Если в треугольнике есть прямой угол, длины его сторон связаны простым правилом: квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух остальных. Это теорема Пифагора. Она помогает найти недостающую длину, например диагональ прямоугольника, и проверить, получился ли угол 90°. Главное перед подсчётом – увидеть прямой угол и не перепутать стороны.
Начнём с лестницы у стены, затем разберём рисунок с квадратами, короткое доказательство и несколько задач, в которых легко ошибиться. После этого формула перестанет выглядеть как набор букв, который нужно угадать по памяти.
В статье вы узнаете:
Представьте учебную схему: низ лестницы стоит в 3 м от стены, верх касается стены на высоте 4 м. Стена и ровный пол встречаются под углом 90°. Вместе с лестницей они образуют прямоугольный треугольник. Горизонтальный отрезок 3 м и вертикальный 4 м называются катетами; наклонная лестница напротив прямого угла – гипотенузой.
Теорема говорит, что квадрат длины лестницы равен 3² + 4². Получается 9 + 16 = 25. Число, квадрат которого равен 25, это 5. Значит, расстояние от низа лестницы до точки её касания со стеной по прямой составляет 5 м. Здесь мы считаем геометрию между точками, а не выбираем реальную лестницу: для работы на высоте действуют отдельные правила установки и запас по длине.
Попробуйте изменить условие: отодвиньте низ лестницы от стены ещё на метр, сохранив высоту касания 4 м. Теперь оба катета по 4 м, а длина по прямой равна √(4² + 4²) = √32 ≈ 5,66 м. Прямое расстояние увеличилось, хотя высота не изменилась. Уже на этом примере видно, почему нельзя просто сложить 4 и 4: путь по наклонной короче маршрута «по полу, потом вверх по стене».
Ищите маленький квадрат в вершине, которым обычно помечают угол 90°. Две стороны, выходящие из этой вершины, – катеты. Сторона напротив неё – гипотенуза. Она самая длинная в прямоугольном треугольнике. Рисунок можно повернуть как угодно: наклон линии на странице не определяет её название.
Например, в треугольнике со сторонами 5, 12 и 13 см гипотенуза может быть нарисована горизонтально, вертикально или под углом. Если прямой угол лежит напротив стороны 13 см, именно 13 см – гипотенуза. Поворот листа не изменит длины или угол. А если на рисунке угол 90° нигде не указан, сначала нужно доказать его наличие, а не объявлять длинную сторону гипотенузой только по виду фигуры.
Обозначим катеты буквами a и b, гипотенузу буквой c. Теперь правило можно записать коротко:
Квадрат длины означает умножение числа на себя: 4² = 4 × 4 = 16. Это не «удвоить четвёрку». Если длины указаны в сантиметрах, их квадраты относятся к квадратным сантиметрам. После извлечения корня ответ о стороне снова будет в сантиметрах.
Порядок всегда один. Сначала убедитесь, что известные стороны действительно сходятся под прямым углом. Затем возведите каждую в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень:
В примере 3 и 4 см: 3² = 9, 4² = 16, сумма 25, корень из 25 равен 5. Для катетов 6 и 8 см ответ будет 10 см: 36 + 64 = 100. Если сумма квадратов не является точным квадратом, ответ нормально оставить с корнем или округлить по условию. Для катетов 2 и 3 см получим √13 см, то есть приблизительно 3,61 см. Запись «√13» точна; запись «3,61» приближённа.
Проверка здравым смыслом занимает секунду: гипотенуза должна быть длиннее каждого катета, но короче их суммы. Для катетов 2 и 3 см длина около 3,61 см попадает между 3 и 5 см. Ответ 1,2 или 8 см показал бы ошибку ещё до проверки арифметики.
На клетчатом листе иногда удобно считать без калькулятора. От одной точки до другой пройдите 6 клеток вправо и 8 вверх. Если соединить точки прямым отрезком, его длина составит 10 клеток. Здесь 6 и 8 – перпендикулярные перемещения, а прямая между точками – гипотенуза. Такой же чертёж работает для координат: разности по горизонтали и вертикали становятся катетами.
Теперь известна длинная сторона, а одна из коротких неизвестна. Перенесите квадрат известного катета на другую сторону равенства: a² = c² − b². После вычитания извлеките корень:
Допустим, диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна сторона 5 см. Диагональ делит фигуру на два прямоугольных треугольника. Неизвестная сторона равна √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Именно этот обратный ход полезен, когда дана диагональ экрана, рамки или чертежа и одна из сторон.
Вычитание здесь важно. Если по ошибке сложить 169 и 25, получится число больше 13 после извлечения корня, то есть «катет» длиннее гипотенузы. Такое невозможно в прямоугольном треугольнике. Если гипотенуза 10 см, а названный катет 12 см, действительной длины не получится: 10² − 12² меньше нуля. Исходные величины или название сторон перепутаны.
Постройте на каждой стороне прямоугольного треугольника квадрат наружу от фигуры. Если катеты равны 3 и 4 см, площади построенных на них квадратов составят 9 и 16 см². На гипотенузе 5 см получится квадрат площадью 25 см². Иными словами, площади двух меньших квадратов вместе равны площади большого: 9 + 16 = 25.
Это удобнее, чем заучивать порядок букв. Теорема сравнивает площади квадратов на сторонах, а не сами длины: 3 + 4 не равно 5. Квадрат на стороне 4 см вмещает 16 клеток 1 × 1 см, хотя его сторона всего 4 см. Поэтому в записи и стоит вторая степень.
Но один красивый треугольник 3–4–5 ещё не доказывает правило для всех размеров. Для доказательства возьмём четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой c. Сложим из них большой квадрат со стороной a + b. В одном расположении между треугольниками останется квадрат со стороной c. В другом те же четыре треугольника оставят два квадрата со сторонами a и b. Внешний квадрат и четыре вложенных треугольника одинаковы в обеих сборках. Значит, оставшаяся площадь тоже одинакова: c² = a² + b².
Внешний квадрат в обоих случаях имеет сторону a + b. Переставляем одни и те же четыре прямоугольных треугольника и сравниваем свободное место.
Остаток: c²
Остаток: a² + b²
Свободное место должно совпасть: c² = a² + b².
Почему отверстие первой сборки действительно квадрат? Его четыре стороны – одинаковые гипотенузы. Угол отверстия дополняет два острых угла исходного прямоугольного треугольника до 180°. Те вместе составляют 90°, значит, угол отверстия тоже равен 90°. Так доказательство не зависит от того, что рисунок «похож на квадрат».
Можно проверить алгеброй: площадь внешнего квадрата равна (a + b)². Четыре треугольника вместе занимают 4 × ab/2 = 2ab. Оставшееся место в первой сборке равно c², во второй a² + b². Обе записи дают одно и то же число: (a + b)² − 2ab = a² + b². Рисунок показывает идею, а вычисление проверяет её.
Если три длины уже измерены, проверьте самое большое число. Для сторон 7, 24 и 25 см получаем 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25². Значит, треугольник прямоугольный, а прямой угол находится напротив стороны 25 см. Это обратная теорема Пифагора: равенство квадратов позволяет заключить, что угол прямой.
Сравните со сторонами 7, 24 и 26 см. Сумма первых двух квадратов всё ещё 625, а 26² = 676. Прямого угла напротив стороны 26 см нет. Прежде чем сравнивать квадраты, убедитесь, что три отрезка вообще образуют треугольник: сумма двух коротких сторон должна быть больше длинной. Для 2, 3 и 6 это условие нарушено.
Знаменитая тройка 3–4–5 удобна для разметки прямого угла рулеткой: стороны можно увеличить в одном масштабе до 30–40–50 см или 3–4–5 м. Как именно ставить метки, избегать провисания рулетки и проверять раму диагоналями, показано в отдельной статье о проверке прямого угла без угольника. Здесь важно само математическое основание метода: 3² + 4² = 5².
У прямоугольника соседние стороны перпендикулярны. Диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Поэтому для длины и ширины 9 и 12 см она равна √(9² + 12²) = √225 = 15 см. Если размеры другие, можно ввести стороны в калькулятор диагонали прямоугольника и сравнить результат со своим решением. Вводите длины в одной единице, например обе в сантиметрах.
На координатной плоскости тот же чертёж соединяет точки, например A(1; 2) и B(7; 10). Горизонтальный шаг равен 7 − 1 = 6, вертикальный 10 − 2 = 8. Расстояние по прямой между A и B составляет √(6² + 8²) = 10 единиц. Это расстояние между точками, а не путь по нарисованной ломаной из 6 + 8 = 14 единиц.
Теорема помогает и при подсчёте наклонной стороны крыши, когда известны вертикальный подъём и горизонтальный пробег. Но у настоящей крыши к геометрическому треугольнику могут добавиться свесы и другие размеры. В калькуляторе длины стропил эти детали задаются отдельно. Подставлять только общий пролёт вместо половины пролёта для симметричной двускатной крыши – типичная ошибка: катетом служит именно горизонтальный отрезок от стены до конька на одном скате.
Не смешивайте длину на плоскости с пространственным расстоянием. Диагональ прямоугольника лежит в одной плоскости, а диагональ коробки проходит внутри объёма. Для коробки сначала считают диагональ основания по двум сторонам, затем применяют теорему ещё раз вместе с высотой. У коробки 3 × 4 × 12 см диагональ основания равна √(3² + 4²) = 5 см. Пространственная диагональ равна √(5² + 12²) = 13 см. Первое равенство отработало на плоском основании, второе на новом прямоугольном треугольнике внутри коробки.
В школьной задаче большой треугольник часто не прямоугольный. Это ещё не значит, что теорема не пригодится. Найдите или проведите высоту: перпендикуляр из вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона. Основание высоты может оказаться и за пределами фигуры. Получившиеся прямоугольные треугольники позволяют применить формулу.
Например, у равнобедренного треугольника две боковые стороны по 13 см, основание 10 см. Высота из верхней вершины делит основание пополам, на два отрезка по 5 см. Возьмите одну половину фигуры: её гипотенуза 13 см, один катет 5 см, второй катет пока неизвестен. Высота равна √(13² − 5²) = √144 = 12 см. Теперь можно найти площадь всего треугольника: 10 × 12 / 2 = 60 см². Если нужна только площадь по основанию и высоте, эти два числа можно проверить в калькуляторе площади треугольника.
В этом примере высота делит основание пополам потому что боковые стороны равны. У разностороннего треугольника высота не делит основание пополам; её основание может лежать даже на продолжении стороны. Ставить «половину основания» в формулу без дополнительного условия нельзя. Сначала выясните, какая именно маленькая фигура получилась, и лишь затем выбирайте её стороны.
Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику. У треугольника со сторонами 5, 5 и 6 см нет основания считать угол напротив шестёрки прямым: 5² + 5² = 50, а 6² = 36. Подстановка в формулу «для любого треугольника» дала бы неверную сторону. Для непрямоугольного треугольника нужны другие формулы: например, по трём сторонам его углы можно найти с помощью теоремы косинусов. Калькулятор решения треугольника работает с разными наборами сторон и углов.
Два числа сами по себе тоже ещё не задают ответ. Если вам известны отрезки 3 и 4 см, но неизвестно, лежат ли они под прямым углом, третья сторона может иметь разные длины. Чертёж в учебнике иногда выглядит прямоугольным из-за масштаба или неточности печати. Нужен значок 90°, прямое условие задачи или доказательство. Для трёх измеренных сторон поможет обратная теорема из предыдущего раздела.
Назвали гипотенузой сторону, которая красиво наклонена на рисунке. Найдите прямой угол, затем посмотрите строго напротив него. Поверните лист мысленно: правильное название не должно измениться.
Извлекли корень слишком рано. При катетах 3 и 4 см нужно сначала сложить 9 и 16, а затем брать √25. Отдельное извлечение корней дало бы 3 + 4 = 7, то есть путь по двум катетам вместо прямого отрезка.
Забыли единицы или точность. Если один катет равен 30 см, другой 0,4 м, сначала запишите оба в метрах: 0,3 и 0,4. Тогда гипотенуза 0,5 м, то есть 50 см. Корень из суммы квадратов с разными исходными единицами смысла не имеет. Измеренные стороны могут быть приблизительными; длинный десятичный ответ не делает измерение точнее.
Проверьте себя на трёх мини-задачах. Первая: катеты 8 и 15 см, найдите гипотенузу. Вторая: гипотенуза 10 см, один катет 6 см, найдите другой. Третья: стороны 8, 10 и 12 см, есть ли прямой угол? Попробуйте решить, прежде чем смотреть ответы.
Ответы: 17 см, потому что 64 + 225 = 289 и √289 = 17; 8 см, потому что 100 − 36 = 64; нет, потому что 8² + 10² = 164, а 12² = 144. Во всех трёх случаях самая длинная сторона известна или определяется после расчёта. Если возник другой ответ, начните проверку не с калькулятора, а с поиска прямого угла и выбора гипотенузы.
Представьте три квадрата на сторонах прямоугольного треугольника. Площадь квадрата на длинной стороне равна сумме площадей двух других. Этого образа достаточно, чтобы восстановить формулу: c² = a² + b². Нужна длинная сторона – сложите квадраты коротких. Нужна короткая – вычтите квадрат известной короткой из квадрата длинной. В обоих случаях извлеките корень и проверьте, что гипотенуза осталась самой длинной.
Если прямой угол не дан, сначала докажите его или проверьте обратную теорему по трём сторонам. Тогда теорема Пифагора превращается из заученной записи в способ увидеть структуру задачи и проверить собственный ответ.
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.