Калькулятор силы тяготения

С какой силой притягиваются два тела

Две металлические сферы на лабораторном столе с линейкой между ними

Две массы по 1000 кг на расстоянии 1 м притягиваются с силой около 0,000066743 Н, или 66,743 микроньютона. Расстояние здесь измерено между центрами, а тела считаются точечными либо сферически симметричными и непересекающимися. Калькулятор находит силу взаимного притяжения пары по закону всемирного тяготения Ньютона.

Тяготение действует между обычными предметами так же, как между небесными телами. В быту притяжение пары предметов слабое по сравнению с трением, опорой и притяжением Земли. Шкаф не обязан ехать к соседнему шкафу, чтобы между ними существовало гравитационное взаимодействие. Для расчёта важны обе массы и расстояние, а размеры сначала нужны для проверки модели.

Массы, расстояние и закон Ньютона

Исаак Ньютон был английским математиком и физиком. Его закон всемирного тяготения связывает массы тел с силой их взаимного притяжения. В этой модели сила направлена вдоль линии, соединяющей точечные массы; для подходящих шаров это линия их центров. Главный ответ показывает модуль силы, то есть её величину без координатного знака.

Сила находится по произведению масс и квадрату расстояния:

F = G\frac{m_1m_2}{r^2}

m₁ и m₂ выражены в килограммах, r в метрах, F в ньютонах. Гравитационная постоянная G равна приблизительно 6,67430·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Малый коэффициент объясняет слабость притяжения привычных предметов. Массу в граммах предварительно делят на 1000, расстояние в сантиметрах на 100. Например, 500 г и 20 см вводятся как 0,5 кг и 0,2 м.

Удвоение одной массы удваивает силу. Удвоение расстояния уменьшает её вчетверо, утроение в девять раз. Если одновременно удвоить обе массы и расстояние, сила сохранится: произведение масс и квадрат расстояния вырастут одинаково. Поэтому величина зазора заслуживает такой же проверки, как показания весов. У силы Кулона похожая зависимость от расстояния, но она действует между зарядами и может давать как притяжение, так и отталкивание.

Для двух сфер расстояние между центрами равно сумме их радиусов и зазора между ближайшими поверхностями. Подстановка самого зазора обычно завышает ответ. Нулевая масса допускается как предельный случай модели и даёт нулевую силу. Нулевое расстояние недопустимо даже при нулевой массе: эта запись уже не задаёт корректную пару отдельных точек.

Масштаб силы в разных задачах

Тонна рядом с тонной. Для двух учебных точечных масс по 1000 кг при r = 1 м получаем 6,6743·10⁻⁵ Н. На расстоянии 2 м сила будет 1,668575·10⁻⁵ Н. Столь слабую тягу нельзя увидеть просто по движению груза на полу: трение и внешние воздействия скрывают её. Если речь о реальных грузах близко друг к другу, их форму придётся учитывать отдельно.

Два шара с измеренным зазором. Пусть массы сферически симметричных тел равны 10 и 20 кг, радиусы 0,1 и 0,2 м, а зазор 0,1 м. Между центрами 0,4 м, поэтому сила равна 8,342875·10⁻⁸ Н. Ввод одного зазора 0,1 м дал бы ответ в 16 раз больше. Даже аккуратно измеренная длина бесполезна, если она относится к другим точкам предметов.

Лёгкое и тяжёлое тело в свободном движении. Точечные массы 2 и 8 кг разделены расстоянием 0,5 м. Сила на каждое тело одинакова по модулю: 4,271552·10⁻⁹ Н. Начальное ускорение тела 2 кг составляет 2,135776·10⁻⁹ м/с², тела 8 кг всего 5,33944·10⁻¹⁰ м/с². Малое тело меняет скорость вчетверо быстрее. Эти ускорения относятся к начальной конфигурации; по мере сближения сила растёт.

Аппарат возле условного малого небесного тела. Для сферического источника массой 10¹² кг и аппарата 1000 кг на расстоянии 10 км от центра получается 0,00066743 Н. Ускорение аппарата около 6,6743·10⁻⁷ м/с². Это пример с заданной учебной массой, а не характеристика конкретного астероида. Расстояние должно лежать вне источника; чтобы определить полёт, дополнительно нужны скорость и направление движения.

Перераспределение общей массы. Два компактных тела с суммарной массой 200 кг стоят на расстоянии 1 м между центрами. При разделении 100 и 100 кг сила равна 6,6743·10⁻⁷ Н. При разделении 50 и 150 кг она уменьшается до 5,005725·10⁻⁷ Н. При фиксированной сумме масс и том же расстоянии равное разделение даёт наибольшее произведение масс. Одна тяжёлая сторона не компенсирует потерю массы на другой.

Сантиметр в измерении расстояния. Для пары 1000 и 1000 кг изменение r с 1 до 1,01 м уменьшает силу с 6,6743·10⁻⁵ до 6,54279·10⁻⁵ Н, примерно на 1,97%. Это важнее последних цифр коэффициента G. Если нужен аккуратный опыт, сначала определите центры тел и точность расстояния, затем выбирайте число значащих цифр в выводе.

Когда одной формулы достаточно

Точечная масса является моделью тела, размеры которого несущественны для задачи. Для непересекающихся сфер с распределением плотности, зависящим только от расстояния до центра, формула действует и без пренебрежения размерами. Для вытянутого или неоднородного предмета близко к другому телу сила зависит от размещения вещества. Тогда тело делят на части и складывают их гравитационные вклады. Замена произвольного предмета одной массой в его центре становится оценкой на большом расстоянии.

У поверхности крупного тела часто используют F = mg, где g является ускорением свободного падения в выбранном месте. Это другая запись того же притяжения в подходящей модели. Для движения с почти постоянным g удобен расчёт свободного падения. Не прибавляйте mg к уже найденной силе притяжения того же источника: получится двойной учёт. Для кругового движения возле крупного тела отдельную задачу решает калькулятор первой космической скорости.

G измеряют экспериментально. Её стандартная относительная неопределённость для указанного значения составляет около 0,00225%. При малых ошибках расстояния относительное изменение силы примерно вдвое больше относительного изменения r. Шесть значащих цифр результата помогают проверить вычисление, но не обещают такую точность опыта. В сильной гравитации и для релятивистского движения ньютоновской модели недостаточно.

Вопросы о взаимодействии тел

При переходе от одной пары к системе тел понадобятся направления сил, распределение вещества и выбранная модель движения. Эти условия меняют задачу даже при тех же массах.

Почему равные противоположные силы не уничтожают притяжение?

Они приложены к разным телам. Для движения первого учитывают силу на первое, для второго силу на второе. Если рассматривать всю изолированную пару как систему, внутренние силы взаимно компенсируются в её суммарном балансе импульса. Центр масс движется равномерно, хотя расстояние между телами может меняться.

Как учесть притяжение нескольких источников?

Посчитайте силу каждого источника на выбранное тело и сложите векторы с учётом направлений. Например, два одинаковых источника по разные стороны от средней точки создают там противоположные силы одинаковой величины. Равнодействующая на помещённое в эту точку тело равна нулю. Простая сумма положительных модулей дала бы неверный ответ.

Можно ли считать притяжение внутри шара по всей его массе?

Нет. Внутри сферически симметричного источника важна масса, заключённая ближе к центру, чем выбранная точка; внешние сферические слои взаимно компенсируют свои вклады. В однородном сплошном шаре ускорение пропорционально расстоянию до центра. На половине радиуса оно вдвое меньше поверхностного, в центре равно нулю. Это отдельная модель, не предел данной формулы при r→0.

Чем сила отличается от гравитационной энергии пары?

Сила измеряется в ньютонах, энергия в джоулях. При нуле энергии на бесконечном расстоянии U=−Gm₁m₂/r. Для масс 1000 и 1000 кг при 1 м энергия равна −6,6743·10⁻⁵ Дж. Медленно раздвигая их до 2 м без изменения кинетической энергии, внешняя сила совершит работу 3,33715·10⁻⁵ Дж. Умножение начальной силы на весь путь здесь неверно: сила меняется.

Как найти расстояние по известной силе?

Для положительных масс и силы r=√(Gm₁m₂/F). Например, для масс 1000 и 1000 кг и силы 1,668575·10⁻⁵ Н получается 2 м. Подставляйте силу в ньютонах. При положительных массах нулевая сила не достигается на конечном расстоянии. Если хотя бы одна масса нулевая и сила нулевая, подходит любое положительное расстояние.

Можно ли читать результат в ньютонах как массу в килограммах?

Нет. Килограмм измеряет массу, ньютон силу. Килограмм-сила является отдельной единицей: 1 кгс=9,80665 Н. Например, 6,6743·10⁻⁵ Н соответствуют примерно 6,80589·10⁻⁶ кгс. Показания бытовых весов в килограммах нельзя напрямую подставлять вместо силы: они связаны с нагрузкой через принятую калибровку.

Достаточно ли этой силы, чтобы определить орбиту?

Для кругового движения нужны также радиус и скорость, согласованные с центростремительным ускорением. Возле доминирующего сферического источника v=√(GM/r), но радиальная начальная скорость или другое её значение изменят траекторию. Равенство сил само по себе не задаёт круговую орбиту. Расчёт пары масс даёт только мгновенную силу при заданном расстоянии, без начальных условий движения.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.