Калькулятор решения треугольника

Угол A	36,87°
Угол B	53,13°
Угол C	90°
Площадь	6 см²
Периметр	12 см

Что значит решить треугольник

Чертёж треугольника на рабочем столе рядом с линейкой и транспортиром

Решить треугольник значит найти длины всех трёх сторон и величины всех трёх углов по известным данным. Например, стороны 3, 4 и 5 задают углы примерно 36,87°, 53,13° и 90°. Калькулятор дополнительно находит площадь и периметр, а при неоднозначных данных показывает оба возможных решения.

Буквы a, b и c обозначают стороны, A, B и C обозначают противоположные им углы. Угол C находится между сторонами a и b. Поворот рисунка не меняет эти соответствия.

Каких данных достаточно для расчёта

Для произвольного треугольника нужны три известные величины, включая хотя бы одну сторону. Две стороны и угол между ними дают другую задачу, чем те же стороны и угол напротив одной из них. Проверьте подписи чертежа. Если известен только рисунок, можно измерить угол на изображении. Полученное значение не заменяет точное условие задачи, если схема нарисована без соблюдения масштаба.

Три стороны: a, b и c. Сумма любых двух должна быть строго больше третьей.
Две стороны и угол между ними: a, b и C. Положительные стороны и угол от 0° до 180°, не включая границы, задают один треугольник.
Сторона и два прилежащих угла: c, A и B. Оба угла положительные, их сумма меньше 180°.
Две стороны и угол напротив одной: a, b и A, причём A лежит напротив a. Здесь возможны два решения, одно или ни одного.

Нулевая длина или угол 180° превращают фигуру в отрезок. Равенство суммы двух сторон третьей тоже не подходит: вершины лежат на одной прямой, площади внутри нет. Подбирать формулу для такого набора бессмысленно, сначала нужно проверить размеры.

Как связаны стороны, углы и площадь

Сумма внутренних углов плоского треугольника равна 180°. Поэтому по двум углам третий находится вычитанием:

C=180^\circ-A-B

Если известны две стороны и угол между ними, третью находят по теореме косинусов:

c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}

Эта же связь позволяет восстановить угол по трём сторонам. Для угла C сначала находят косинус, затем угол, которому он соответствует:

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Когда известна пара «сторона и угол напротив», помогает теорема синусов. Она связывает каждую сторону с синусом противоположного угла:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

Площадь S равна половине произведения двух сторон и синуса угла между ними. Периметр P складывается из всех сторон:

S=\frac{ab\sin C}{2},\qquad P=a+b+c

Если длины введены в метрах, периметр получится в метрах, площадь в квадратных метрах. Для фигуры с большим числом сторон можно отдельно сложить стороны многоугольника. Углы на странице задаются в градусах. При ручной проверке на инженерном калькуляторе выбирайте режим DEG: режим RAD интерпретирует то же число как радианы и даст другой результат.

Почему иногда получается два треугольника

Представьте сторону b и заданный угол A у её конца. Свободная вершина должна одновременно лежать на луче этого угла и находиться на расстоянии a от другого конца стороны. Иногда такая окружность пересекает луч дважды. Обе точки подходят исходным данным, но дают разные третьи стороны и площади.

Для острого A удобно сравнить a с высотой h = b sin A. Если a меньше h, сторона не дотягивается до луча. При a = h получается один прямоугольный треугольник. При h < a < b существуют два решения, а при a ≥ b остаётся одно. Для прямого или тупого A решение возможно только при a > b.

В вычислениях сначала получают sin B = b sin A / a. Одинаковый положительный синус имеют углы B и 180° − B, поэтому проверяются оба. Вариант отбрасывается, если A + B ≥ 180°. Выбирать из двух ответов наугад нельзя: нужен ещё один замер, условие об остром или тупом угле либо положение вершины относительно других точек.

Как использовать результат в задаче или на чертеже

Примеры относятся к плоской фигуре. Наклонные стороны объекта и их проекции на горизонтальный план имеют разные длины: не смешивайте их в одном расчёте.

Проверка учебной задачи

Заданы a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см. Углы равны примерно 36,8699°, 53,1301° и 90°, периметр 12 см, площадь 6 см². Результат независимо проверяется равенством 3² + 4² = 5² и произведением катетов 3 × 4 / 2. Если нужна только диагональ прямоугольника со сторонами 3 и 4, её проще найти в калькуляторе диагонали.

Треугольная деталь для макета

Два ребра картонной детали имеют длину по 5 см, угол между ними равен 60°. Третье ребро тоже получается 5 см, остальные углы по 60°, площадь около 10,8253 см². Для шаблона достаточно отметить три равных отрезка. Без условия про угол одинаковая длина двух рёбер не гарантирует равенства третьего.

Расстояние до недоступной точки

На ровном плане между точками A и B известны 10 м. Направления на третью точку образуют с этим отрезком внутренние углы 30° у A и 60° у B. Получаем C = 90°, a = 5 м и b ≈ 8,6603 м. Значит, расстояние от B до третьей точки равно 5 м, от A около 8,66 м. Перестановка букв поменяла бы местами именно эти два расстояния.

Два положения соединения

У схемы соединения известны a = 7 см, b = 10 см и A = 30°. Третья сторона может быть примерно 13,5592 см или 3,7613 см. Площади тоже различаются: около 33,8981 и 9,4032 см². В первом случае B ≈ 45,5847°, во втором B ≈ 134,4153°. Одного уточнения «угол B тупой» хватит, чтобы выбрать короткую третью сторону и не вырезать деталь по чужому варианту.

Рама, которая не замкнётся

Для треугольной рамки записаны длины 2, 3 и 6 м. Две короткие стороны вместе дают только 5 м, поэтому соединить их концы с концами шестиметровой стороны невозможно. Такой ответ полезен до покупки материала: проверьте запись и повторите замер. Замена 6 на 5 тоже не решает задачу, потому что получится прямая линия, а не рамка.

Перенос размеров с плана

На чертеже масштаба 1:100 стороны равны 3, 4 и 5 см. На объекте это 3, 4 и 5 м: длины увеличены в 100 раз, углы сохранились. Площадь 6 см² на бумаге соответствует 6 м², потому что площадь увеличивается в 10 000 раз. Умножить её только на 100 было бы ошибкой. Если известны основание и высота, достаточно отдельного калькулятора площади треугольника. По тому же принципу подобия можно найти высоту дерева по двум теням.

Единицы и точность измерений

До ввода приведите стороны к одной единице: например, 50 см и 0,7 м запишите как 0,5 и 0,7 м. Количество знаков в ответе не повышает точность линейки. При замере до сантиметра длинная дробь в результате полезна для промежуточных вычислений, но не означает, что деталь известна до миллионной доли метра.

Округляйте в конце решения. Особенно чувствительны почти плоские треугольники: небольшая поправка к длинной стороне может заметно изменить площадь или превратить допустимый набор в невозможный. Если результат нужен для раскроя, сохраните исходные измерения и отдельно учтите припуск; геометрическая площадь его не содержит.

Свойства равных сторон и связь длины стороны с величиной противоположного угла подробнее объясняются в статье о видах треугольников.

Дополнительные условия задачи

В учебнике могут быть даны внешний угол, градусы с минутами или сторона, не лежащая между известными углами. Такие записи сначала нужно привести к тем величинам, которые используются в расчёте.

Можно ли решить треугольник только по трём углам?

Можно определить форму, но не размеры. У треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 10 одинаковые углы, хотя периметр второго вдвое больше, а площадь вчетверо. Нужна хотя бы одна длина, чтобы выбрать масштаб.

Что делать, если известная сторона не находится между двумя данными углами?

Вычтите два известных угла из 180°, чтобы найти третий. Переобозначьте известную сторону как c и введите прилежащие углы. Например, известны a = 5, A = 30°, B = 60°. Третий угол равен 90°, поэтому сторону 5 можно ввести как c, а прилежащие к ней углы как 60° и 90°. Размеры фигуры сохранятся, буквы изменятся.

Считается ли зеркальная копия вторым решением?

Нет. Отражение сохраняет все длины, углы, площадь и периметр. Два решения в режиме с углом напротив стороны означают два разных набора размеров, а не один треугольник, нарисованный слева и справа от линии.

Как ввести угол 30 градусов 30 минут?

Переведите минуты в долю градуса: 30 + 30 / 60 = 30,5°. В одном градусе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Для записи 30°15′30″ получится 30 + 15 / 60 + 30 / 3600, приблизительно 30,258333°. Запись 30,30° означала бы другое число.

Можно ли подставить внешний угол вместо внутреннего?

Смежный внешний угол сначала вычитают из 180°. Например, внешнему углу 120° соответствует внутренний 60°. Уточните по рисунку, что внешний угол образован стороной и продолжением соседней стороны: произвольный угол между линиями не обязательно является смежным.

Как по результату найти высоту?

Разделите удвоенную площадь на сторону, к которой нужна высота: h = 2S / c. При площади 6 см² и стороне c = 5 см высота равна 2,4 см. Высота перпендикулярна стороне или её продолжению и в тупоугольном треугольнике может проходить снаружи фигуры.

Как определить вид треугольника по найденным величинам?

Сравните стороны между собой, а углы с 90°. Равные стороны означают равнобедренную или равностороннюю фигуру; один угол 90° делает её прямоугольной, больше 90° тупоугольной. Если все углы меньше 90°, она остроугольная. Округление близкого к 90° угла до целого ещё не доказывает прямоугольность.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.