пикселей относятся к готовому файлу, а не к радиусам. На небольшом предпросмотре тонкая линия выглядит ещё тоньше, потому что квадрат уменьшается целиком.

Какие рисунки получаются при разных настройках

Сначала полезно менять один параметр, оставляя два остальных прежними. Тогда видно, что именно создало петли или вытянуло рисунок. Эти примеры можно воспроизвести в полях; готовые варианты на панели дают несколько отправных точек.

Петли вместо простой розетки. Возьмите R = 100, r = 40 и d = 60. Перо находится дальше обода малого колеса на 20 единиц, поэтому линия образует пересекающиеся петли. При тех же радиусах уменьшите d до 30: петли сменятся более спокойным рисунком. Так можно выбрать между плотным орнаментом и линией, которую легче рассмотреть без увеличения.

Круг без кружева. При R = 100, r = 40 и d = 0 перо совпадает с центром малого колеса. Его путь становится окружностью радиуса 60 условных единиц. Вращение самого колеса уже не влияет на положение пера. Если ожидали сложный узор, сначала проверьте именно нулевое смещение. Добавление цвета не вернёт исчезнувшие лепестки.

Эллипс с понятными пропорциями. Установите R = 100, r = 50 и d = 30. Получится эллипс с полуосями 80 и 20 единиц, то есть вытянутый в четыре раза по горизонтали. Центр малого колеса движется по окружности радиуса 50, а вторая часть движения прибавляет 30 по одной оси и вычитает 30 по другой. Такой рисунок удобно сравнивать с окружностью.

Отрезок, который не сломался. Оставьте R = 100 и r = 50, но поставьте d = 50. Вертикальная координата станет нулевой при любом положении, горизонтальная будет меняться от −100 до 100. Перо проходит один отрезок туда и обратно. Это частный случай правильной геометрии, поэтому инструмент не должен придумывать ширину там, где её нет.

Кружево из почти взаимно простых размеров. При R = 100, r = 37 и d = 60 общий делитель радиусов равен 1. Центру малого колеса потребуется 37 оборотов вокруг центра кольца, чтобы общее положение повторилось. Для R = 100 и r = 40 достаточно двух. В первом варианте линия успевает заполнить рисунок гораздо плотнее; уменьшение толщины помогает различать соседние проходы.

Тот же узор другим набором чисел. Сравните R = 100, r = 40, d = 30 и R = 50, r = 20, d = 15. Все размеры уменьшены вдвое, отношения сохранились. После вписывания в одинаковый квадрат изображения совпадут. Поэтому для новой формы надо менять соотношение параметров, а не просто делать все числа больше.

Почему линия возвращается к началу

Узор складывается из двух вращений. Первое ведёт центр малого колеса по окружности, второе перемещает закреплённое перо относительно этого центра. Если обозначить угол первого движения через t в радианах, координаты точки вычисляются так:

x=(R-r)\cos t+d\cos\left(\frac{R-r}{r}t\right)

y=(R-r)\sin t-d\sin\left(\frac{R-r}{r}t\right)

x и y измеряются от центра большого кольца в тех же единицах, что и радиусы. Например, при R = 100, r = 40 и d = 30 в начале t = 0 получается x = 90, y = 0. Формулы описывают координаты на плоскости; на экране вертикальная ось направлена вниз, поэтому при отображении её знак переворачивается.

Для целых радиусов гарантированное замыкание наступает после r / НОД(R, r) оборотов центра малого колеса. НОД означает наибольший общий делитель: для 100 и 40 это 20, значит, нужно 40 / 20 = 2 оборота. Соответствующий угол t равен 4π. Для особых случаев рисунок может повториться раньше: окружности при d = 0 достаточно одного оборота. Лишние одинаковые проходы здесь не добавляются.

Большое число оборотов объясняет плотность линии, но не оценивает красоту узора. Простой эллипс может лучше подойти для маленькой наклейки, чем плотное кружево. Если нужен именно расчёт окружности по радиусу, используйте отдельный калькулятор: спирограф показывает форму, а не выводит длину полученной кривой.

Построение, цвет и готовый файл

Кнопка построения показывает движение по линии за семь секунд. Пауза сохраняет место остановки; продолжение добавляет оставшийся путь. Смена размеров, цвета или толщины возвращает полный рисунок с новыми настройками. Переход в другую вкладку останавливает анимацию, а возвращение не запускает её автоматически. Постоянно ждать построения перед каждой правкой не нужно.

PNG всегда содержит полный узор на белом фоне, даже если анимация сейчас остановлена посередине. Размер файла остаётся 1200 × 1200 пикселей. На листе при ширине 10 см это примерно 305 пикселей на дюйм, при 20 см около 152. Сильно увеличивать тонкие линии после сохранения нежелательно: растр состоит из пикселей, а не из бесконечно гладких векторных контуров.

Рецепт рисунка можно передать ссылкой: размеры, цвет и толщина записываются в часть адреса после #. Это не добавляет сам PNG в ссылку. При разрешённом хранении перезагрузка вкладки тоже возвращает согласованный набор параметров. Если поле пустое, дробное или r не меньше R, нужно исправить значение; инструмент не подменяет ошибку случайно выбранным рисунком.

Вопросы о колёсах и узорах

Похожие на вид линии могут возникать по разным причинам: из-за отношения радиусов, положения пера или простого уменьшения всего рисунка. Перед сравнением узоров полезно различать эти случаи.

Чем спирограф отличается от калейдоскопа?

Спирограф вычисляет путь одной точки при качении колеса. Калейдоскоп повторяет ваш мазок поворотами и отражениями. В первом случае форму задают радиусы и смещение пера, во втором вы сами рисуете исходную линию.

Почему рисунок иногда превращается в прямую?

При R = 2r и d = r вертикальные части движения взаимно уничтожаются. Остаётся отрезок длиной 4r, который перо проходит в обе стороны. Это корректный частный случай гипотрохоиды.

Можно ли поставить перо за пределами маленького колеса?

Да, здесь d может быть больше r. Такой параметр соответствует точке на продолжении рычага от центра колеса. В физическом наборе отверстия шестерёнки могут не позволять получить тот же рисунок без дополнительного крепления.

Обязательно ли у узора есть острые концы?

Нет. При d = r получается гипоциклоида, у которой возможны характерные острые точки. Смещение пера внутрь или наружу меняет линию. Гладкие петли, эллипсы и окружности тоже относятся к возможным результатам.

Почему увеличение всех размеров не делает узор крупнее на экране?

Предпросмотр вписывает рисунок в один и тот же квадрат. Если умножить R, r и d на общее положительное число, форма сохранится. Это изменение масштаба математической кривой, которое компенсируется её вписыванием в окно.

Сколько цветов сохраняется в одном рисунке?

Одна кривая рисуется одним выбранным цветом. Смена цвета заменяет его у всей линии. Наложение нескольких независимых слоёв в этой версии не предусмотрено; для свободного рисунка с разными цветами удобнее рисовалка.

Можно ли получить прозрачный фон или SVG?

Скачивается квадратный PNG на белом фоне. Прозрачный экспорт и отдельный SVG-файл здесь не создаются. Если важна крупная печать, сначала оцените нужный размер: увеличение растра сверх исходных 1200 пикселей не добавит новых деталей.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.