Калькулятор сферического зеркала

Положение	Перед зеркалом
Увеличение с переворотом	-0,5
Высота изображения	3 см

Как зеркало меняет размер и положение изображения

Груша и её увеличенное прямое отражение в вогнутом настольном зеркале

Вогнутое зеркало с фокусом 20 см создаст изображение предмета, стоящего в 60 см перед ним, на расстоянии 30 см. Изображение получится перевёрнутым и вдвое меньше самого предмета. Если придвинуть предмет до 10 см, отражение станет прямым и увеличится вдвое. Одно и то же зеркало может показывать очень разные картинки, потому что решающим оказывается положение относительно фокуса.

Сферическое зеркало представляет собой часть поверхности сферы. У вогнутого зеркала отражает внутренняя сторона, похожая на внутренность ложки; у выпуклого внешняя. Калькулятор находит расстояние до изображения, его высоту и ориентацию для одного реального предмета перед таким зеркалом. Все длины вводятся в сантиметрах. Фокусное расстояние задайте положительным числом: нужный знак выбирается по виду зеркала.

Откуда отсчитывать расстояния

Начало отсчёта находится в вершине зеркала: там, где его поверхность пересекает главную оптическую ось. Это центральная точка отражающей поверхности, а не край оправы и не основание подставки. Буквой a обозначим расстояние от неё до предмета, буквой b расстояние до изображения, буквой f фокусное расстояние.

Для лучей, проходящих близко к оси под небольшими углами, действует уравнение сферического зеркала:

\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}

У вогнутого зеркала f положительно, у выпуклого отрицательно. Расстояние a до реального предмета положительно в обоих случаях. Выражая неизвестное b, получаем формулу для расчёта:

\displaystyle b=\frac{fa}{a-f}

Положительное b означает, что отражённые лучи действительно сходятся перед зеркалом, с той же стороны, где находится предмет. Там можно получить изображение на экране. Отрицательное b обозначает мнимое изображение за зеркалом: пересекаются продолжения лучей, а не сами лучи. Минус описывает сторону, поэтому не нужно пытаться измерить рулеткой отрицательную длину.

Похожее уравнение есть у тонкой линзы, но физическое расположение сторон отличается. Свет проходит через линзу и отражается от зеркала. Правило «действительное изображение находится с другой стороны элемента», удобное для обычной собирающей линзы, к зеркалу переносить нельзя.

Что означает увеличение со знаком минус

Линейное увеличение m сравнивает высоту изображения с высотой предмета и одновременно указывает ориентацию. Его находят по расстояниям:

\displaystyle m=-\frac{b}{a},\qquad H=|m|h

Здесь h исходная высота, а H положительная высота изображения. При m = −0,5 изображение перевёрнуто и вдвое меньше предмета. При m = 2 оно прямое и вдвое больше. Значение −1 означает равный размер с переворотом, а не исчезновение изображения. Увеличение безразмерно; сантиметры остаются только у расстояний и высот.

Для обычного реального предмета выпуклое зеркало всегда даёт прямое уменьшенное мнимое изображение. Вогнутое меняет поведение при переходе через фокус. Поэтому на бытовом увеличительном зеркале лицо выглядит крупнее вблизи, а при удалении может перевернуться. Надпись о кратности на упаковке не заменяет расстояние до лица в конкретном опыте.

Где поставить предмет и экран

Небольшое изображение на экране. Возьмём вогнутое зеркало с f = 20 см, предмет высотой 6 см поставим в 60 см от поверхности. Расчёт даёт b = 30 см, m = −0,5 и H = 3 см. Экран нужен перед зеркалом, в 30 см от него. Расстояние между предметом и плоскостью экрана равно 30 см, а не 90 см: в этой схеме они находятся по одну сторону зеркала.

Проверка центра кривизны. Для того же зеркала передвинем предмет высотой 6 см на расстояние 40 см, равное удвоенному фокусу. Получим b = 40 см и m = −1. Перевёрнутое изображение имеет высоту 6 см и лежит в той же поперечной плоскости, что и предмет. В учебном опыте предмет и экран приходится размещать с учётом этого совпадения, а не ожидать свободного промежутка между ними.

Увеличенная проекция. При f = 20 см и a = 30 см изображение отодвигается до 60 см, увеличение равно −2. Предмет высотой 6 см даст перевёрнутое изображение высотой 12 см. Если нужен увеличенный рисунок на экране, предмет располагают между фокусом и центром кривизны. Экран при этом понадобится дальше от зеркала, чем сам предмет.

Зеркало для близкого рассматривания. Поставим предмет высотой 6 см в 10 см от вогнутой поверхности с f = 20 см. Получаются b = −20 см, m = 2 и H = 12 см. Видимое изображение находится за зеркалом и остаётся прямым. Экраном его не поймать, зато наблюдатель видит увеличенное отражение. Этот результат объясняет удобство вогнутого настольного зеркала на небольшом расстоянии.

Выпуклое зеркало. Выберем выпуклый вид, модуль фокусного расстояния 20 см, расстояние до предмета 60 см и высоту 6 см. В формулу входит f = −20 см. Ответ b = −15 см, m = 0,25 и H = 1,5 см: изображение прямое и вчетверо меньше. Такой расчёт помогает понять уменьшенный масштаб отражения, но сам по себе не определяет угол обзора зеркала: для него нужны ещё размеры поверхности и положение глаза.

Точно в фокусе и рядом с ним. При f = 20 см и a = 20 см конечной точки изображения нет: отражённые лучи от одной точки предмета идут параллельно. При a = 20,1 см ответ уже конечен: b = 4020 см, то есть 40,2 м, и m = −200. Сдвиг всего на миллиметр радикально меняет результат. Не следует округлять расстояние до предмета до фокуса перед вычислением, если эта разница известна.

Когда модель перестаёт описывать реальное зеркало

Уравнение относится к параксиальным лучам: они проходят близко к главной оси и образуют с ней небольшие углы. Для сферической поверхности фокусное расстояние в этом приближении равно половине радиуса кривизны, f = R/2. Радиус кривизны относится к воображаемой полной сфере. Он не равен радиусу круглой оправы, который можно измерить по диаметру зеркала.

Лучи, попадающие далеко от центра сферического зеркала, могут пересекаться с осью в разных точках. Это сферическая аберрация, из-за которой один расчёт b не гарантирует резкость всего пятна. Параболическое зеркало иначе собирает параллельный пучок; подставлять любую изогнутую поверхность как сферическую без проверки её формы нельзя.

Калькулятор также не учитывает качество покрытия, толщину стекла перед отражающим слоем, наклон предмета и ограничение пучка оправой. Геометрическое увеличение не определяет яркость или количество различимых мелких деталей. Для оценки дифракционного ограничения объектива используется числовая апертура; наличие большого отражения ещё не означает, что оно содержит больше информации.

Вопросы о расстояниях и отражении

Для применения ответа полезно отличать высоту от площади, линейный масштаб от зрительного впечатления и далёкий предмет от предмета в самом фокусе.

Можно ли по увеличению найти площадь изображения?

Для плоского предмета и подобного изображения площадь меняется пропорционально квадрату модуля линейного увеличения. При m = −2 высота и ширина удваиваются, а площадь становится в 4 раза больше. Минус указывает переворот и не делает площадь отрицательной. Для наклонной поверхности с перспективными искажениями такого простого пересчёта недостаточно.

Почему далёкий предмет даёт изображение не точно в фокусе?

Фокус соответствует параллельному падающему пучку, то есть пределу бесконечно удалённой точки на оси. При конечном расстоянии остаётся небольшая разница. Например, f = 20 см и a = 2000 см дают b ≈ 20,202 см. Для грубой оценки достаточно 20 см, но точная настройка экрана может потребовать этого смещения.

Как ввести фокус 150 мм?

Переведите миллиметры в сантиметры: 150 мм соответствуют 15 см. Расстояние до предмета и его высоту тоже приведите к сантиметрам. Если предмет находится в 0,45 м, введите 45. Для вогнутого зеркала эти значения дают изображение в 22,5 см перед поверхностью.

Получится ли рассчитать обычное плоское зеркало?

Плоское зеркало соответствует предельно большому радиусу кривизны и не имеет конечного фокусного расстояния. Для него расстояния до предмета и мнимого изображения равны по модулю, а увеличение равно 1. Предмет в 50 см перед зеркалом имеет изображение в 50 см за ним. Вводить вместо бесконечности случайное большое число не требуется.

Можно ли вывести фокус из расстояний в опыте?

Если удалось получить действительное изображение на экране и измерить a и b от вершины зеркала, используйте f = ab/(a + b). Например, предмет в 60 см и резкое изображение в 30 см дают f = 20 см. Измерения повторяют при нескольких положениях: это помогает заметить ошибку отсчёта и недостаточную резкость.

Почему увеличение в расчёте отличается от того, что видит глаз?

Здесь определяется линейное отношение размеров изображения и предмета. Глаз воспринимает угловой размер, который зависит ещё и от расстояния до видимого изображения. Поэтому m = 2 не обязательно означает ровно двукратный зрительный размер по сравнению с прямым взглядом на предмет из другого положения.

Можно ли задать предмет за зеркалом отрицательным числом?

В этой модели рассматривается реальный предмет перед отражающей поверхностью, поэтому его расстояние положительно. В составной оптической системе к зеркалу может прийти уже сходящийся пучок с мнимым предметом. Для такой задачи нужно последовательно рассчитать элементы и согласовать знаки; простая замена a на отрицательное значение здесь не предусмотрена.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.