Калькулятор решения треугольника

Введите известные стороны и углы, чтобы найти остальные величины.

Сторона a
см
Сторона b
см
Сторона c
см
Все стороны в одной единице. При переключении числа не пересчитываются.

Найденные величины

Угол A:36,86989765°
Угол B:53,13010235°
Угол C:90°
Площадь:6 см²
Периметр:12 см

Читайте объяснение ниже

Что значит решить треугольник

Чертёж треугольника на рабочем столе рядом с линейкой и транспортиром

Решить треугольник значит найти длины всех трёх сторон и величины всех трёх углов по известным данным. Например, стороны 3, 4 и 5 задают углы примерно 36,87°, 53,13° и 90°. Калькулятор дополнительно находит площадь и периметр, а при неоднозначных данных показывает оба возможных решения.

Буквы a, b и c обозначают стороны, A, B и C обозначают противоположные им углы. Угол C находится между сторонами a и b. Поворот рисунка не меняет эти соответствия.

Каких данных достаточно для расчёта

Для произвольного треугольника нужны три известные величины, включая хотя бы одну сторону. Две стороны и угол между ними дают другую задачу, чем те же стороны и угол напротив одной из них. Проверьте подписи чертежа.

Нулевая длина или угол 180° превращают фигуру в отрезок. Равенство суммы двух сторон третьей тоже не подходит: вершины лежат на одной прямой, площади внутри нет. Подбирать формулу для такого набора бессмысленно, сначала нужно проверить размеры.

Как связаны стороны, углы и площадь

Сумма внутренних углов плоского треугольника равна 180°. Поэтому по двум углам третий находится вычитанием:

C=180∘−A−BC=180^\circ-A-B

Если известны две стороны и угол между ними, третью находят по теореме косинусов:

c=a2+b2−2abcos⁡Cc=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}

Эта же связь позволяет восстановить угол по трём сторонам. Для угла C сначала находят косинус, затем угол, которому он соответствует:

cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Когда известна пара «сторона и угол напротив», помогает теорема синусов. Она связывает каждую сторону с синусом противоположного угла:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

Площадь S равна половине произведения двух сторон и синуса угла между ними. Периметр P складывается из всех сторон:

S=absin⁡C2,P=a+b+cS=\frac{ab\sin C}{2},\qquad P=a+b+c

Если длины введены в метрах, периметр получится в метрах, площадь в квадратных метрах. Углы на странице задаются в градусах. При ручной проверке на инженерном калькуляторе выбирайте режим DEG: режим RAD интерпретирует то же число как радианы и даст другой результат.

Почему иногда получается два треугольника

Представьте сторону b и заданный угол A у её конца. Свободная вершина должна одновременно лежать на луче этого угла и находиться на расстоянии a от другого конца стороны. Иногда такая окружность пересекает луч дважды. Обе точки подходят исходным данным, но дают разные третьи стороны и площади.

Для острого A удобно сравнить a с высотой h = b sin A. Если a меньше h, сторона не дотягивается до луча. При a = h получается один прямоугольный треугольник. При h < a < b существуют два решения, а при a ≥ b остаётся одно. Для прямого или тупого A решение возможно только при a > b.

В вычислениях сначала получают sin B = b sin A / a. Одинаковый положительный синус имеют углы B и 180° − B, поэтому проверяются оба. Вариант отбрасывается, если A + B ≥ 180°. Выбирать из двух ответов наугад нельзя: нужен ещё один замер, условие об остром или тупом угле либо положение вершины относительно других точек.

Как использовать результат в задаче или на чертеже

Примеры относятся к плоской фигуре. Наклонные стороны объекта и их проекции на горизонтальный план имеют разные длины: не смешивайте их в одном расчёте.

Проверка учебной задачи

Заданы a = 3 см, b = 4 см, c = 5 см. Углы равны примерно 36,8699°, 53,1301° и 90°, периметр 12 см, площадь 6 см². Результат независимо проверяется равенством 3² + 4² = 5² и произведением катетов 3 × 4 / 2. Если нужна только диагональ прямоугольника со сторонами 3 и 4, её проще найти в калькуляторе диагонали.

Треугольная деталь для макета

Два ребра картонной детали имеют длину по 5 см, угол между ними равен 60°. Третье ребро тоже получается 5 см, остальные углы по 60°, площадь около 10,8253 см². Для шаблона достаточно отметить три равных отрезка. Без условия про угол одинаковая длина двух рёбер не гарантирует равенства третьего.

Расстояние до недоступной точки

На ровном плане между точками A и B известны 10 м. Направления на третью точку образуют с этим отрезком внутренние углы 30° у A и 60° у B. Получаем C = 90°, a = 5 м и b ≈ 8,6603 м. Значит, расстояние от B до третьей точки равно 5 м, от A около 8,66 м. Перестановка букв поменяла бы местами именно эти два расстояния.

Два положения соединения

У схемы соединения известны a = 7 см, b = 10 см и A = 30°. Третья сторона может быть примерно 13,5592 см или 3,7613 см. Площади тоже различаются: около 33,8981 и 9,4032 см². В первом случае B ≈ 45,5847°, во втором B ≈ 134,4153°. Одного уточнения «угол B тупой» хватит, чтобы выбрать короткую третью сторону и не вырезать деталь по чужому варианту.

Рама, которая не замкнётся

Для треугольной рамки записаны длины 2, 3 и 6 м. Две короткие стороны вместе дают только 5 м, поэтому соединить их концы с концами шестиметровой стороны невозможно. Такой ответ полезен до покупки материала: проверьте запись и повторите замер. Замена 6 на 5 тоже не решает задачу, потому что получится прямая линия, а не рамка.

Перенос размеров с плана

На чертеже масштаба 1:100 стороны равны 3, 4 и 5 см. На объекте это 3, 4 и 5 м: длины увеличены в 100 раз, углы сохранились. Площадь 6 см² на бумаге соответствует 6 м², потому что площадь увеличивается в 10 000 раз. Умножить её только на 100 было бы ошибкой. Если известны основание и высота, достаточно отдельного калькулятора площади треугольника.

Единицы и точность измерений

До ввода приведите стороны к одной единице: например, 50 см и 0,7 м запишите как 0,5 и 0,7 м. Количество знаков в ответе не повышает точность линейки. При замере до сантиметра длинная дробь в результате полезна для промежуточных вычислений, но не означает, что деталь известна до миллионной доли метра.

Округляйте в конце решения. Особенно чувствительны почти плоские треугольники: небольшая поправка к длинной стороне может заметно изменить площадь или превратить допустимый набор в невозможный. Если результат нужен для раскроя, сохраните исходные измерения и отдельно учтите припуск; геометрическая площадь его не содержит.

Свойства равных сторон и связь длины стороны с величиной противоположного угла подробнее объясняются в статье о видах треугольников.

Дополнительные условия задачи

В учебнике могут быть даны внешний угол, градусы с минутами или сторона, не лежащая между известными углами. Такие записи сначала нужно привести к тем величинам, которые используются в расчёте.

Можно ли решить треугольник только по трём углам?

Можно определить форму, но не размеры. У треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 6, 8, 10 одинаковые углы, хотя периметр второго вдвое больше, а площадь вчетверо. Нужна хотя бы одна длина, чтобы выбрать масштаб.

Что делать, если известная сторона не находится между двумя данными углами?

Вычтите два известных угла из 180°, чтобы найти третий. Переобозначьте известную сторону как c и введите прилежащие углы. Например, известны a = 5, A = 30°, B = 60°. Третий угол равен 90°, поэтому сторону 5 можно ввести как c, а прилежащие к ней углы как 60° и 90°. Размеры фигуры сохранятся, буквы изменятся.

Считается ли зеркальная копия вторым решением?

Нет. Отражение сохраняет все длины, углы, площадь и периметр. Два решения в режиме с углом напротив стороны означают два разных набора размеров, а не один треугольник, нарисованный слева и справа от линии.

Как ввести угол 30 градусов 30 минут?

Переведите минуты в долю градуса: 30 + 30 / 60 = 30,5°. В одном градусе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Для записи 30°15′30″ получится 30 + 15 / 60 + 30 / 3600, приблизительно 30,258333°. Запись 30,30° означала бы другое число.

Можно ли подставить внешний угол вместо внутреннего?

Смежный внешний угол сначала вычитают из 180°. Например, внешнему углу 120° соответствует внутренний 60°. Уточните по рисунку, что внешний угол образован стороной и продолжением соседней стороны: произвольный угол между линиями не обязательно является смежным.

Как по результату найти высоту?

Разделите удвоенную площадь на сторону, к которой нужна высота: h = 2S / c. При площади 6 см² и стороне c = 5 см высота равна 2,4 см. Высота перпендикулярна стороне или её продолжению и в тупоугольном треугольнике может проходить снаружи фигуры.

Как определить вид треугольника по найденным величинам?

Сравните стороны между собой, а углы с 90°. Равные стороны означают равнобедренную или равностороннюю фигуру; один угол 90° делает её прямоугольной, больше 90° тупоугольной. Если все углы меньше 90°, она остроугольная. Округление близкого к 90° угла до целого ещё не доказывает прямоугольность.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Онлайн-калькуляторыГеометрияРешение треугольника