Калькулятор свободного падения

Скорость	19,8057 м/с

Как связаны высота, время и скорость падения

Лаборант отпускает шарик в вертикальную прозрачную трубку

Если отпустить тело без толчка, оно начинает падение с нулевой скоростью. При постоянном ускорении g скорость растёт равномерно, а пройденное вертикальное расстояние увеличивается всё быстрее. Для высоты 20 м и g = 9,80665 м/с² время составляет примерно 2,01962 с, скорость в конце выбранного участка 19,8057 м/с. Это расчёт падения из покоя без сопротивления воздуха.

Известная высота позволяет найти время и скорость. По времени можно определить расстояние падения и достигнутую скорость. Если известна скорость, обратный расчёт показывает, сколько времени и какой высоты потребовалось для её достижения. Все три режима описывают один участок движения от момента отпускания; нельзя подставлять скорость одного участка вместе со временем другого.

Формулы для падения из покоя

Обозначим высоту падения h в метрах, время t в секундах и модуль скорости v в м/с. Ускорение g вводится в м/с². Для известного времени действуют две зависимости:

\displaystyle h=\frac{gt^2}{2},\qquad v=gt

По высоте нужны положительные квадратные корни:

\displaystyle t=\sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad v=\sqrt{2gh}

По скорости время равно v / g, а высота v² / (2g). Здесь v означает величину скорости вниз, а не её знаковую проекцию на произвольно выбранную ось. Высота h тоже не координата относительно моря: это вертикальное расстояние от места отпускания до уровня, на котором рассматривается тело.

Ускорение 9,80665 м/с² принято как стандартное значение. Оно не является автоматическим измерением g в вашем месте. Если в условии задачи указаны 9,8, 10 или другое значение, используйте его последовательно во всём расчёте. Стандартное значение удобно для сравнения, но само количество его десятичных знаков не делает реальный опыт настолько точным.

Что можно узнать из разных исходных данных

Известная высота в учебной задаче. Тело отпускают с высоты 20 м при стандартном g. Получаются 2,01962 с и 19,8057 м/с. Если выбранный нижний уровень является поверхностью, скорость относится к мгновению перед контактом. Скорость после удара по этой формуле найти нельзя: при контакте появляется другая сила и меняется движение.

Короткий лабораторный интервал. При g = 10 м/с² падение продолжается 0,4 с. Расстояние равно 0,8 м, достигнутая скорость 4 м/с. Секундомер показывает небольшую длительность, однако за неё тело проходит заметную часть метра. Начинать отсчёт нужно с отпускания, а не с момента, когда движение уже удалось заметить.

Скорость указана в км/ч. В условии дана скорость 36 км/ч. После перевода это 10 м/с; при стандартном g она достигается за 1,01972 с после падения на 5,09858 м. Подстановка числа 36 как м/с дала бы высоту примерно 66,0776 м: ошибка единиц усиливается квадратом. Подготовить данные помогает конвертер скорости.

Другое ускорение из условия. В модели задано g = 2 м/с², высота 9 м. Время получается ровно 3 с, скорость 6 м/с. Этот пример позволяет сравнивать условия без смены остальных исходных данных. Число 2 является параметром задачи; оно не выбирает автоматически планету, местность или высоту над поверхностью.

Проверка видеозаписи опыта. Между отпусканием и пересечением нижнего уровня прошло 12 интервалов кадров при частоте 60 кадров/с. Это 0,2 с. При g = 10 м/с² расчёт даёт высоту 0,2 м и скорость 2 м/с. Если считаются кадры от первого до тринадцатого включительно, между ними именно 12 интервалов. Такое различие особенно заметно в коротком падении.

Одинаковая кинематика, разная энергия. Два тела массами 0,1 и 1 кг падают из покоя на 5 м при g = 10 м/с². В идеальной модели оба достигают скорости 10 м/с за 1 с. Но их энергии движения составляют 5 и 50 Дж. Масса не меняет эти время и скорость, зато меняет кинетическую энергию; одинаковое движение не означает одинаковый запас энергии.

Почему удвоение высоты не удваивает время

При неизменном g время и скорость зависят от квадратного корня высоты. Увеличение высоты в четыре раза удваивает оба результата. Например, при g = 10 м/с² переход от 5 к 20 м меняет время с 1 до 2 с, скорость с 10 до 20 м/с. А удвоение высоты увеличивает время только в √2 раза, примерно на 41,4%.

По времени зависимость другая: удвоение длительности увеличивает пройденное расстояние в четыре раза. Причина в том, что второй равный промежуток начинается с уже набранной скорости. Поэтому расстояния за последовательные секунды не одинаковы, хотя прибавка скорости за каждую секунду одна и та же.

Нулевая известная величина даёт нулевые высоту, время и скорость. Это начальный момент модели, а не отсутствие тяжести. Положительное g остаётся заданным. Нулевое или отрицательное ускорение сюда не подходит: формулы обратного расчёта требуют положительного модуля ускорения вниз.

Где идеальный расчёт расходится с опытом

Лист бумаги, компактный шарик и раскрытый парашют взаимодействуют с воздухом по-разному. Для сопротивления нужны дополнительные сведения о форме, размере, среде и режиме движения. Одной массы недостаточно. Калькулятор не определяет предельную скорость и не учитывает воздушное торможение; одинаковые идеальные результаты не обещают одинаковое время падения в воздухе.

Большие расстояния требуют проверки предположения о постоянном g. Здесь ускорение не изменяется во время движения, даже если введена очень большая высота. Численно вычислимый ответ сам по себе не подтверждает применимость этой модели на таком масштабе. Начальный бросок вниз или вверх также меняет исходное условие и требует уравнений с ненулевой начальной скоростью.

При отсутствии потерь уменьшение энергии положения превращается в энергию движения: mgh = mv² / 2. По выбранной массе потенциальная энергия помогает проверить этот баланс. Но время остановки, деформация поверхности и сила контакта не следуют из одной высоты. Расчёт заканчивается до взаимодействия с нижней поверхностью.

Ответ округляется до шести значащих цифр. Очень малые ненулевые значения показаны научной записью, чтобы их не спутать с нулём. Для сравнения опыта с формулой важнее правильно определить уровень, момент отпускания и единицы, чем переписывать все знаки результата. Высоту в сантиметрах делят на 100, время в миллисекундах на 1000.

Вопросы о времени и измерении падения

Измерения могут включать время распространения сигнала или часть другой траектории. Перед обратным расчётом нужно отделить эти интервалы от самого падения.

Какое расстояние проходит тело за последнюю секунду?

Из общей высоты за t секунд вычтите высоту за t−1 секунду, если t≥1. При g=10 м/с² за первые 3 с пройдено 45 м, за первые 2 с 20 м. Значит, третья секунда даёт 25 м, хотя первая дала только 5 м. Это разность двух участков, а не подстановка одной секунды в формулу полного падения.

Можно ли умножить конечную скорость на всё время?

Нет, это завысит высоту вдвое. Скорость растёт от нуля линейно, поэтому средняя скорость равна половине конечной: h=vt/2. При g=10 м/с² за 2 с конечная скорость 20 м/с, средняя 10 м/с, высота 20 м. Произведение 20×2 описывало бы движение всё время с конечной скоростью.

Можно ли измерить высоту по времени до звука удара?

Этот интервал включает падение и возвращение звука к наблюдателю. Если скорость звука c известна и расстояние его распространения равно h, общее время равно √(2h/g)+h/c. Ввод всего интервала как времени падения завысит высоту. Для такого опыта нужна отдельная задача с учётом распространения звука и геометрии.

Что изменится при горизонтальном броске?

Если начальная вертикальная скорость равна нулю, вертикальная часть без воздуха описывается теми же h и t. Но горизонтальная скорость сохраняется, а полный модуль скорости включает обе составляющие. Например, при горизонтальных 3 м/с и вертикальных 4 м/с общий модуль равен 5 м/с. В поле скорости этой страницы нельзя подставлять его вместо вертикальных 4 м/с.

Как определить g по высоте и времени опыта?

Для падения из покоя g=2h/t². Если h=1,25 м и t=0,5 с, получится 10 м/с². Высоту и время нужно измерить независимо. Если сначала получить время из той же формулы с уже выбранным g, обратная подстановка лишь вернёт исходное число и не станет новым измерением.

Как ошибка секундомера влияет на высоту?

При известном g высота пропорциональна квадрату времени. Для небольшой относительной ошибки времени относительная ошибка высоты приблизительно вдвое больше. Если вместо 0,50 с ввести 0,51 с, отношение высот будет (0,51/0,50)²=1,0404: высота увеличится на 4,04%. Короткий интервал особенно чувствителен к задержке запуска.

Почему в момент отпускания скорость нулевая, а ускорение есть?

Скорость характеризует движение сейчас, ускорение его изменение. Сразу после прекращения удержания скорость может быть ещё нулевой, но тяжесть уже меняет её. При g=10 м/с² через 0,1 с скорость станет 1 м/с. Нулевая начальная скорость не требует нулевого ускорения и не означает, что тело продолжит оставаться на месте.

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.